本文發表在《大眾科學》的前部落格網路中，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
如果您碰巧住在英國，馬特·帕克——在推特上又名@StandUpMaths——可能無需介紹。他是一位來自澳大利亞的前數學老師，現已移居倫敦，他將自己對數學的熱愛與單口喜劇相結合。帕克是廣受歡迎的BBC Radio4節目《無限猴子籠》（由物理學家布萊恩·考克斯和羅賓·因斯主持）的常客，此外，他還曾在愛丁堡藝穗節上售罄喜劇表演，並且多年來還出現在無數其他媒體場所。
現在，他成為了一本很棒的新書的作者，《在四維空間中製作和做的事情》。這本書本週在美國發行，書中他帶領讀者進行一次神奇的數學之旅，並提供有關如何最快繫鞋帶、如何用多米諾骨牌製作一臺可工作的計算機以及如何公平地切披薩的技巧——我相信您會同意，這些都是有用的生活技能。珍·露西·皮坎特在帕克旋風式的美國書巡迴宣傳期間透過Skype與他聊天，聊了關於向大眾傳達抽象數學概念的挑戰，針織圖案和樂譜與數學的共同點，以及他對克里斯托弗·諾蘭的科幻大片《星際穿越》中超立方體場景的看法。
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JLP：您的書是清晰解釋、動手活動和引人入勝的歷史軼事的有趣組合。出於好奇——因為我們在這裡的雞尾酒會上是科學歷史愛好者——您最喜歡的歷史數學家是誰？
MP：我想找到那些不太為人所知但卻做了驚人事情的數學家。我在書中談了很多關於愛德華·盧卡斯的內容。一方面，他是一位了不起的數學家，另一方面，他是一位出色的溝通者。沒有他，我們就不會知道斐波那契數列。斐波那契數了一些兔子，就從歷史上消失了，而盧卡斯後來注意到了這一點，並將其推廣並命名為斐波那契數。加密是基於素數的。
我最喜歡的故事是我在寫書時發現的。我不會說法語，而且我找不到盧卡斯數學書的英文翻譯，但是圖表是一樣的。如果我看到一個圖表，我就知道他在做什麼。我看到一個，即使我只會簡單的法語，我也意識到盧卡斯在談論電子計算機。那是在 1800 年代。我將那段文字翻譯了過來，盧卡斯在談論查爾斯·巴貝奇和艾達·洛夫萊斯所做的事情，他們在理論上提出了計算機在有可能製造它們之前如何工作。他甚至將它們與如何用電子產品製造它們聯絡起來。我不知道還有其他人說過：“嘿，我們可以用電路製造這些東西。” 遺憾的是，他沒能活著看到這一切發生。
JLP：對於書中一些動手活動，您借鑑了您在魔術和紙牌戲法方面的背景，其中許多您在公開場合和單口相聲表演中使用過。這背後的想法是什麼？
MP：這源於不得不教青少年數學。數學的問題之一是它可能非常枯燥，非常容易。數學老師必須是有創造力的人，因為你必須找到一種方法來使非常枯燥的科目變得生動起來。你可以用數學做各種奇妙的事情，但是我們被迫學習重複的技能，然後我們從不讓它們在場上發揮作用。如果你想激勵青少年學習一些東西，你必須給他/她一個非常好的理由。通常我們威脅他們：有一天你需要抵押貸款或者需要透過考試。但是，如果你能立即向他們展示一些他們可以使用的東西，他們就會更有熱情。如果一個青少年認為透過學習一些數學他們可以做一個紙牌戲法來惹惱他們的朋友和家人，他們會突然說：“是的，我們要學習這個。”
大量的魔術師都是隱藏的數學愛好者。他們故意隱藏他們的數學技巧，因為這是魔術的整個文化：你找到一種方法使它看起來儘可能不數學化。我做相反的事情，展示幕後發生的數學。但是我（沒有透露精心保守的秘密）很小心。我談論的一切都已經公開了。
JLP：你提到重複，這很有趣。我小時候上過鋼琴課，我學的第一件事就是練習音階。我盡職盡責地練習，但是直到我聽到肖邦錯綜複雜的半音音階，音樂才真正生動起來。這讓我想要更加努力地練習，以便有一天我能嘗試彈奏肖邦。
