數學中最奇怪的三個悖論

有時你的直覺會誤導你——尤其是在數學中，你經常會遇到看似不可能的結果。例如，無窮大並非總是等於無窮大，而烏龜可能超越人類運動員——至少從某種數學角度來看是這樣。

還有許多乍一看（或第二眼或第三眼）似乎自相矛盾的情況。然而，這些悖論是可以解釋的。它們不是錯誤，而是提醒我們不應在數學中過分依賴直覺。以下是該領域中最奇怪的三個悖論。

希爾伯特旅館

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想象一下，您正在前往一個城市旅行，卻忘記提前預訂房間。幸運的是，您偶然發現一家以著名數學家大衛·希爾伯特命名的美麗酒店，您非常欣賞他的工作。您走到接待處，看到這家酒店有無限數量的房間：房間號對應於自然數 1、2、3、4，...，永無止境。

然而，接待員告訴您酒店已滿。但您精通數學，所以不會輕易被敷衍了事。您知道一個技巧，可以讓您以及所有其他無數的客人也找到房間。您向接待員建議，讓每位客人搬到房間號比他們當前住宿房間號大一號的房間。因此，1 號房間的人搬到 2 號房間，2 號房間的人搬到 3 號房間，依此類推。

因為希爾伯特旅館擁有無限數量的可用房間，即使客滿，仍然有空間容納更多客人。而且這不僅僅適用於一個人：他們可以帶一整車也想要房間的人。在這種情況下，酒店客人必須搬到房間號不止大一號的房間。

更奇怪的是。即使您帶無限數量的人來到希爾伯特旅館，您仍然可以在客滿的酒店中容納他們。為此，1 號房間的客人必須搬到 2 號房間，2 號房間的客人搬到 4 號房間，3 號房間的客人搬到 6 號房間，依此類推。當每個人都搬到房間號是他們當前房間號兩倍的房間時，無限數量的奇數房間就空出來了。

德國數學家大衛·希爾伯特在 1925 年關於無窮大的講座中提出了這個所謂的悖論。這個例子說明了並非所有概念都可以從有限情況轉移到無限情況：“每個房間都住滿了”和“酒店不能再接待更多客人”這兩個陳述在現實世界中是同義的——但在一個擁有無窮大的世界中則不然。

生日悖論

下一個悖論對許多人來說更熟悉。當我在學校時，我的幾個同學在同一天過生日的情況並不少見。事實上，我也和一個同學同一天生日。乍一看，這似乎是一個巨大的巧合。畢竟，一年有 365 天（閏年有 366 天，但為了簡單起見，我們忽略這一點），一個班級大約有 20 到 30 名學生。因此，我們的直覺告訴我們，兩個孩子在同一天出生的可能性不大。

但事實並非如此。事實上，在 23 人一組中，有兩人在同一天過生日的機率超過 50%。為了更好地理解這一點，最好不要看人數，而是看人與人之間的對數。從 23 個人中，可以形成 (23 x 22) / 2 = 253 對——這個數字超過了一年中天數的一半。如果我們看一下一個 23 人的班級中，有一個學生在特定日期出生的機率，那麼這個機率只有 1- ((365-1) /365)^23=6.1%。

因此，生日悖論的產生是由於檢視學生對會比只看個人給出更多的可能性。

這個事實在密碼學中具有實際效果。例如，如果您想簽署一份數字合同，則會使用“雜湊函式”：當文件被簽署時，它會被轉換為固定長度的字串（“雜湊”）。即使對原始文件進行最小的更改，從中形成的雜湊也會完全不同。透過保留他們的雜湊，簽名者可以證明他們最初簽署的內容——使該過程具有防篡改性。然而，兩個完全不同的文件會生成同一個雜湊的可能性極低，這會帶來安全風險。

通常，雜湊函式的長度被選擇為使得這種“衝突”（兩個不同的資料記錄產生相同的雜湊）極為罕見。然而，駭客可以進行“生日攻擊”：他們可以生成許多不同的文件，並將它們的雜湊函式成對比較——就像老師比較同學的生日而不是關注特定日期和單個學生一樣。

在實踐中，生日攻擊可能是這樣的：我首先建立兩個合同，V1 和 V2。V1 是一份公平的合同，但 V2 的措辭對我有好處。然後我在兩個合同的各個地方進行更改：我新增空格、製表符和換行符以建立 V1 和 V2 的變體。這些更改對於讀者來說幾乎是不可見的，但它們會徹底改變文件的雜湊函式。

如果我成對比較修改後的合同 V1 和 V2 的各個雜湊函式，我會比專門嘗試重現特定雜湊（例如 V1 的雜湊）更快地找到匹配的雜湊。如果我找到一對匹配的 V′1 和 V′2，我可以給您合同 V′1 簽名，但在事後聲稱您簽署了 V′2。因為兩者生成相同的雜湊，所以數字簽名軟體無法檢測到欺詐行為。

羅素悖論

英國哲學家伯特蘭·羅素在 1901 年提出了一個悖論，有時稱為羅素悖論——一個描述兩個看似矛盾的想法的術語。與希爾伯特旅館和生日悖論不同，羅素悖論不僅僅是一個逃脫我們直覺的結果。它本身就違反了邏輯規則。該悖論產生既非假亦非真的陳述。

有幾個例子可以說明羅素悖論，但一個著名的例子是“理髮師悖論”。假設一位理髮師為鎮上所有不給自己刮鬍子的人刮鬍子——並且只為這些人刮鬍子。理髮師給自己刮鬍子嗎？如果他給自己刮鬍子，那麼他就不再屬於不給自己刮鬍子的人群。但如果他不給自己刮鬍子，那麼根據定義，他就必須給自己刮鬍子（因為所有不給自己刮鬍子的居民都會去找他）。

這個問題是由於集合定義不明確而引起的。在羅素提出悖論的時候，集合通常指的是事物的集合：例如，自然數形成一個集合，所有不給自己刮鬍子的居民的集合也是如此。這也允許集合包含自身或將自身作為一個整體來引用——而這些屬性會導致矛盾。因此，這個悖論導致了數學家所稱的“樸素集合論”的終結。

數學的基礎仍然依賴於集合論。但是，這種結構中的集合不再僅僅是集合，而必須滿足某些條件。例如，集合必須由已存在的集合組成，並且不得引用自身。這排除了諸如理髮師悖論之類的悖論。

用數學符號表示：鎮上可以長鬍須的男性構成集合 M。該集合包括給自己刮鬍子的男性和不給自己刮鬍子的男性。接下來，集合 C 包括理髮師的所有顧客。要形成 C，您必須遵循現代集合論的規則：如果理髮師是一個有鬍鬚的男人，或者 M 的一部分，那麼顧客集合就不能定義為“所有不給自己刮鬍子的男性居民”——因為在這種情況下，定義會引用自身，理髮師和顧客都是 M 的一部分。集合論根本不允許這樣的定義。但是，如果理髮師不是 M 的一部分——例如，如果理髮師是女性或無法長出鬍鬚——那麼這個定義是被允許的。

我們現在可以鬆一口氣了：悖論已經解決，數學並沒有註定失敗。然而，不能保證數學規則在某個時候不會產生無法解決的矛盾。邏輯學家庫爾特·哥德爾在 20 世紀 30 年代證明了這一點——並且這樣做清楚地表明，不能確定數學將永遠以自洽的方式運作。我們能做的最好的事情是希望永遠不會出現無法解決的矛盾。

本文最初發表在《科學世界》雜誌上，經許可轉載。