孩提時代，我們都學習數字。我們從計數開始，然後是加法、減法、乘法和除法。但是數學家知道，我們在學校學習的數字系統只是眾多可能性之一。其他型別的數字對於理解幾何和物理學非常重要。在最奇怪的替代方案中，八元數就是其中之一。自從 1843 年被發現以來，它們在很大程度上被忽視了，但在過去的幾十年裡，它們在弦理論中佔據了令人好奇的重要性。事實上，如果弦理論是宇宙的正確表示，它們可能會解釋為什麼宇宙具有現在的維度數。
虛數的真實化
八元數不會是第一個後來被用來增強我們對宇宙的理解的純數學分支。它也不會是第一個後來被證明具有實際用途的替代數字系統。為了理解原因，我們首先必須看看最簡單的數字情況——我們在學校學到的數字系統——數學家稱之為實數。所有實數的集合構成一條線，所以我們說實數的集合是一維的。我們也可以反過來思考這個想法：線是一維的，因為指定線上的一個點需要一個實數。
在 1500 年代之前，實數是唯一的選擇。然後，在文藝復興時期，雄心勃勃的數學家試圖解決越來越複雜的方程形式，甚至舉辦競賽來比拼誰能解決最困難的問題。義大利數學家、醫生、賭徒和占星家傑羅拉莫·卡爾達諾將 –1 的平方根作為一種秘密武器引入。當其他人可能會挑剔時，他大膽地讓自己使用這個神秘的數字作為較長計算的一部分，而這些計算的答案是普通的實數。他不確定這個技巧為什麼有效；他只知道它給了他正確的答案。他在 1545 年發表了他的想法，從而引發了一場持續了幾個世紀的爭論：–1 的平方根真的存在嗎，還是隻是一個技巧？將近 100 年後，偉大的思想家勒內·笛卡爾給出了他的判決，他給它起了貶義的名字“虛數”，現在縮寫為 i。
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儘管如此，數學家們還是追隨卡爾達諾的腳步，開始研究複數——形式為 a + bi 的數字，其中 a 和 b 是普通的實數。大約在 1806 年，讓-羅伯特·阿爾岡普及了複數描述平面上點的想法。a + bi 如何描述平面上的一個點？很簡單：數字 a 告訴我們該點向左或向右有多遠，而 b 告訴我們它向上或向下有多遠。
透過這種方式，我們可以將任何複數視為平面上的一個點，但阿爾岡更進一步：他展示瞭如何將可以對複數進行的運算（加法、減法、乘法和除法）視為平面上的幾何操作。
作為理解如何將這些運算視為幾何操作的熱身，首先考慮實數。加或減任何實數都會將實數線向右或向左滑動。乘以或除以任何正數都會拉伸或擠壓直線。例如，乘以 2 會將直線拉伸 2 倍，而除以 2 會將其向下擠壓，使所有點移動到原來距離的一半。乘以 –1 會翻轉直線。
相同的過程適用於複數，只是增加了一些額外的變化。將任何複數 a + bi 加到平面上的一個點，都會使該點向右（或向左）滑動 a 個單位，向上（或向下）滑動 b 個單位。乘以複數會拉伸或擠壓複平面，也會旋轉複平面。特別是，乘以 i 會將平面旋轉四分之一圈。因此，如果我們將 1 乘以 i 兩次，我們會將平面從起點旋轉整整半圈，到達 –1。
幾乎所有我們可以用實數做的事情也可以用複數來完成。事實上，正如卡爾達諾所知，大多數事情都做得更好，因為我們可以用複數比用實數解出更多的方程。但是，如果二維數字系統為使用者提供了額外的計算能力，那麼更高維度的系統又如何呢？不幸的是，簡單的擴充套件被證明是不可能的。一位愛爾蘭數學家將在幾十年後揭開高維數字系統的秘密。而直到現在，兩個世紀過去了，我們才開始理解它們有多麼強大。
