1915年11月，在普魯士科學院的一次講座中，阿爾伯特·愛因斯坦描述了一個顛覆人類宇宙觀的想法。愛因斯坦解釋說，我們實際上居住在一個稱為時空的四維現實中，其形式會隨著物質和能量的變化而波動，而不是接受空間和時間的幾何形狀是固定的。
愛因斯坦用幾個方程詳細闡述了這一戲劇性的見解，這些方程被稱為他的“場方程”，構成了他的 廣義相對論的核心。自那以來的一個世紀裡，每一次實驗性檢驗都證實了該理論。
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然而，即使愛因斯坦的理論似乎描述了我們觀察到的世界，支撐它的數學仍然 largely 神秘莫測。數學家們對這些方程本身能夠證明的東西非常少。我們知道它們有效，但我們無法確切說明原因。甚至愛因斯坦也不得不求助於近似值，而不是精確解，才能透過他創造的鏡頭來看待宇宙。
然而，在過去一年中，數學家們使廣義相對論的數學更加清晰。兩個研究小組提出了與廣義相對論中的一個重要問題相關的證明，即黑洞穩定性猜想。他們的工作證明，愛因斯坦的方程與對於時空應該如何表現的物理直覺相符：如果你撞擊它，它會像果凍一樣晃動，然後像最初那樣穩定下來。
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鳴謝：Olena Shmahalo，量子雜誌
普林斯頓大學的數學家，Sergiu Klainerman說：“如果這些解不穩定，那就意味著它們不是物理的。它們將是一個數學幽靈，在數學上存在，但從物理角度來看沒有任何意義。”他與Jérémie Szeftel共同撰寫了兩項新成果之一。
為了完成證明，數學家們必須解決愛因斯坦方程的一箇中心難題。為了描述時空形狀如何演變，你需要一個座標系——比如經緯線——告訴你哪些點在哪裡。在時空中，就像在地球上一樣，很難找到一個在任何地方都適用的座標系。
搖晃黑洞
廣義相對論最著名的描述是將時空描述為類似橡膠片的東西。在沒有任何物質的情況下，這張片是平坦的。但是開始往上面扔球——恆星和行星——這張片就會變形。球會互相滾動。隨著物體移動，橡膠片的形狀也會相應變化。
愛因斯坦的場方程描述了時空形狀的演變。你給方程提供關於每個點的曲率和能量的資訊，方程會告訴你未來時空的形狀。透過這種方式，愛因斯坦的方程就像模擬任何物理現象的方程一樣：這是球在零時刻的位置，這是它五秒後的位置。
加州大學伯克利分校的克萊研究員Peter Hintz說：“它們是數學上精確的定量版本，說明時空在物質存在的情況下會彎曲。”他與András Vasy共同撰寫了另一項最新成果。
1916年，幾乎在愛因斯坦釋出他的廣義相對論理論後，德國物理學家卡爾·史瓦西找到了方程的精確解，描述了我們現在所知的黑洞（這個術語在五十年後才被髮明出來）。後來，物理學家們找到了精確的解，描述了旋轉黑洞和帶電黑洞。
這些仍然是描述黑洞的唯一精確解。如果你再新增一個黑洞，力的相互作用就會變得過於複雜，以至於目前的數學技術無法在所有情況下處理，除非在最特殊的情況下。
然而，你仍然可以對這個有限的解組提出重要的問題。其中一個問題源於法國數學家伊馮娜·舒凱-布魯阿在1952年的工作。它實際上是問：當你搖晃黑洞時會發生什麼？
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鳴謝：Lucy Reading-Ikkanda，量子雜誌
這個問題現在被稱為黑洞穩定性猜想。該猜想預測，愛因斯坦方程的解將“在擾動下保持穩定”。通俗地說，這意味著如果你晃動黑洞，時空最初會晃動，然後最終穩定下來，形成一個與你開始時非常相似的形狀。“粗略地說，穩定性意味著如果我採用特殊的解並稍微擾動它們，稍微改變資料，那麼由此產生的動力學將非常接近原始解，”Klainerman說。
所謂的“穩定性”結果是對任何物理理論的重要檢驗。為了理解原因，考慮一個比黑洞更熟悉的例子是有用的。
想象一個池塘。現在想象一下，你透過向池塘中扔一塊石頭來擾動池塘。池塘會晃動一會兒，然後再次平靜下來。在數學上，你用來描述池塘的任何方程（在這種情況下是納維-斯托克斯方程）應該描述基本的物理圖景。如果初始解和長期解不匹配，你可能會質疑你的方程的有效性。
Vasy說：“這個方程可能具有任何性質，它可能在數學上完全沒問題，但如果它違背了你的物理期望，它就不可能是正確的方程。”
對於研究愛因斯坦方程的數學家來說，穩定性證明比找到方程的解還要困難。考慮平坦、空曠的閔可夫斯基空間的情況——所有時空配置中最簡單的。愛因斯坦早期提出的狹義相對論理論在1908年找到了這個愛因斯坦方程的解。然而，直到1993年，數學家們才設法證明，如果你晃動平坦、空曠的時空，你最終會回到平坦、空曠的時空。Klainerman和Demetrios Christodoulou的這一結果是該領域的傑作。
穩定性證明的主要困難之一是跟蹤四維時空中隨著解的演變而發生的事情。你需要一個座標系，使你能夠測量距離並識別時空中的點，就像經緯線使我們能夠定義地球上的位置一樣。但是，找到一個在時空中每個點都適用的座標系，然後在時空形狀演變時繼續適用，這並不容易。
