編者按：本文最初發表於 1998 年 5 月版的《大眾科學》。我們釋出這篇文章是為了回應最近有關雷曼兄弟和美林證券的新聞。
早在厄爾尼諾現象驅動的風暴襲擊美國太平洋沿岸的幾個月前，金融界就已經在為異常天氣做準備。從去年開始，投資者可以買賣一種合約，其價值完全取決於溫度波動或雨、冰雹或雪的累積量。
例如，如果洛杉磯機場從 10 月到 4 月的降雨量在 17 到 27 英寸之間，這些天氣衍生品可能會支付。它們是保險公司為保單持有人未來的索賠提供幫助，或農民防範作物損失的一種手段。或者，這些合約可能允許供暖油供應商應對比預期更溫暖的冬季造成的現金短缺，方法是購買供暖度日下限——一種合約，如果溫度未能像預期那樣頻繁地降至 65 度以下，該合約將對公司進行補償。“我們是厄爾尼諾現象的忠實擁躉，因為它給我們帶來了很多業務，”總部位於紐約市的 Worldwide Weather Trading 公司的董事總經理 Andrew Freeman 評論道，該公司編寫有關雨、雪和溫度的合約。
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天氣衍生品標誌著一個名為金融工程的學科日益普及的例證。這個高速計算和數學家、物理學家和經濟學家複雜的數學建模領域可以幫助減輕全球企業運營中的變數。它需要定製證券的包裝，以提供價格保險，防止日元或溫度計下跌。市場崩潰或下一次季風的不確定性可以被定價，分成可銷售的塊狀，並出售給願意承擔該風險的人——以換取費用或未來的付款流。“這項技術將有效地讓您完全管理整個組織的風險，”康奈爾大學金融學教授羅伯特·A·賈羅 (Robert A. Jarrow) 說。
金融工具的工程設計是為了應對近幾十年來日益互聯的世界市場中的動盪而出現的：這是浮動匯率、石油危機、利率衝擊和股市崩盤的結果。
新產品的創造性釋放仍在繼續，證券和衍生品的形式日益複雜——期權、期貨和其他衍生自基礎資產、金融指數、利率或貨幣匯率的合約。新的衍生品將幫助電力公司防範新近放松管制的市場中的價格和容量波動。信用衍生品讓銀行可以將貸款違約風險轉移給其他方。甚至有人考慮過幫助企業應對 2000 年蟲問題的證券。這種活躍的活動發生在聲譽受損的背景下。
寶潔、吉布森賀卡和巴林銀行等公司因慘敗而累積的數十億美元損失，使衍生品在大眾心目中成為投機性風險增強器的形象，而不是新型保險。人們的擔憂也集中在使用數學建模技術的完整性上，這些技術使衍生品交易成為可能。
儘管聲譽受損，但金融工程在 10 月份還是收到了某種形式的情人節禮物。諾貝爾經濟學獎（正式名稱為瑞典銀行經濟學獎）授予了 Myron S. Scholes 和 Robert C. Merton，他們是期權定價模型的兩位建立者，該模型幫助推動了衍生品市場活動的爆炸式增長。
期權代表在特定日期或之前以給定價格買賣股票或某些其他資產的權利（但不是義務）。另一種主要的衍生品類別，稱為遠期和期貨，規定買方有義務在設定的價格和時間購買資產。掉期是另一種型別的衍生品，允許公司交換現金流——例如，浮動利率換固定利率支付。金融工程使用這些構建模組來建立定製工具，這些工具可以為退休人員提供投資的保證最低迴報，或者允許公用事業公司透過合同安排而不是建造新工廠來滿足其未來的電力需求。
建立複雜的金融工具需要準確的定價方法來確定構成其組成部分的衍生品的價格。建立期貨合約的價格相對容易。當小麥成本上漲時，該商品期貨合約的價格也會以相同的相對幅度上漲。因此，這種關係是線性的。對於期權，衍生品與基礎資產之間沒有如此簡單的聯絡。因此，Scholes、Merton 及其已故同事 Fischer Black 的工作具有重要意義，一位經濟學家稱他們的努力為“不僅在金融領域，而且在所有經濟學領域中最成功的理論”。
愛因斯坦與期權
在 20 世紀的大部分時間裡，期權的適當估值一直困擾著經濟學家。從 1900 年路易·巴舍利耶 (Louis Bachelier) 的開創性論文《投機理論》開始，他描述了一種為期權定價的方法。值得注意的是，他為此目的構想的公式的一個組成部分預見了一個模型，阿爾伯特·愛因斯坦後來在他的布朗運動理論中使用，即粒子在流體中的隨機運動。然而，巴舍利耶的公式包含財務上不切實際的假設，例如股票價格的負值存在。
