維恩圖的奇特歷史

在《數學宇宙》一書中，數學家威廉·鄧納姆這樣評價約翰·維恩以其名字命名的遺產——維恩圖：“在漫長的數學史上，沒有人因為更少的東西而更出名。” 雖然維恩圖可能沒有解決任何長期存在的未解難題，但這些相互交錯的圓環當然值得更多讚譽。它們對群體關係的簡潔表示解釋了它們在教室、資訊圖表和網際網路迷因中持久的吸引力。

維恩圖不僅僅是視覺輔助工具，它們還可以幫助我們解決日常邏輯問題，並引發令人驚訝的幾何問題。您見過用四個重疊圓圈組成的合適的維恩圖嗎？沒有，因為這是不可能的。維恩本人發現了這一點，並提出了一個巧妙的解決方案，但這僅僅引發了更深層次的幾何難題，數學家們至今仍在研究。

維恩在1880年首次展示了他的圖表，作為一種視覺化邏輯學當代進展的方法。然後，它們在密切相關的數學分支——集合論中找到了應用，集合論專注於物件的集合。維恩圖通常由重疊的圓圈組成，每個圓圈代表一組元素（例如，可愛的東西或百老匯演出）。兩個圓圈之間的重疊區域包含屬於兩個集合的元素（例如，“貓”）。就像使用統計學中的散點圖或幾何學中繪製形狀一樣，看到問題通常可以澄清問題。

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想象一下，您正在計劃一個晚宴，並在朋友們善變的偏好中周旋。如果威爾瑪參加，那麼弗雷德也會參加。如果巴尼參加，那麼其他人也會參加。如果威爾瑪來，巴尼就不會來，但如果她不來，他就會來。如果弗雷德和巴尼都參加，那麼威爾瑪也會參加。您應該期望誰會來？當我們只給出文字時，這個難題很難解決。維恩圖提供了一種系統的方法來視覺化和解決它。每個陳述都排除了某些可能的結果，我們透過對維恩圖的相應區域進行陰影處理來表示這些結果。

您遇到的大多數維恩圖都描繪了兩個或三個重疊的圓圈，但是如果您有四個或更多集合要考慮怎麼辦？

您發現問題了嗎？沒有一個區域僅包含A和C的重疊，而不包含另一個區域，B和D也是如此。一個合適的維恩圖描繪了所有交叉點的組合。重新調整佈局無濟於事。每個四圓圖都存在同樣的缺陷。

要了解原因，請從一個圓圈開始，並注意它建立了兩個區域——內部和外部。當我們新增第二個元素集合（一個新的圓圈）時，我們將可能性增加了一倍，因此我們需要將區域數量增加一倍（第一個集合、第二個集合、兩個集合和兩個都不是集合）。唯一的方法是讓第二個圓圈在兩點與第一個圓圈相交（僅在一個點接觸將導致只有三個區域：第一個集合、第二個集合或兩者都不是）。這種趨勢持續下去，如果我們想表示所有邏輯可能性，則每個新圓圈都必須使區域數量翻倍。但是新區域的數量不能超過新的交點的數量，並且一個新圓圈只能在兩個點與現有圓圈相交。當新增第三個圓圈時，這很好，因為我們需要新增四個區域，並且新圓圈可以在兩個點與兩個現有圓圈相交，總共四個新的交點。但是，當使用第四個圓圈時，它會崩潰，我們需要八個新區域，但只能聚集六個新的交點。

當然，我們不需要將自己限制在圓圈上。我們可以輕鬆地透過三圓圖追蹤一個彎曲的環，以便它劃分出必要數量的區域，但我們會失去圖表的優雅性。四個相交的球體也可以表示正確數量的區域，但是三維視覺效果很難解析。約翰·維恩知道圓圈的缺點，因此他提出了用橢圓來表示四個集合。

與圓圈不同，兩個橢圓可以在四個點相交。這克服了圓圈的侷限性，但這只是暫時的。橢圓適用於四個和五個集合，然後以與圓圈相同的方式失效。隨著集合數量的增長，我們需要越來越奇特的形狀來描繪它們。

有人可能會合理地爭辯說，超過四個元素集合，維恩圖就失去了它們的效用。四橢圓影像已經非常混亂。也許對於五個或更多集合，我們應該放棄視覺表示。但是，效用並沒有像美和好奇心那樣激發數學家的興趣。儘管維恩圖最初應用於邏輯和集合論，但四圓難題提出了一個有趣的幾何學問題。這個種子已經發展成為對維恩圖幾何學的迷人研究，並且一直延續至今。

維恩和他的繼任者認為，橢圓無法描繪五個集合圖所需的所有32個區域。直到1975年，數學家布蘭科·格林鮑姆才透過例項證明他們錯了

另請注意，格林鮑姆的圖表顯示出令人愉悅的旋轉對稱性。將其旋轉整整五分之一圈，它又會回到自身，使原始形狀保持不變。典型的兩圓和三圓維恩圖也具有此屬性。將兩圓維恩圖旋轉180度（或將三圓維恩圖旋轉120度），它看起來還是一樣。但是四橢圓圖沒有旋轉對稱性。這可以修復嗎？二、三和五有什麼共同之處，而四沒有？

1960年，當時斯沃斯莫爾學院的本科生大衛·W·亨德森，透過一項驚人的發現回答了這個問題（斯坦·瓦根和彼得·韋伯後來填補了一些空白）：只有當集合的數量是素數時，才有可能實現旋轉對稱的維恩圖——素數是隻能被1和自身整除的數字，例如2、3和5，但不是4。亨德森只表明素數個集合是必要的，而不是說您總是可以為每個素數設計對稱的維恩圖。因此，尋找越來越大的示例的競賽開始了。這是一個看起來很狂野的來自彼得·漢堡的11個集合的維恩圖。

南卡羅來納大學的數學家在2004年解決了這個問題，他們證明了對於每個素數個集合都存在旋轉對稱的維恩圖。如果您認為這導致數學家收拾鉛筆，停止對維恩圖的研究，那麼您就沒有繼續關注。相反，社群提高了他們的審美標準，尋求具有更精緻屬性的圖形。

我們開篇引用的內容認為維恩圖被高估了。即使是那些同意這種觀點的人也必須承認它們具有一種奇特的魅力。以邏輯學、幾何學和視覺化中感興趣的主題集合為例，您會在交集處找到維恩圖。