庫爾特·哥德爾的不完備性定理證明，數學包含無法證明的真命題。他的證明透過構建自相矛盾的數學陳述來實現這一點。為了瞭解證明是如何運作的，首先考慮一下說謊者悖論：“這句話是假的。” 這句話當且僅當它是假的時才為真，因此它既不是真也不是假。
現在讓我們考慮“這句話是不可證明的。” 如果它是可證明的，那麼我們就證明了一個謬論，這是非常令人不快的，並且通常被認為是不可接受的。剩下的唯一選擇是這句話是不可證明的。因此，它實際上既是真的又是不可證明的。我們的推理系統是不完備的，因為有些真理是不可證明的。
哥德爾的證明為每個可能的數學陳述分配一個所謂的哥德爾數。這些數字提供了一種透過談論非常大的整數的數值屬性來談論陳述屬性的方法。哥德爾使用他的數字來構建類似於樸素英語悖論“這句話是不可證明的”的自指陳述。
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嚴格來說，他的證明並沒有表明數學是不完備的。更準確地說，它表明個別的形式公理化數學理論無法證明真實的數值陳述“這句話是不可證明的”。因此，這些理論不能成為數學的“萬物理論”。
哥德爾留下的關鍵未解問題：這是一個孤立的現象，還是有許多重要的數學真理是不可證明的？