包括諾貝爾獎獲得者保羅·薩繆爾森 (Paul Samuelson) 在內的其他學術思想家也試圖解決這個問題。他們在計算風險溢價這一困難的努力中失敗了：期權價格的折扣，以補償投資者對風險的厭惡和股票在市場中的不確定性變動。
Black、Scholes 和 Merton 分享的見解是，不需要估計風險溢價，因為它包含在報價股票價格中，這是期權公式中的關鍵輸入。市場導致風險較高的股票的交易價格低於其預期的未來價值，而風險較低的股票的交易價格則更高，這種差異充當了固有風險的折扣。
Black 和 Scholes 在 Merton 的幫助下，透過構建一個假設的投資組合，其中股票價格的變化被股票期權價值的抵消性變化所抵消——這種策略稱為對沖，從而提出了他們的期權定價公式。這是一個簡化的示例：看跌期權將賦予所有者在三個月內以 100 美元或以下的價格出售股票的權利。當股票下跌 1 美元時（因為可以使用期權的條件變得更有可能），期權的價值可能會增加 50 美分；當股票上漲 1 美元時，期權的價值可能會減少 50 美分。
為了對沖股價變化帶來的風險，投資者可以每擁有一股股票購買兩份期權；那麼利潤將抵消損失。對沖建立了一個無風險投資組合，其回報與國庫券的回報相同。隨著股價隨時間變化，投資者必須改變投資組合的構成——股票數量與期權數量的比率——以確保持有頭寸保持無風險。
事實上，Black-Scholes 公式是從偏微分方程中推匯出來的，該方程表明，期權的公允價格是在這種對沖投資組合中帶來無風險回報的價格。Black、Scholes 和 Merton 概述的對沖策略的變體已被證明對金融中心銀行和一系列其他機構非常寶貴，它們可以使用這些策略來保護投資組合免受市場波動的影響——例如，確保免受股票大幅下跌的影響。
基本的期權定價方法也可以擴充套件到建立其他工具，其中一些工具帶有像“cliquets”或“shouts”這樣的奇怪名稱。這些色彩繽紛的金融工具提供了靈活性，可以根據客戶的特定風險狀況塑造期權的收益，例如，對利率或匯率設定下限、上限或平均函式。
有了正確的期權，投資者可以押注或對沖任何型別的不確定性，從市場的波動性（上下波動）到災難性天氣的機率。出口商可以購買“回顧”貨幣期權，以在六個月期間獲得最優惠的美元兌日元匯率，而不是在合約到期日面臨匯率突然變化的風險。
在 20 世紀 70 年代初期，Black 和 Scholes 的原始論文難以找到出版商。當它在 1973 年在政治經濟學雜誌上發表時，它對金融市場的影響立竿見影。幾個月內，他們的公式就被程式設計到計算器中。華爾街喜歡它，因為交易員只需輸入幾個變數，包括股票價格、國庫券利率和期權的到期日，就可以輕鬆解出方程。唯一不易獲得的變數是“市場波動率”——股票價格與其平均值的標準差。然而，這個數字可以從過去價格的漲跌中估算出來。同樣，如果市場中當前的期權價格已知，交易員可以將該數字輸入工作站並“反推出”波動率的數字，該數字可用於判斷期權相對於市場中當前股票價格是被高估還是被低估。
購買期權的投資者基本上是在購買波動率——要麼是為了投機，要麼是為了防範市場動盪。市場波動越大，期權就越有價值。使用看漲期權（購買股票的期權）進行投機的投資者，如果股票未能達到買方可以行使購買權的價格，則最多隻會損失購買成本，稱為溢價。相反，如果股票飆升至行使價之上，則獲利潛力是無限的。同樣，使用期權進行對沖的投資者也預計未來會出現艱難時期，因此可能會購買保護措施以防範市場下跌。
華爾街的物理學家
儘管 Black-Scholes 方程背後的數學原理可以簡化為袖珍計算器上的運算，但它是隨機微積分，是 Bachelier 和 Einstein 工作的後代。這些方程絕不是大多數工商管理課程的標準內容。華爾街火箭科學家登場了：前物理學家、數學家、計算機科學家和計量經濟學家，他們現在在華爾街金融巨頭中扮演著重要角色。
