本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
我上一篇專欄探討了理論上的多元主義，這是一種哲學立場，即某些科學問題可能不是隻有一個解決方案，而是可能產生許多因主觀原因選擇的解決方案。發表專欄幾天後，我收到了數學家羅納德·格雷厄姆的電子郵件。我自 1997 年以來就沒收到他的來信了，當時我為《大眾科學》寫了一篇關於他的個人簡介。他還為我臭名昭著的 1993 年的文章“證明之死”提供了素材，該文章報道說“困擾現代人類思想的疑慮最終感染了數學”。在他的電子郵件中，格雷厄姆告訴我，普林斯頓大學的數學家蒂莫西·周提出了一個名為“數學多元主義”的概念。格雷厄姆的電子郵件的時間純屬巧合。他沒有讀過我關於科學多元主義的帖子。他只是認為，考慮到我對數學哲學基礎的興趣，我可能會覺得周的觀點很有趣。真是同步！我最近也一直在思考數學，因為去年春天我發現“證明之死”的批評者以我的名字命名了一個幾何物件（以我的名字命名）。（請參閱延伸閱讀。）當我發郵件給周，請他解釋數學多元主義時，他給我發了下面的說明。周的立場暗示，數學家們和科學家們一樣，永遠不會收斂於一個單一的、最終真理。幸運的是！多元主義萬歲！——約翰·霍根
我想謹慎地表達我的觀點，因為我意識到你的“證明之死”文章（及其後續報道）引發了爭議。我確實認為你提出了一些有效的觀點，並且數學家有時不願意承認數學並不像他們希望的那樣完美客觀、確定和毫無爭議。另一方面，我確實認為任何類似“證明已死”的說法都過於聳人聽聞且具有誤導性。
特別是，我想說，幾乎所有專業數學家都同意，形式為“定理 T 是否可從公理 A1、A2 和 A3 推匯出來？”的問題具有客觀的真實答案。誠然，如果某些數學家聲稱已經證明了定理 T，但證明很複雜，那麼專家可能需要一些時間來仔細研究該證明並檢查其是否正確，並且一些頑固的數學家可能會拒絕接受更廣泛的社群的結論，即他們的證明是不完整的。例如，你可能知道目前關於望月新一的 ABC 猜想證明的爭議。儘管如此，最終，數學家們並不滿足於說：“好吧，這個所謂的證明是否正確和完整的問題只是那些永遠無法解決的辯論之一，因為沒有客觀的事實依據。”
另一方面，當涉及到公理 A1、A2 和 A3 是否真實的問題時，我認為我們在數學中擁有（我所說的）“多元主義”。絕大多數數學家會斷言，沒有最大的質數、π 是無理數以及每個可微函式都是連續的，這是客觀事實。然而，有些人同意“每個可微函式都是連續的”已經從標準公理中證明出來是客觀真實的，但他們拒絕肯定標準公理是“真實的”，因此不認為每個可微函式都是連續的是“真實的”。另一方面，如果考慮涉及足夠大的無限集的公理，你會發現大多數數學家會猶豫不決地肯定它們是“真實的”。我個人認為，數學界可能永遠不會就哪些公理是“真實的”達成共識，從這個意義上說，數學界是（而且我認為在可預見的未來將保持）多元化的。
只要大家仍然達成共識，即定理 T 是否從公理 A1、A2 和 A3 推匯出來是一個客觀問題，這種多元主義就不會真正干擾數學作為一門學術學科的發展。為了比較，請注意，關於量子力學解釋的爭議並不會真正干擾物理學界的運作，因為物理學家都同意什麼構成正確的量子力學計算，以及計算預測的實驗觀察結果是什麼。——蒂莫西·周，普林斯頓
後記：我將這篇專欄文章傳送給了一些數學界的熟人，他們回應了這些評論
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邁克爾·哈里斯和蒂莫西·周提醒我注意十月份美國數學學會通報上的一篇文章，該文章捍衛了多元主義。在“數學的包容性哲學”中，約翰·霍薩克指出，數學由不同的系統組成，例如，基於“不相容”基礎的標準數學、構造數學和單價數學，可以從中推匯出不同的結果。霍薩克主張他所謂的“不拒絕其他變體為錯誤的包容態度”。他稱這種哲學為“演繹多元主義”。周說霍薩克的觀點與他的相似。
吉姆·霍爾特：對不起，望月是否使用了皮亞諾算術（或其保守擴充套件）以外的任何公理？更普遍地說，我們是否在談論可能由哥德爾不完備性引起的“多元主義”？或者是在談論由考慮皮亞諾算術的非保守擴充套件（如大基數公理或大序數上的超限歸納公理）引起的多元主義？有人對古德斯坦定理持多元主義觀點嗎？
我之前的印象是，集合論學家談論的“多元主義”並未觸及經典數學的任何自然領域。
斯科特·阿倫森：我同意吉姆的觀點，我認為這一點很重要。
例如，在幾何的歐幾里德公理或非歐幾里德公理之間的選擇中，存在一個完全明顯且毫無爭議的“多元主義”。從今天的角度來看，這只是我們可能感興趣談論的數學物件中的多元主義。
此外，除非我們是鐵桿的柏拉圖主義者（如哥德爾那樣），否則在集合論中存在“多元主義”，在這種意義上，存在許多有趣的 ZF 模型，其中關於超限集合的陳述（如 AC 或 CH）可以為真或為假。
但是，當涉及到數學的“普通”部分（算術、實數和複數分析、組合學等）時，哥德爾告訴我們，沒有一個公理系統會蘊含所有真實的陳述，有時更強大的公理系統確實可以讓我們證明我們要麼不知道如何證明，要麼在較弱的系統證明不了的有趣的陳述。但是，從未觀察到過像集合論學家的“多元主義”這樣的東西，例如，沒有已知的有趣的算術宇宙，其中費馬最後定理為假。
我個人認為，我會更進一步：我是一個“算術柏拉圖主義者”，我理所當然地認為，例如，任何給定的圖靈機客觀地要麼停止，要麼永遠執行，而無論這個或那個公理系統是否能夠證明這一點。（我對於集合論的陳述不是同樣的柏拉圖主義者。）因此，即使存在一些有趣的替代算術公理集，證明費馬最後定理為假，或者只有有限個素數，或者任何其他結論，我也會說，那些公理根本不是在談論當我說“正整數”時我所指的同一個東西。
最後，關於望月——我這個外行人的印象是，舒爾茨和施蒂克斯揭露了人們普遍認為是致命的問題，除了圍繞望月的一小圈子之外。因此，除非並且直到情況發生變化，否則推測其哲學含義可能為時過早。
延伸閱讀:
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