數學是讓我們描述宇宙的語言。伽利略·伽利雷在16世紀就已對此深信不疑。然而，即使是像玻璃杯中冰塊融化這樣的日常現象，也可能產生極其複雜的方程，即使是數學專家也會感到難以應付。但這並沒有阻止阿根廷數學家路易斯·卡法雷利在他的研究生涯中專注於解決這類問題。挪威科學與文學院現已授予卡法雷利今年的阿貝爾獎，這是數學領域的最高榮譽。
卡法雷利於1948年出生於布宜諾斯艾利斯。在他的職業生涯早期，他主要研究多項式的性質，多項式是包含多個項的代數表示式，直到他在布宜諾斯艾利斯大學完成博士學位。當卡法雷利於1973年在明尼蘇達大學擔任博士後研究員時，他開始致力於微分方程這一廣泛領域。
微分方程是包含導數的公式，導數描述了物理系統中變化的速率等屬性。雖然這一切聽起來複雜而抽象，但正是這類方程描述了我們周圍世界中恆定的物理變化。微分方程解釋了某些變數如何隨時間和空間變化。它們使我們能夠一窺未來，因為它們可以預測系統在時間和空間上將如何變化。假設你將一個球拋向空中：它所遵循的拋物線軌跡可以用微分方程的解來表示。
支援科學新聞事業
如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞事業 訂閱。透過購買訂閱，您將幫助確保未來能夠繼續刊登有關塑造我們當今世界的發現和思想的具有影響力的報道。
許多自然現象——如河流的流速或風向——都取決於被觀察系統的時間和位置。這使得微分方程非常難以求解，因為它們包含時間和空間導數。卡法雷利最初的研究始於致力於靜態問題——那些不隨時間變化的問題。一個例子是拉伸在表面上的肥皂泡的薄膜。肥皂泡的薄膜被稱為最小曲面，因為它不斷地試圖使自身儘可能小。為了計算這種最小曲面的形狀，需要用到微分方程。卡法雷利對最小曲面在遇到障礙物時的形狀很感興趣。
考慮這個問題時，最重要的一個問題是肥皂泡和障礙物接觸區域的表面大小。直觀地，人們會說肥皂泡的接觸面具有光滑的邊界，沒有角或邊緣。但從數學上證明這一點非常困難，因為你必須計算各種障礙物產生的最小面積，這需要求解極其大量的極其複雜的微分方程。卡法雷利在20世紀70年代著手解決這個問題，他研究了微分方程的性質，發現接觸面的邊界沒有裂縫或角——如果障礙物也是光滑的。
這項工作使他能夠專注於更復雜的現象，例如描述冰塊在水中融化的過程。斯洛維尼亞-奧地利物理學家約瑟夫·斯特凡早在19世紀後期就透過解決這個問題並推匯出兩個公式為此鋪平了道路。第一個公式描述了熱量從水流向冰的流動，導致冰升溫並開始融化。第二個公式專門描述水和冰之間不斷消失的接觸面。這兩個方程相互作用：熱傳遞的強度取決於冰的表面積，而熱流決定了表面積縮小的速度。這些所謂的斯特凡方程似乎很好地描述了這個問題。
直到20世紀70年代，人們還不清楚它們是否能提供與現實世界脫節的抽象解。這些方程可能預測出類似分形的冰塊形狀，而這種形狀從未在自然界中觀察到。這比僅僅觀察肥皂泡薄膜更難研究。冰塊的融化包含時間和空間分量。此外，即使冰塊的原始形狀是光滑的，在融化過程中也可能在冰塊上出現峰、角和邊緣。你只需想象一個沙漏形狀的冰塊：一旦連線部分融化，就會形成兩個帶有明顯尖端的物體，至少在短時間內是這樣。
在取得這些成就之後，卡法雷利繼續解決物理學中最棘手的問題之一：著名的納維-斯托克斯方程，該方程用於描述流體流動。這些是描述液體流動的微分方程。這些方程引發了數學家們幾個世紀以來的爭論。甚至不知道它們是否總是給出有限且光滑的解。這意味著尚不清楚流速是否會在某個地點或時間突然增加到另一個地點或時間——或者它是否會呈現無限大的值。這個問題是七個千禧年難題之一，克雷數學研究所在2000年為每個問題的解決方案提供了100萬美元的獎金：$1 million for the solution to each.
1980年，卡法雷利和他的同事羅伯特·科恩和路易斯·尼倫伯格在紐約市的唐人街散步時，決定研究納維-斯托克斯方程。兩年後，他們取得了一項成果，這代表了迄今為止該領域最大的突破：如果納維-斯托克斯方程的解實際上包含奇點——表現出突變或無限快速度的流體流動——那將意味著奇點註定會立即消失。這一發現並沒有解決相關的千禧年難題，但它確實保證，根據這些方程，流體只會以這種奇怪的方式表現，即使它們真的如此表現，也只會持續很短的時間——這對於飛機或汽車設計師來說是一個巨大的安慰。
至今，74歲的卡法雷利仍然不知疲倦地致力於一系列研究課題，每年發表數篇論文——在他的職業生涯中，他總共撰寫了320多篇出版物。
本文最初發表於《Spektrum der Wissenschaft》，經授權轉載。