《挑戰者》是一系列奇幻電影和電視劇，講述了一些幸運地擁有永生的人的故事。只有當永生者的頭被砍掉時，他們才會死亡。射中心臟、大腦或任何其他通常敏感的身體部位的傷口都會在幾秒鐘內癒合。因此，永生者非常注重磨練他們的劍術。
每個永生者透過與另一個永生者進行一對一決鬥來獲得力量。如果力量為P(X)的永生者X與力量為P(Y)的永生者Y戰鬥，那麼為了這個謎題的目的，獲勝者的力量將為P(X) + P(Y)。而失敗者，唉，就會死亡。
正如該系列反覆提醒我們的那樣，最終“只能有一個”永生者站到最後。在系列中，一些永生者挑起戰鬥，另一些則逃避戰鬥，而蘇格蘭主角——高地人——則在戰鬥來臨時接受它。
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假設你是一個永生者。你想找出你生存的最佳前景。你應該挑起戰鬥還是避開戰鬥？你更喜歡與更強的對手戰鬥還是更弱的對手戰鬥？這一切都取決於獲勝的機率。
我們將考慮兩個獲勝機率假設。“線性獲勝模型”如下：
如果力量為P(X)的永生者X與力量為P(Y)的永生者Y戰鬥，那麼X獲勝的機率為P(X)/(P(X) + P(Y))，而Y獲勝的機率為P(Y)/(P(X) + P(Y))。
熱身
假設有三個永生者X、Y和Z。X的力量為2，而Y和Z的力量各為1。如果X決鬥並擊敗Y，然後與Z決鬥，那麼X生存到最後的機率是多少？如果Y和Z先彼此決鬥，然後X與獲勝者決鬥，X的生存機率是多少？
熱身題的答案
如果X與Y決鬥，那麼X以2/3的機率獲勝並獲得3的力量。如果X然後與Z決鬥，那麼X以3/4的機率贏得那場決鬥。X在兩場比賽中都倖存下來的機率是這兩者的乘積：(2/3) * (3/4) = 1/2。
如果Y和Z先決鬥，那麼獲勝者的力量為2。X的力量也為2，因此根據對稱性，X獲勝的機率為1/2。
熱身結束
在熱身中，決鬥的順序不會影響X決鬥的機會。這個結果引出了我們的第一個問題
1. 假設線性獲勝模型，並且最多有8個永生者，你能否找到一種情況，其中決鬥的順序會影響任何給定的永生者生存到最後的機會？
到目前為止，我們假設了一個線性獲勝模型，但永生者的生活不必如此簡單。假設獲勝的機率改為(P(X)2)/[(P(X)2) + (P(Y)2)]。我們稱之為二次獲勝模型。
熱身
讓我們在二次獲勝模型下重新考慮我們的第一個熱身問題。
同樣，假設永生者X的力量為2，而永生者Y和Z的力量各為1。如果X與Y決鬥，並且如果他贏了，那麼與Z決鬥，那麼X生存到最後的機率是多少？如果Y和Z先彼此決鬥，然後X與獲勝者決鬥，X的生存機率是多少？
熱身題的答案
如果X與Y決鬥，那麼X以4/(4+1)的機率獲勝並獲得3的力量。如果X然後與Z決鬥，那麼X以9/10的機率贏得那場決鬥。X生存下來的機率是這兩者的乘積：(4/5) * (9/10) = 18/25。
如果Y和Z先決鬥，那麼獲勝者的力量為2。X的力量也為2，因此根據對稱性，X獲勝的機率為1/2。因此，X最好更具侵略性。
熱身結束
剩下的所有問題都與這個二次模型有關。
2. 四個永生者最初都擁有相等的力量1，但其中三個只有在戰鬥並獲勝一次後才會主動發起戰鬥。此後，他們會主動發起戰鬥。其中一個從一開始就願意發起戰鬥。每個永生者獲勝的機會是多少？
3. 同樣，有四個永生者，其中三個不會主動發起戰鬥。發起者的力量為1，而非發起者的力量分別為1、2和4。發起者應該以什麼順序與其他發起者戰鬥才能最大化他的生存機會？
4. 再次有四個永生者，但其中兩個會主動發起戰鬥，而另外兩個則不會。如果他們最初都擁有相同的力量，那麼兩個發起者為了自己的利益，應該先彼此戰鬥還是先與非發起者戰鬥？（嘗試在繼續問題5之前回答這個問題。）
5. 我們已經看到，在二次模型中，最好主動發起戰鬥，最好先與其他發起者戰鬥，並且最好先與較弱的對手戰鬥。假設沒有人每天戰鬥超過一次，那麼哪種策略優先？
當然，人們不是永生的，但街頭幫派和國家超越了個人成員的生命。這裡是否有針對警務工作或外交的模型？