從同步加速器到交易室的轉變並非總是如此順利。“每當你聘請一位物理學家時，你總是希望他或她不會認為市場就像受不變的物理定律支配一樣，”加拿大帝國商業銀行世界市場投資銀行董事總經理查爾斯·史密森 (Charles Smithson) 指出。“鈾 238 總是衰變成鈾 234。但物理學家必須記住，市場既會上漲也會下跌。”
最近，一些大學開設了“量化學校”課程，這些課程對工商管理碩士或其他碩士學生進行金融高等應用數學、伊藤引理的微妙之處以及隨機微積分的其他基石方面的教育。否則，他們可能會在進入華爾街之前培訓物理學家、工程師和數學家。“市場壓力正在引導物理學家接受更多教育，以試圖理解金融問題背後的動機和直覺，”麻省理工學院斯隆管理學院金融工程專業負責人 Andrew W. Lo 說。
作為學習的一部分，金融工程師培訓生了解了數學建模在 Black、Scholes 和 Merton 的原始工作之外的進展。基本的 Black-Scholes 公式對市場的運作方式做出了不切實際的假設。它將固定利率作為輸入，但利率當然會變化，這會影響期權的價值——尤其是債券期權。該公式還假設股票價格增長率的變化呈正態統計分佈，即事件圍繞均值聚集的鐘形曲線。因此，它未能考慮到 1929 年或 1987 年股市崩盤等非常事件。Black、Scholes 和 Merton——以及大量的量化分析師——在隨後的幾年中一直在改進許多最初的想法。
Emanuel Derman 是高盛量化策略小組的負責人，他是一位從物理學家轉向量化分析師的人，他在過去 13 年的工作是解決 Black-Scholes 方程的不完善之處。Derman 出生於南非開普敦，於 1973 年在哥倫比亞大學獲得博士學位，論文是關於亞原子粒子之間的弱相互作用。他繼續從事博士後研究，包括在賓夕法尼亞大學研究中微子散射，在牛津大學理論物理系研究魅力夸克產生。在 20 世紀 70 年代後期，Derman 決定離開學術界：“物理學是一項孤獨的工作。這是一個真正的精英統治。在物理學中，你有時會覺得自己要麼是 [理查德] 費曼，要麼就一文不值。我喜歡物理學，但也許我沒有我本可以達到的那麼好。”
因此，在 1980 年，他去了新澤西州的貝爾實驗室，在那裡他從事一種專為金融量身定製的計算機語言的工作。1985 年，高盛聘請他開發利率建模方法。此後他一直在那裡工作，除了在 Salomon Brothers 度過了一年。在高盛，他遇到了新近聘用的 Fischer Black，兩人開始與另一位同事 William W. Toy 合作開發債券期權估值方法。Derman 記得 Black 是一個直言不諱的誠實人，有嚴謹的寫作習慣，戴著卡西歐資料銀行手錶。“Black 的直覺比他的數學能力更強大，”Derman 說。“但他總是知道正確的答案是什麼。”
物理學與金融學 Derman 最近關於股票價格預期波動率的大部分工作繼續完善 1973 年的原始論文。Derman 斷言，Black-Scholes 方程之於金融學，就如同牛頓力學之於物理學。“Black-Scholes 有點像是該領域賴以建立的基礎。沒有人知道接下來該做什麼，除了擴充套件它。”但他擔心，該領域可能永遠無法成功地培養出自己的愛因斯坦——或者某種統一的金融萬物理論。金融學不同於物理學，因為沒有數學模型可以捕捉到導致市場重大擾動的眾多不斷變化的經濟因素——例如，最近的亞洲崩盤。“在物理學中，你是在與上帝博弈；在金融學中，你是在與人博弈，”Derman 宣稱。
在華爾街領域之外，物理概念和金融學之間的相似之處有時被學術界更字面地理解。英國伯明翰大學的 Kirill Ilinski 使用費曼的量子電動力學理論來建模市場動態，同時利用這些概念重新推導 Black-Scholes 方程。Ilinski 用所謂的套利場取代了控制帶電粒子相互作用的電磁場，該套利場可以描述期權和股票價格的變化。（將股票和期權投資組合的價值調整一致的交易稱為套利。）
