世界上是否有人頭髮數量完全相同？ 與您可能期望的相反，即使沒有統計分析，這個陳述也可以響亮地回答“是”。 為此，您只需要“鴿巢原理”，也稱為“狄利克雷原理”。
這聽起來幾乎可笑地簡單：如果您想將 n 個物體分配到 k 個抽屜中，並且物體的數量多於抽屜的數量 (n > k)，那麼幾個物體最終會進入同一個抽屜。 這個簡單的陳述，聽起來更像是常識而不是數學定理，最初是由法國學者 Jean Leurechon 在 1622 年的一本書中提及的。 像往常一樣，斯蒂格勒定律——根據該定律，沒有科學發現是以其真正的發現者命名的——在這裡適用。 鴿巢原理通常歸因於 彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷，他生活在 Leurechon 大約 200 年後。 儘管它很簡單，但鴿巢原理可以證明相當複雜的關係——例如，在球形表面上隨機排列的五個點中，至少有四個在同一個半球上。
但回到頭髮：您如何找出世界上是否有人頭髮數量完全相同？ 為此，您首先必須找出人們可能擁有的最多頭髮數量。 根據頭髮顏色，普通人頭部有 90,000 到 150,000 根頭髮。 可以肯定地說，沒有人擁有超過一百萬根頭髮。 然而，地球上居住著 80 億人。 這意味著肯定會有人頭髮數量完全相同——至少在其中一個人梳頭並掉了一些頭髮的那一刻之前。 但是，再梳幾次後，很可能會有另一群人擁有與該人相同數量的頭髮。 事實上，Leurechon 也選擇了頭髮數量的例子來介紹鴿巢原理。
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關於人類的頭髮數量，還可以說更多——例如，世界上頭髮數量相同的人的最小數量。 為了計算這個數字，考慮兩種極端情況會有所幫助：一種是每個人頭上的頭髮數量完全相同（如果每個人都剃光頭，情況可能就是這樣），另一種是人們的頭髮儘可能地變化。
為此，想象一下一百萬個按升序編號的房間。 每個人都進入一個房間，房間號對應於他們頭上的頭髮數量。 如果地球上的每個人頭髮數量都相同，那麼所有人最終都會進入同一個房間。 那麼一個房間裡有 80 億人，而剩下的 999,999 個房間都是空的。
然而，在另一個極端，人們以儘可能少的人最終進入同一個房間的方式分配自己。 那麼，共享一個房間的人的最小數量是多少？ 為了計算這個數字，您可以一點一點地填滿房間：先每個房間一個人，然後兩個人，然後三個人，依此類推。 如果您將 80 億人均勻地分配到一百萬個房間中，那麼每個房間最終會有 8,000 人。 一旦您稍微重新分配人員，肯定會有一個房間容納超過 8,000 人。 這意味著無論人們如何分配，在任何情況下，最滿的房間都至少容納 8,000 人。 因此，地球上至少有 8,000 人的頭髮數量相同。
因此，我們展示了鴿巢原理的更強版本：如果將 n 個物體分配到 k 個類別中，並且 n > k，那麼至少有 n ⁄ k 個物體屬於同一類別。 如果物體均勻地分佈在抽屜中，那麼平均而言，n ⁄ k 個物體最終會進入同一個抽屜。 一旦物體稍微重新分配，其中一個抽屜將不可避免地包含超過 n ⁄ k 個物體。 如果商 n ⁄ k 不是整數，那麼我們正在尋找的最小值對應於向上取整的值，因為其中一個抽屜不可避免地包含這個數量的物體。
例如，如果在一場足球比賽中進了七個球，那麼一支球隊至少進了其中的四個球（7 ⁄ 2 向上取整）。 同一支球隊也可能進了五個、六個或全部七個球。 或者考慮一些數字更大的例子：紐約市至少有 23,000 名居民在同一天生日。 該市人口約為 850 萬，一年中可能有 366 天出生（這裡不考慮他們的出生年份）。 因此，至少有 8,500,000 / 366 = 23,000 人在同一天生日。
從鴿巢原理可以得出有趣的——並且誠然不太重要的——陳述。 對於數學家來說，相關的含義之一與球形表面上點的分佈有關。 如果您在球體上選擇五個任意位置，那麼至少有四個位置在同一個半球上。 為了證明這一點，您必須巧妙地選擇半球：首先，您選擇五個標記點中的兩個——哪個都可以——並標記一個包含這兩個點的赤道。 這將球體分成兩半，上面還有三個點。 根據鴿巢原理，其中兩個必然在同一個半球上。 如果您加上赤道上的點，則球體表面的同一半球上始終至少有四個點，無論它們如何分佈。
鴿巢原理說明，即使是看似顯而易見的陳述在數學中也具有很大的價值。 然而，這不應該太令人驚訝。 畢竟，該領域的工作是基於一些儘可能簡單的基本假設——例如存在一個空集——由此可以推斷出像 哥德爾不完備性定理 這樣複雜的結果。 簡單的系統可能產生複雜的結果。
本文最初發表於《Spektrum der Wissenschaft》，並經許可轉載。