MP：人們將數學與樂譜進行了比較，因為如果你從未聽過音樂，而你所見過的只是樂譜，人們在寫下音符，它看起來像是毫無意義的符號操作。人們可能會說：“哦，但是看看這些模式，它們太美了”，但是如果你沒有聽過音樂，你會認為：“這些人瘋了。” 數學也是如此。它背後有這種驚人的美，但是沒有聽它的等效物，所以對於非數學家來說，它只是毫無意義的符號。我（在這本書中）想做的一部分是讓人們瞭解為什麼數學家會對所有這些符號感到如此興奮。在它們背後存在著邏輯和意想不到的聯絡。
我媽媽織毛衣。她給我織了一些數學物體，包括一頂帽子（在書中描繪）。我看著她計算針織圖案，我突然意識到與非數學家交談的數學家是什麼感覺。我想：“你可以寫任何東西，它只是隨機符號，這沒有任何意義！” 但是她全神貫注並對這一切如何組合在一起感到興奮；她可以想象它。當我最終看到帽子時，我對她所做的事情有了一些瞭解。這就是我試圖在這本書中用數學做的事情。我正在嘗試向人們展示這頂帽子。
JLP：我注意到你在書中使用了幾個雙曲鉤編的例子。這也是一種理解抽象拓撲概念的流行方法，例如，形象研究所倡導的。
MP：鉤編是展示雙曲面的最佳方式，甚至比昂貴的 3D 列印更好。對於雙曲面，你沿它走得越遠，獲得的表面積就越大。但是，如果將任何一個區域性位展平，你只是將皺紋推到其他地方。透過鉤編，你可以做到這一點（真的）。你可以將其拿起並展平一位，其餘部分則聚集在其他地方。
JLP：你在後面的章節中更深入地探討了高維形狀。你如何應對視覺化高維形狀的挑戰？
MP：任何超過五維的空間，你都不再對高維空間有任何直觀的理解。數學家和我們一樣迷茫。這不像他們可以視覺化一個 6D 的形狀，然後想象將其插入一個 7D 的形狀。我想表達的是，數學家是享受困難的人。他們喜歡你無法真正視覺化這些物件的事實，但是如果你非常小心和細緻地對待數學，你仍然可以理解和操作它們，並研究它們的行為。他們只是樂於面對困難。
我故意在本書的較早部分放置了一個關於圖論和網路的章節。當你不再能視覺化形狀時，你剩下的只是角或頂點連線的方式。你可以將其繪製為網路。因此，即使你無法想象它將如何彈出到更高的維度，你仍然可以看到其所有角落粘在一起的網路，並且你可以驚歎於結構的優美以及所有圖案。但是，它們永遠不會講述完整的故事。你看到的只是驚鴻一瞥，這些驚人形狀的特定角度。我們可以在一個平面頁面上放置一點點。
JLP：最後，我們必須談談《星際穿越》中的超立方體。當然，人們對電影中的物理學有很多挑剔，但我認為這是一個有趣的視覺化描述，它對於我們大多數人來說都很難視覺化。
MP：我嫁給了一位物理學家，我認為她對物理學的惱火程度比我高。我看過更糟糕的。我認為他們將時間表示為空間維度非常好。與往常一樣，你可以想象低維的事物。如果你有一個立方體，並且你想將其展示給一個平面上的人，你可以做的一件事是將它切成正方形，然後將它們彼此相鄰放置——有點像黃油一樣將立方體塗抹成一個非常長的矩形，從而有效地製作立方體的切片。
（這部電影）將立方體一個接一個地堆疊起來，以顯示時間的這種塗抹。這實際上是一種很好的將時間視覺化為維度的方式，儘管我更喜歡我的第四維度是空間的。第五維度是否是愛仍然是非常開放的數學研究領域。
有關如何視覺化更高維度的更多資訊，請檢視下面的摘錄！
視覺化高維球體
好的，那麼什麼是高維球體？從表面上看，它可能很簡單：球體是所有距固定中心點一定距離（半徑）的點。圓是 2D 球體。球體是 3D 球體。（好吧，那很明顯。）4D 球體是所有距中心相同距離的點，依此類推。不幸的是，這些球體比你預期的要滑得多。這就是為什麼出於安全原因，我們需要將它們鎖定在超立方體中，以防止它們逃脫。我們將超立方體的其餘部分填充填充球體，以使我們關注的焦點球體無法在其盒子內移動。
所有這些控制超球體的預防措施似乎不成比例。好吧，讓我們弄清楚它們是否如此。