Ilinski 的理論展示了量子電動力學如何建模 Black、Scholes 和 Merton 的對沖策略，其中市場動態決定了股票的任何收益都將被期權價值的下降所抵消，從而產生無風險回報。Ilinski 將其等同於“虛粒子”或光子的吸收，這些粒子抑制了兩個電子之間的相互作用力。他繼續展示了他的套利場模型如何闡明原始 Black-Scholes 方程未曾設想的盈利機會。
Ilinski 是新興學科經濟物理學的成員，該學科的第一次會議於去年 7 月在布達佩斯舉行。然而，物理學和金融學之間的字面相似性幾乎沒有獲得追隨者。“它不符合科學和胡說八道之間非常簡單的分界規則，”資深衍生品交易員兼法國投資銀行 Paribas 的高階顧問 Nassim Taleb 指出。Ilinski 認識到他的工作的爭議性。“有些人接受我的工作，有些人說我瘋了。所以存在意見分歧，”他挖苦地說。
無論是引用理查德·費曼還是 Fischer Black，使用數學模型來評估和對沖證券都是一種估計練習。“模型風險”一詞描述了不同的模型如何為衍生品產生差異很大的價格，以及當這些價格與金融工具在市場上可以買賣的價格不同時，這些價格如何造成巨大損失。
模型風險有多種形式。模型的複雜性可能導致衍生品估值錯誤。模型所依據的不準確假設也可能導致估值錯誤——例如，在匯率危機期間未能考慮利率的波動性。許多模型無法很好地應對市場變數之間關係的突然變化，例如美元和印尼盾之間正常交易範圍的變化。“模型或您使用模型的方式只是不再能捕捉到正在發生的事情，”紐約市 Capital Market Risk Advisors 公司的負責人 Tanya Styblo Beder 說，該公司評估模型的完整性。“情況發生了變化。這就像你駕駛著一輛腳踏車在一條非常陡峭的山路上滑行，然後你發現自己在一輛沒有剎車的拖拉機拖車裡。”
金融工程定製的產品不在公共交易所交易，因此依賴於模型產生的估值，有時很難將模型的定價與市場中的其他工具進行比較。當到出售時，市場提供的價格可能與模型的估計值有很大差異。在某些情況下，交易員可能會利用另一個交易員模型中所謂的定價錯誤來出售被高估的期權，這種做法稱為模型套利。
“存在不加仔細質疑就接受模型的危險，”摩根士丹利負責開發和測試固定收益證券模型的前數學家 Joseph A. Langsam 說。摩根士丹利和其他公司採用了各種測試方法，例如確定他們的模型對已知價格的衍生品的估值效果如何。
據 Capital Market Risk Advisors 稱，在過去十年中發生的 237.7 億美元的衍生品損失中，與建模相關的問題約佔 20%。然而，去年，模型風險幾乎佔 26.5 億美元損失的 40%。1997 年的統計包括國民西敏寺銀行損失 1.23 億美元，瑞士聯合銀行損失 2.4 億美元。
行業貿易雜誌Derivatives Strategy在 2 月份贊助的一次會議上舉行了一場名為“首先殺死所有模型”的圓桌討論。一些與會者質疑，最複雜的數學模型是否可以與交易員對市場動態的技能和直覺相媲美。“隨著模型變得越來越複雜，人們會使用它們，並且它們在這方面很危險，因為他們會以損害其經濟健康的方式使用它們，”紐約市法國興業銀行/FIMAT 衍生品交易部門負責人 Stanley R. Jonas 說。倫敦商學院的 Jens Carsten Jackwerth 和加州大學伯克利分校的 Mark E. Rubinstein 進行的一項未發表的研究表明，交易員自己關於推斷未來股票指數波動率的經驗法則比許多主要的建模方法做得更好。
會議上的一位建模師——高盛的 Derman——為他的行業辯護。“用六十年代毛澤東的話來說：讓 1000 個模型綻放，”他宣稱。他將模型比作 gedanken（思想）實驗，這些實驗是非經驗性的，但可以幫助物理學家更清晰地思考世界：“愛因斯坦會思考坐在以光速移動的波浪邊緣會是什麼感覺，以及他會看到什麼。我認為我們正在做類似的事情。我們有點像在研究虛構的世界，並試圖從中獲得一些價值，看看哪個世界最接近我們自己的世界。”Derman 承認每個模型都是不完善的：“你需要考慮如何解釋模型與現實世界之間的不匹配。”
金融氫彈
