關於質數，我最喜歡的一個軼事是關於亞歷山大·格羅滕迪克，他是20世紀最傑出的數學家之一。據一種說法，他曾在一次談話中被要求說出一個質數。這些數字只能被1和自身整除，可以這麼說，它們構成了數論的原子，並且數千年來一直令人類著迷。
據說格羅滕迪克回答說：“57。”儘管很難確定這個故事的真實性，但57從此在書呆子圈子裡被稱為格羅滕迪克“質數”——儘管它可以被3整除，因此不是質數。
數學家尼爾·斯隆在同事阿曼德·博雷爾和已故的弗里曼·戴森共進晚餐時無意中聽到了一段類似的對話，結果卻更令人興奮。博雷爾要求戴森說出一個質數，與格羅滕迪克不同，戴森提供了一個只能被1和自身整除的數字：231 – 1。但是這個回答並沒有讓博雷爾滿意。他想讓戴森背誦一個大質數的所有數字。戴森沉默了，所以過了一會兒，斯隆插話說：“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、9、8、7、6、5、4、3、2、1。”
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數字 12,345,678,910,987,654,321 確實是質數。它由 20 位數字組成，而且真的很容易記住：數到 10，然後倒數到 1。但是，其他質數是否採用從 1 開始、升到數字 n 然後再降回來的迴文形式，這一點尚不清楚。斯隆稱它們為“令人難忘的”質數——它們可以表示為 123 ... (n – 1)n(n – 1) ... 321。對於 n = 10，您將得到斯隆提到的數字。但是，對於其他 n 值，結果是否為質數呢？戴森、博雷爾和斯隆一定就這一切進行了熱烈的討論。
斯隆特別感興趣。他在 1964 年建立了一個數字序列資料庫，該資料庫最終構成了 線上整數序列百科全書 (OEIS) 的骨幹，該百科全書於 1996 年啟動。在 OEIS 網站上，專家們彙編了關於數字序列的各種事實並對其進行討論。斯隆本人很樂意參與討論，並反覆發起研究問題，這種線上活動最終導致了對令人難忘的質數和類似質數的尋找。
是否存在無限個令人難忘的質數？
2015 年，印度工程師沙姆·桑德·古普塔從小就對質數著迷，他發現對於 n = 2,446，數字 123 ... (n – 1)n(n – 1) ... 321 是一個質數。他沒有在數學期刊上發表這一成果，而是透過一個郵件列表公佈了這一結果，該郵件列表在數論中用於此類發現。由此產生的質數有 17,350 位數字。
“由於質數在安全通訊中非常有用，因此這種易於記憶的大質數在密碼學中可能具有很大的優勢，”古普塔說。“這就是為什麼我對這種型別的質數充滿熱情。”
是否存在其他令人難忘的質數尚不清楚。數學家們已經檢查了 所有 n 值高達 60,000 的情況；除了 10 和 2,446，沒有發現其他質數。但專家們懷疑存在更多，即使他們無法證明。
有些人認為應該存在無限個這種型別的質數。這種“啟發式”論證假設質數在數軸上是隨機分佈的，並確定某種型別的數字（在本例中為迴文數 123 ... 321）成為質數的可能性有多大。儘管這些考慮不是無可辯駁的證明，但它們至少為進一步研究提供了動力。古普塔本人確信應該存在無限個這樣的迴文數，即使它們很稀有。
其他型別的令人難忘的質數
2015 年 9 月 29 日，在古普塔分享他的結果大約兩個月後，斯隆在數論郵件列表中釋出了一項挑戰，邀請其他人尋找另一種令人難忘的質數，其中數字簡單地升序排列，直到達到最後一位數字 n：123 ... (n – 2)(n – 1)n。為了成為質數，這樣的數字不能以偶數或 5 結尾，這從一開始就排除了所有 n 中的 60%。然而，即使在這種情況下，啟發式論證也表明存在無限個這樣的質數。
為了回應斯隆的號召，一些質數愛好者啟動了他們的計算機，開始系統地搜尋斯馬蘭達克質數，因為這些特定的質數被稱為斯馬蘭達克質數。在即使對於五位數的 n 值也沒有出現質數之後，斯隆轉向了 大網際網路梅森質數搜尋 團隊。這是一個協作專案，志願者們貢獻他們的計算能力來搜尋質數。梅森質數搜尋團隊的一個小組喜歡斯隆的想法，並且 斯馬蘭達克質數的搜尋以大斯馬蘭達克 PRPrime 搜尋的名義啟動。但是在 n = 106 之前沒有出現質數之後，該專案被放棄了。
乍一看，結果的缺乏似乎令人驚訝。數字 1,234,567,891 是 一個質數——但是 12,345,678,910，一個偶數，不是。如果我們考慮到存在的限制——質數不能被 2、3、4 等整除——我們可以估計，在從 n = 1 到 n = 106 的所有 123 ... n 形式的數字中，不應該出現質數。至少，這是 計算機科學家恩斯特·邁耶的計算 所表明的。根據這個計算，高達 n = 106 的斯馬蘭達克質數的預期數量約為 0.6。“所以我想鼓勵世界繼續努力，找到這個缺失的質數，”斯隆在 Numberphile YouTube 影片中說。
即使在這個方面進展甚微，斯隆還是鼓勵人們保持好奇心。例如，在 2015 年，他敦促他的同事之一——計算生物學家謝爾蓋·巴塔洛夫——尋找反向斯馬蘭達克質數。他指出，按降序寫出數字（例如 4321）已經揭示了迄今為止的兩個此類質數：82818079 ... 321 和 3776537764 ... 321。
“你能再得到一項嗎？這對你來說可能很簡單！”他寫道。
巴塔洛夫的回應：“接受挑戰！”
這些反向斯馬蘭達克質數都不可避免地以 1 結尾，這意味著從一開始就排除了更少的候選者。然而，迄今為止，巴塔洛夫（他在類似的質數問題上貢獻了許多見解）尚未找到這種令人難忘的變體的任何新例子。
古普塔也為搜尋做出了貢獻，但徒勞無功。2023 年，軟體開發人員泰勒·巴斯比表示，對於序列中的第三個質數，對於 n(n – 1) ... 321，n 必須大於 84,300。
搜尋將如何以及是否繼續尚不清楚。主要是業餘數學家參與其中——而不是專業的數論學家。那是因為這種型別的質數沒有提供任何直接的新數學見解。
儘管如此，斯隆並沒有放棄。現年 85 歲的他繼續傳播他對數學和數字的熱情，並激勵人們也從中獲得樂趣。他當然不需要說服古普塔：“我仍然在尋找各種易於記憶的大質數，”古普塔說。而且他時不時地會找到一個。
本文最初發表在《光譜-科學》雜誌上，並經許可轉載。