二十一年前的本週，數學家們釋出了一份該領域最重要的七個未解難題清單。解答這些難題將為基礎數學提供重大的新見解，甚至可能對密碼學等技術產生實際影響。
但是，數學領域的重大問題通常不像其他科學領域的謎團那樣引起外界的興趣。密歇根大學的數學家魏何說，當談到理解數學研究是什麼樣子，或者它的意義是什麼時，許多人仍然感到困惑。儘管人們常常誤解她的工作的性質，但魏何說這並不難解釋。“我的雞尾酒會開場白總是關於橢圓曲線，”她補充道。魏何經常問參加聚會的人，“你們知道中學學過的拋物線和圓嗎？一旦你開始研究三次方程，事情就會變得非常困難……關於它們，還有很多未解之謎。”
一個著名的未解問題，即伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想，涉及橢圓曲線方程解的性質，它是七個千禧年難題之一，這些難題是由克萊數學研究所（CMI）的創始科學顧問委員會選出的，該研究所將其描述為“數學家在第二個千年之交努力解決的一些最困難的問題”。在2000年5月24日在巴黎舉行的特別活動中，該研究所宣佈為首次有效解決這些問題之一的解答或反例提供100萬美元的獎金。2018年修訂的規則規定，該結果必須在“全球數學界獲得普遍認可”。
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2000年的公告為人們研究這七個問題提供了價值700萬美元的理由：黎曼猜想、伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想、P與NP問題、楊-米爾斯存在性和質量間隙問題、龐加萊猜想、納維-斯托克斯存在性和光滑性問題以及霍奇猜想。然而，儘管有大張旗鼓的宣傳和金錢激勵，21年後，只有龐加萊猜想被解決了。
意外的解決方案
2002年和2003年，當時在俄羅斯科學院斯捷克洛夫數學研究所聖彼得堡分部的俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼在網上分享了他與龐加萊猜想解決方案相關的工作。2010年，CMI 宣佈佩雷爾曼證明了該猜想，並在此過程中也解決了已故數學家威廉·瑟斯頓的相關幾何化猜想。（佩雷爾曼很少與公眾接觸，並拒絕了獎金。）
根據CMI的說法，龐加萊猜想關注一個拓撲問題，即三維曲面的球體是否“本質上由”稱為“單連通性”的屬性表徵。該屬性意味著，如果您用橡皮筋包裹球體的表面，您可以壓縮該橡皮筋——無需撕裂或將其從表面移除——直到它只是一個點。二維球體或甜甜圈孔是單連通的，但甜甜圈（或另一個帶有孔洞的形狀）不是。
牛津大學數學家兼CMI主席馬丁·布里森將佩雷爾曼的證明描述為“當然是過去20年中最偉大的事件之一”，並且是“對三維空間是什麼樣子的思想和我們理解的集大成之作”。這項發現可能會在未來帶來更多見解。“該證明需要新的工具，這些工具本身正在數學和物理學中產生深遠的應用，”弗吉尼亞大學數學家肯·小野說。
小野一直專注於另一個千禧年難題：黎曼猜想，它涉及素數及其分佈。2019年，他和他的同事在美國國家科學院院刊Proceedings of the National Academy of Sciences USA上發表了一篇論文，重新審視了一種古老的、先前被放棄的方法，以努力解決這個問題。在隨附的評論中，普林斯頓高等研究院的數學家、1974年菲爾茲獎（數學界的最高榮譽）獲得者恩里科·邦別裡將這項研究描述為“重大突破”。然而，小野說，將他的工作描述為“任何暗示我們即將證明黎曼猜想”都是沒有根據的。多年來，其他人也一直在努力解決這個問題。例如，小野說，數學家“特里·陶幾年前寫了一篇關於[數學家查爾斯·]紐曼的黎曼猜想計劃的精彩論文”。
關於哪些方法行不通的進展
到目前為止，只解決了一個列出的問題，這對於專家來說並不奇怪——畢竟，這些難題是長期存在的，而且非常困難。“到目前為止，已解決的問題數量比我預期的要多一個，”普林斯頓大學數學家、2014年菲爾茲獎獲得者曼朱爾·巴爾加瓦說。巴爾加瓦本人報告了多項與伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想相關的最新成果，其中包括一項他表示他和他的同事“證明超過66%的橢圓曲線滿足伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想”的成果。
所有問題都不容易解決，但有些問題可能被證明尤其棘手。P與NP問題似乎非常難以解決，以至於德克薩斯大學奧斯汀分校的理論計算機科學家斯科特·阿倫森稱其為“我們無知的標誌”。這個問題涉及容易驗證的問題（一類稱為NP的查詢）是否也具有容易找到的解決方案（一類稱為P）的問題。* 阿倫森廣泛撰寫了關於P與NP問題的文章。在2009年發表的一篇論文中，他和高等研究院的數學家和計算機科學家、2021年阿貝爾獎獲得者之一阿維·威格森展示了證明P類與NP類不同的新障礙。阿倫森和威格森發現的障礙是迄今為止發現的第三個障礙。
“在展示哪些方法行不通方面，我們取得了很大進展，”麻省理工學院的理論計算機科學家和數學家弗吉尼亞·瓦西列夫斯卡·威廉姆斯說。“證明P[不]等於NP將是證明密碼學基礎良好的重要墊腳石，”她補充道。“目前，密碼學是基於未經證實的假設之上的，”其中一個假設是P不等於NP。“為了證明你無法破解人們在現代計算機中需要的密碼協議”，包括那些保護我們的金融和其他線上個人資訊的協議，“你至少需要證明P不等於NP，”瓦西列夫斯卡·威廉姆斯指出。“當人們試圖讓我確定一個數字時，”阿倫森說，“我會給出97%或98%的機率，P不等於NP。”
攀登珠穆朗瑪峰
小野說，尋找這些難題的解決方案類似於首次嘗試攀登珠穆朗瑪峰。“沿途的各個步驟都代表著進步，”他補充道。“真正的問題是：你能到達大本營嗎？如果你能，你仍然知道你還很遙遠。”
對於伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想和黎曼猜想等問題，小野說，“當然，我們現在在尼泊爾”——攀登這座山的出發國之一——“但我們到達大本營了嗎？” 數學家可能仍然需要額外的“裝備”才能跋涉到頂峰。“我們現在正試圖弄清楚高科技工具、氧氣瓶的數學對應物是什麼，這將是幫助我們到達頂峰所必需的，”小野說。誰知道在當前研究和這些問題的可能解決方案之間可能存在多少障礙？“也許有20個。也許我們比我們想象的更接近，”小野說。
儘管問題很困難，但數學家對長期前景持樂觀態度。“我非常希望在我擔任克萊研究所主席期間，其中一個問題能夠得到解決，”布里森說，他指出CMI正在制定戰略，以最佳方式繼續提高對這些問題的認識。“但人們必須接受，它們是極其困難的問題，即使在我有生之年沒有得到解決，也可能會繼續塑造數學的面貌。”
*編者注（2021年6月2日）：此句在釋出後進行了修訂，以更正對P與NP問題的描述。