本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
站起來。
向前直走10英尺。
左轉90度。
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再走10英尺。
再次，左轉90度。
第三次這樣做：走路，然後左轉。
現在，下次您向前走10英尺時，您將畫出正方形的第四條也是最後一條邊，您將回到您開始的地方。如果您第四次轉90度，您的朝向也將與最初的方向相同。
這似乎是直觀上顯而易見的，甚至是同義反復——如果您在地面上畫一個正方形，那麼，您就是在地面上畫一個正方形——但這實際上是一個經驗事實。這很重要，所以我要大聲說出來
沒有先驗的理由表明，走四條相等的邊並轉四個直角應該正好帶您回到同一個地方。這純粹是我們日常經驗中的經驗性事物。
事實上，從經驗上來說，這也不是完全正確的。未能回到完全相同的地點——精確地閉合一個正方形——不僅僅是真實的；這是科學史上觀察到的最重要的現象之一。它是萬物之核心。它是引力運作的方式，是愛因斯坦理解它的方式。它告訴我們黑洞是如何形成的，以及為什麼它們會捕獲光線。它還告訴我們宇宙是否以及如何膨脹。
我們的直覺告訴我們，每個正方形都應該閉合。但世界遠比我們的直覺讓我們相信的要奇異得多。
在前一篇本系列的第一部分中，我承諾第二部分將解釋宇宙平坦意味著什麼。在第二部分中，我將討論彎曲空間的概念——不，是現象——這本質上是指正方形路徑無法閉合的情況，以及為什麼平坦空間是所有正方形路徑都閉合的地方。
歐幾里得的嘗試
到目前為止，我一直有意強調這種稱為空間曲率現象的物理性質。大多數作者在撰寫有關它的文章時都遵循非常不同的方法：他們從歷史開始。
你看，數學家在任何人證明曲率與現實相關之前很久就提出了曲率的概念——作為一個邏輯上一致但抽象的概念。測量空間曲率實際上在實踐中非常困難，因此，如果數學家沒有告訴他們這至少是值得考慮的可能性，可能沒有人會嘗試。
充分理解曲率所需的數學是在19世紀中期由格奧爾格·伯恩哈德·黎曼發明的，它相當複雜。但彎曲空間是生活中的事實。原則上，您可以透過在房間裡走動來發現它，而無需數學家或物理學家或哲學家首先提出抽象概念。
希臘化亞歷山大的偉大幾何學家歐幾里得非常清楚正方形路徑的閉合並非先驗成立。歐幾里得可能會這樣說：正方形（或矩形，或平行四邊形）的內角之和為360度。繞正方形走一圈意味著進行四個90度轉彎。
歐幾里得可能提出的另一種方式是陳述一個相關的 facts：三角形的內角之和始終為180度。沿著對角線將任何矩形切割成兩個三角形，您就會明白為什麼：您的四個直角被分成6個角，但總和仍然相同。
但幾何學不必那樣運作。當它那樣運作時，它被稱為歐幾里得幾何。但在絕大多數情況下，當它不那樣運作時，它被稱為非歐幾何。
通常，作者介紹非歐幾何概念的方式是舉例說明在曲面上（例如地球表面）追蹤三角形時會發生什麼。
因此，從赤道上的任何一點開始，向北極前進。到達那裡後，您已經覆蓋了地球周長的四分之一，或大約10,000公里。現在左轉90度，開始向南走。走10,000公里後，您將再次到達赤道。但您不會在您開始的地方。相反，您將在起點以西10,000公里的地方。現在左轉90度，使您面向東方，再走10,000公里：您將回到您開始的地方。
您已經在地球表面追蹤了一個三角形——並且內角都是直角，因此它們的總和為270度，而不是180度。
請注意，您只完成了您旅程的三條腿。如果您要遵循本文開頭的說明，您仍然需要再轉90度，再走完一條完整的邊。在這種情況下，未能閉合正方形將相當壯觀：您不會回到赤道上的原始點，而是會最終到達北極。
當然，追蹤邊長為10,000公里的正方形有點極端。如果您嘗試用邊長為1,000公里的類似的實驗，誤差會小得多，但仍然很明顯。如果您嘗試以10英尺的步幅移動，您將不會注意到任何異常：世界對您來說看起來將是完全歐幾里得的。您可能會原諒自己認為地球是平坦的。
無論如何，球面是非歐幾何的一個完全合理的例子，但它也可能令人困惑。“好吧，地球是彎曲的，”您說，“但這告訴我關於空間曲率的什麼呢？”
“如果我挖隧道直接穿過地球，將赤道上的兩點與北極的兩點連線起來呢？這三條隧道將一起形成一個等邊三角形。然後我可以想象用雷射指向隧道下方，將這三個點相互連線成一個雷射三角形。那個三角形肯定會有角度，加起來為180度。”
也許吧。但也可能不是。
外太空中的空間
所以，我們來到了本文開頭我提到的基本生活事實。空間本身的曲率。
為了避免地球造成的任何困惑，去外太空旅行。您可以想象一艘宇宙飛船透過在太空中旅行來追蹤三角形或正方形。但這並不理想，因為它引發了各種棘手的問題，例如宇宙飛船向前直飛或向左轉90度究竟意味著什麼。
相反，您和您的兩個夥伴每人擁有一艘宇宙飛船，並且三個人都前往附近宇宙中的某個地方。到達那裡後，你們互相發射雷射，形成一個光束三角形。
現在你們每個人都可以測量進出各自宇宙飛船的兩束光束之間的角度。
事實：這三個角度的總和並不總是180度。
您可以進行適當的計算，並意識到這一事實是愛因斯坦廣義相對論的推論。或者您可以不信任數學和物理學，親自去太空看看。
無論如何，這就是空間彎曲的含義。無論何時您可以在空間中找到三個點，並用雷射束連線它們，並發現三角形的角度不是預期的180度，那就意味著空間是彎曲的。
當無論宇宙飛船在哪裡，角度的總和都為180度時——這就是空間平坦的含義。
黎曼幾何的數學機制更進一步，實際上為您提供了一種定義和計算曲率數值度量的方法——不僅僅是說是否存在曲率。
彎曲空間有兩種重要的特殊型別。如果在空間的某個區域，無論您將三艘宇宙飛船放置在何處，它們形成的三個角度的總和始終大於180度，則整個區域的曲率為正。當它們總是加起來小於180度時，這意味著該區域具有負曲率。在平坦的情況下，它正好為零。
這篇文章是關於宇宙學系列文章的一部分。以下是之前的文章： （關於我所說的“宇宙”是什麼意思）
（關於視覺化有限的光速）
（關於大爆炸的餘輝，以及為什麼天空曾經是紅色的）
敬請期待：我們如何知道空間曲率是生活中的事實；如果空間非常彎曲，世界會是什麼樣子；可觀測宇宙的曲率（和大小）是多少；以及可觀測宇宙與但丁有什麼關係。
腳印圖示由 palomaironique/Open Clip Art Library 提供。
宇宙飛船影像由 NASA 提供。藝術家印象圖代表計劃中的雷射干涉空間天線，或 LISA，國際空間任務，實際上將是無人駕駛的。此外，LISA 的設計目的不是測量三角形的角度，而是空間探測器之間距離的暫時變化，這是由於引力波的透過——引力波本身就是空間曲率的擾動。