衍生品的形象因廣為人知的金融慘敗而蒙上陰影，其中包括巴林銀行和加利福尼亞州奧蘭治縣的破產，以及寶潔和吉布森賀卡的鉅額虧損。投資銀行家 Felix Rohatyn 曾被引述警告說，二十多歲的計算機奇才炮製“金融氫彈”的危險。一些企業和地方政府已將衍生品完全排除在其投資組合之外；甚至出現了對金融體系崩潰的擔憂。
這些新工具的創造者從更廣闊的角度看待損失。根據國際清算銀行的資料，1995 年，期權、期貨、遠期和掉期合約所依據的所有股票、債券、貨幣和其他資產的名義價值或票面價值總計 56 萬億美元。未償衍生品合約的市場價值本身僅佔總體數字的幾個百分點，但總額可能仍達數萬億美元。相比之下，1987 年至 1997 年間已知的衍生品損失僅為 238 億美元。更普通的投資也可能損害投資者。當 1994 年利率飆升時，國債市場損失了 2300 億美元。
衍生品之所以成為新聞，是因為像飛機失事一樣，它們的損失可能會突然而引人注目。合約可能涉及巨大的槓桿作用。衍生品投資者可能僅投入基礎資產價值的一小部分，例如股票或債券。資產價值的百分比小幅變化可能會導致衍生品價值的百分比大幅上漲或下跌。
為了管理擁有衍生品和其他證券的風險，金融機構求助於其他數學模型。這項工作的很大一部分根植於投資組合理論，這是一種統計測量和最佳化方法，哈里·馬科維茨 (Harry M. Markowitz) 因其獲得了 1990 年諾貝爾獎。馬科維茨闡明瞭投資者如何透過分散投資於一系列並非都在市場變化時以相同方式表現的資產，從而在給定回報水平下最大限度地降低風險。
馬科維茨的一個遺留物被稱為風險價值。它提出了一套技術，可以為投資損失引出一個最壞情況的單一數字。風險價值計算從貨幣到衍生品的每個現有投資組合的最大損失機率。然後，它為公司的總體財務風險引出一個風險價值：在給定的統計置信區間內，未來 30 天內可能出現的最壞打擊可能達到 8500 萬美元。對投資組合的分析顯示了風險集中的地方。加州大學歐文分校金融學教授 Philippe Jorion 進行了一項案例研究，該研究表明風險價值衡量標準如何向即使是不成熟的投資者發出警告訊號。如果奧蘭治縣學校董事會成員知道存在 5% 的機會損失超過 10 億美元，那麼他們對投資於損失了 17 億美元的縣基金的反應可能會有所不同。
與其他建模技術一樣，風險價值也引發了人們對其預測現實世界起伏的程度的懷疑。最廣泛使用的測量技術在很大程度上依賴於歷史市場資料，而這些資料未能捕捉到罕見但極端事件的嚴重程度。“如果你採用過去一年的資料，你可能會看到一個投資組合僅波動 10%。然後，如果你提前一個月，情況可能會變化 100%，”總部位於多倫多的風險管理軟體公司 Algorithmics 的總裁 Ron S. Dembo 評論道。Algorithmics 和其他公司超越了最簡單的風險價值方法，透過向銀行提供軟體，可以透過模擬大型市場波動的後果來“壓力測試”投資組合。
一種建模技術可能會衍生出另一種，關於其內在價值的爭論肯定會繼續下去。但是，為不確定性定價的能力（金融工程的本質）已被證明在其他商業環境以及政府決策和國內金融中也具有價值。期權理論可以幫助指導資本投資。傳統的投資分析可能表明，公用事業公司最好為大型燃煤電廠預算，該電廠可以為 10 到 15 年的增長提供容量。但這種方法會犧牲建造一系列小型燃油發電機的替代方案，如果需求增長慢於預期，後者是更好的選擇。期權定價技術可以為慢增長路徑提供的靈活性定價。
Black-Scholes 模型也被用於量化發展中國家透過為工人提供通識教育而不是針對特定技能的培訓而獲得的收益。它揭示了隨著經濟轉型而快速改變勞動力技能的能力的價值可能超過提供基礎廣泛的教育的額外成本。期權定價甚至可以用於評估為受管理的醫療保健選擇“計劃外”醫生的靈活性。“這對社會的影響不僅直接體現在金融市場中，而且還體現在能夠使用這項技術來組織非金融公司以及人們如何組織他們的總體金融生活，”諾貝爾獎獲得者 Merton 說。為未來的變數定價可能有助於實現另一位諾貝爾獎獲得者的願景：斯坦福大學的肯尼斯·J·阿羅 (Kenneth J. Arrow) 設想了世界上每種情況的證券——從破產到野餐被雨淋溼的任何風險都可以轉移給其他人。