Hintz在一封電子郵件中寫道：“我們不知道一種通用的方法來做到這一點。畢竟，宇宙不會給你一個首選的座標系。”
測量問題
關於座標系，首先要認識到的是它們是人類的發明。其次，並非每個座標系都適用於識別空間中的每個點。
以經緯線為例：它們是任意的。製圖師本可以指定任意數量的假想線作為經度0度。雖然經緯線可以用來識別地球上的幾乎每個位置，但它們在北極和南極就失效了。如果你對地球本身一無所知，只能訪問經緯度讀數，你可能會錯誤地得出結論，認為在這些點上發生了一些拓撲上奇怪的事情。
這種可能性——由於用於描述物理空間的座標系不足而對物理空間的性質得出錯誤的結論——是證明時空穩定性困難的核心原因。
劍橋大學的數學家，也是愛因斯坦方程研究領域的領軍人物Mihalis Dafermos說：“可能是穩定性是正確的，但你使用的座標不穩定，因此你錯過了穩定性是正確的事實。”
在黑洞穩定性猜想的背景下，無論你使用什麼座標系，都必須隨著時空形狀的演變而演變——就像一個緊貼的手套隨著它包裹的手的形狀變化而調整一樣。座標系和時空之間的契合度必須在開始時良好，並在整個過程中保持良好。如果不是這樣，可能會發生兩件事，從而破壞證明穩定性的努力。
首先，你的座標系可能會以某種方式改變形狀，使其在某些點崩潰，就像經緯線在兩極失效一樣。這些點被稱為“座標奇點”（以區別於物理奇點，如實際的黑洞）。它們是你座標系中未定義的點，使得不可能完全跟蹤演變的解。
其次，一個不合適的座標系可能會掩蓋它旨在測量的潛在物理現象。為了證明愛因斯坦方程的解在受到擾動後會穩定下來，數學家們必須仔細跟蹤由擾動引起的時空漣漪。為了理解原因，值得再次考慮池塘。扔進池塘的石頭會產生波浪。池塘的長期穩定性源於這些波浪會隨著時間衰減——它們變得越來越小，直到沒有任何跡象表明它們曾經存在過。
時空的情況類似。擾動會引發一系列引力波，而證明穩定性需要證明這些引力波會衰減。而證明衰減需要一個座標系——稱為“規範”——使你能夠測量波的大小。正確的規範使數學家能夠看到波變平，並最終完全消失。
Klainerman說：“衰減必須相對於某物來衡量，而規範問題就在這裡顯現出來。如果我不在正確的規範中，即使原則上我具有穩定性，我也無法證明它，因為規範根本不允許我看到衰減。如果我沒有波的衰減率，我就無法證明穩定性。”
問題是，雖然座標系至關重要，但選擇哪個座標系並不明顯。Hintz說：“關於這個規範條件可以是什麼，你有很多自由。這些選擇中的大多數都會很糟糕。”
部分進展
黑洞穩定性猜想的完整證明需要證明愛因斯坦方程的所有已知黑洞解（黑洞的自旋低於某個閾值）在受到擾動後都是穩定的。這些已知的解包括史瓦西解，它描述了具有非旋轉黑洞的時空，以及克爾解族，它描述了除單個旋轉黑洞外空無一物的時空配置（其中旋轉黑洞的屬性——它的質量和角動量——在解族中變化）。
兩項新結果都為證明完整猜想取得了部分進展。
Hintz和Vasy在2016年釋出在科學預印本網站arxiv.org上的一篇論文中，證明了緩慢旋轉的黑洞是穩定的。但他們的工作沒有涵蓋旋轉速度超過一定閾值的黑洞。
他們的證明也對時空的性質做了一些假設。最初的猜想是在閔可夫斯基空間中，閔可夫斯基空間不僅是平坦和空曠的，而且尺寸也是固定的。Hintz和Vasy的證明發生在所謂的德西特空間中，時空正在向外加速膨脹，就像在實際宇宙中一樣。這種設定的改變從技術角度來看使問題變得更簡單，這在概念層面上很容易理解：如果你向一個膨脹的池塘中扔一塊石頭，膨脹將拉伸波浪，並導致它們比池塘不膨脹時衰減得更快。
Hintz說：“你正在觀察一個正在經歷加速膨脹的宇宙。這使得問題變得更容易一些，因為它似乎稀釋了引力波。”
Klainerman和Szeftel的工作具有略微不同的風味。他們的證明，第一部分於去年11月在網上釋出，發生在史瓦西時空中——更接近於問題的最初、更困難的設定。他們證明了非旋轉黑洞的穩定性，但他們沒有解決黑洞旋轉的解。此外，他們只證明了黑洞解對於一小類擾動的穩定性——其中由這些擾動產生的引力波在某種程度上是對稱的。
這兩項結果都涉及尋找問題正確座標系的新技術。Hintz和Vasy從方程的近似解開始，基於近似座標系，並逐漸提高答案的精度，直到他們獲得精確解和行為良好的座標。Klainerman和Szeftel對挑戰採取了更幾何的方法。
這兩個團隊現在正試圖在各自的方法基礎上再接再厲，找到完整猜想的證明。一些專家觀察員認為，這一天可能不會太遙遠。
Dafermos說：“我真的認為現在的情況是，剩下的困難只是技術性的。在某種程度上，不需要新的想法來解決這個問題。”他強調，最終的證明可能來自目前從事該問題研究的大量數學家中的任何一位。
100年來，愛因斯坦方程一直是宇宙可靠的實驗指南。現在，數學家們可能越來越接近於證明它們為何如此有效。
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