我們將從 2D 開始，然後逐步向上。我們的 2D 立方體是一個正方形，我將使用一個邊長為 4 個單位的正方形。這是因為它可以整齊地放入四個半徑為 1 個單位的圓。每個這些圓的中心將從兩個邊緣的四分之一處開始。
現在，我們將小心地將我們的樣本圓（一個 2D 球體）放在這個裝滿其他圓的盒子的正中間。與保持固定半徑為 1 的填充圓不同，我們將讓中間圓膨脹到盒子中間允許的空間一樣大。
我們現在可以精確計算出中間圓的大小。邊長為 4 的正方形是有道理的，因為它意味著每個填充圓的中心到正方形中心的距離可以很容易地用勾股定理計算出來。對於我們的 2D 正方形，這個對角線長度為 2 ≈ 1.414；其中第一個 1 被填充圓佔用，所以我們的中間圓的半徑最大隻能達到 0.414，之後它就會與填充圓接觸。它不是一個很大的圓，但至少我們確切地知道它有多大，它在哪裡以及是什麼包含著它。
我們可以將八個填充球放入 4 × 4 × 4 的 3D 立方體中。隨著我們維度升高，單位球的數量將翻倍，並且它們將始終位於距離所有相鄰邊緣一個單位的位置，以便它們恰好接觸這些邊緣。每個填充球的中心到立方體中心的對角線長度為 3 ≈ 1.732，這使得我們的樣本球可以擴充套件到半徑 0.732：這不是很大的飛躍。
可以理解的是，由於這個球有更多的移動方向，它可以稍微變大一些。然而，隨著我們維度升高，我們新增越來越多的填充球來保持樣本球/超球等被困住，所以它肯定無法逃脫。它的增長應該會逐漸減緩。
然而，正如您可能已經猜到的那樣，中心球不會安分守己：不知何故，它會逃脫，即使根據定義，它仍將保持在立方體中間居中，並被其他球體固定在原位。檢查 4D 的數字表明，一切都與 4 × 4 × 4 × 4 的四維超立方體對齊，具有 16 個填充單位球。每個填充的 4 維球體的中心到 4D 立方體中心的距離是一個非常精確和整潔的 2（即 4 ），這使得我們的中心樣本球的半徑為 1。看來四維給了它足夠的自由來擴充套件到與周圍的填充球相同的大小。
接下來是五維，事情開始變得有點奇怪：我們的樣本球持續增長，現在半徑為 1.236，比周圍的填充球更大（從現在開始，我將只稱它為球，無論它在多少維空間中）。當我們處於 2D 時，中間最初的小間隙現在在 5D 中變成了一個巨大的鴻溝。最初，我們預計中間樣本球會隨著維度的增加而稍微變大，但這種 331 的擴充套件最終會迅速減緩。事實並非如此。隨著維度的增加，我們的中心樣本球以驚人的速度持續變大。
最大的驚喜是當立方體進入十維空間時，內球的半徑達到 2.162，這意味著它實際上已經延伸到了立方體之外。這個球不僅設法在周圍填充球的阻礙下擴張，現在它已經完全逃出了立方體。在九維空間中，它設法剛好接觸到立方體，半徑為 2，然後，對於超過該維度的任何維度空間，它都會從超立方體的側面伸出來。從 26 維開始，球的大小是其內部立方體的兩倍以上。而且它沒有放慢速度的跡象。隨著維度的增加，這個中心球的大小不會收斂：它會繼續向遠處發散。
數字不會說謊，但我們仍然需要解釋球體如何延伸到立方體之外。立方體的形狀沒有改變——它在所有方向上始終是 4 個單位長。重要的是，其他球體的半徑固定為 1。我們不允許它們儘可能地擴張；我們只是將它們都安排好，使它們接觸到立方體的外壁以及它們旁邊的其他球體。隨著維度的增加，這些填充球之間的間隙變得更大，而中心球不知何故會長出尖刺，這些尖刺可以透過這些間隙伸出立方體之外。是數學家科林·賴特首先給我出了這個謎題，用他的話說，最好把高維球體想象成帶刺的。似乎這些球體覆蓋著多維的剛毛。這是我沒有預料到的。
節選自馬特·帕克著的《在四維空間中製作和做的事情》，將於 2014 年 12 月由 Farrar, Straus and Giroux, LLC 出版。版權所有 © 2014 馬特·帕克。保留所有權利。經許可使用。