漢密爾頓的鍊金術
1835 年，在 30 歲時，數學家和物理學家威廉·羅文·漢密爾頓發現瞭如何將複數視為實數對。當時，數學家通常以阿爾岡普及的形式 a + bi 書寫複數，但漢密爾頓注意到，我們也可以自由地將數字 a + bi 視為編寫兩個實數的特殊方式——例如 (a, b)。
這種表示法使得複數的加法和減法非常容易——只需將對中對應的實數相加或相減即可。漢密爾頓還提出了一些稍微複雜的規則，用於複數的乘法和除法，以便它們保持阿爾岡發現的優良幾何意義。
在漢密爾頓發明了這個具有幾何意義的複數代數系統之後，他多年來一直試圖發明一個更大的三元組代數，該代數將在三維幾何中發揮類似的作用，但這種努力給他帶來了無盡的挫敗感。他曾經給他的兒子寫信說：“每天早上……當我下樓吃早餐時，你的（當時的）小弟弟威廉·埃德溫和你自己，過去常常問我：‘爸爸，你能乘三元組嗎？’對此，我總是不得不悲傷地搖搖頭回答：‘不，我只能加減它們。’”儘管他當時不可能知道，但他給自己佈置的任務在數學上是不可能的。
漢密爾頓正在尋找一個三維數字系統，他可以在其中進行加法、減法、乘法和除法。除法是困難的部分：可以進行除法的數字系統稱為除法代數。直到 1958 年，三位數學家才證明了一個幾十年來一直被懷疑的驚人事實：任何除法代數都必須具有維度一（僅僅是實數）、二（複數）、四或八。為了成功，漢密爾頓不得不改變遊戲規則。
漢密爾頓本人在 1843 年 10 月 16 日找到了解決方案。當時他和妻子沿著皇家運河走到都柏林皇家愛爾蘭學院開會，突然有了頓悟。在三維空間中，旋轉、拉伸和收縮無法僅用三個數字來描述。他需要第四個數字，從而生成一個名為四元數的四維集合，其形式為 a + bi + cj + dk。這裡的數字 i、j 和 k 是 –1 的三個不同的平方根。
漢密爾頓後來寫道：“當時我感覺思想的電流回路閉合了；從中迸發出的火花是 i、j 和 k 之間的基本方程；與我此後一直使用的完全相同。”並且，他以一種值得注意的數學破壞行為，將這些方程刻在了布魯厄姆橋的石頭上。雖然它們現在被塗鴉覆蓋，但那裡已經放置了一塊牌匾以紀念這一發現。
在四維空間中需要點來描述三維空間中的變化似乎很奇怪，但這是真的。其中三個數字來自描述旋轉，如果我們想象嘗試駕駛飛機，我們可以最容易地看到這一點。為了確定飛機的方向，我們需要控制飛機的俯仰角，即與水平面的角度。我們可能還需要像汽車一樣，透過向左或向右轉來調整偏航。最後，我們可能需要調整滾轉：飛機機翼的角度。我們需要的第四個數字用於描述拉伸或收縮。
漢密爾頓餘生都沉迷於四元數，並發現了它們的許多實際用途。如今，在許多這些應用中，四元數已被其更簡單的表親所取代：向量，向量可以被認為是特殊形式的四元數 ai + bj + ck（第一個數字只是零）。然而，四元數仍然有其用武之地：它們提供了一種在計算機上表示三維旋轉的有效方法，並且在需要它的任何地方都會出現，從航天器的姿態控制系統到影片遊戲的圖形引擎。
無窮無盡的虛數
儘管有這些應用，我們可能想知道，如果我們已經將 –1 的平方根定義為 i，那麼 j 和 k 到底是什麼。這些 –1 的平方根真的存在嗎？我們能否隨意地不斷髮明新的 –1 的平方根？
這些問題是漢密爾頓的大學朋友，一位名叫約翰·格雷夫斯的律師提出的，他對代數的業餘興趣首先讓漢密爾頓開始思考複數和三元組。在 1843 年秋季那次命運攸關的散步後的第二天，漢密爾頓就給格雷夫斯寄了一封信，描述了他的突破。格雷夫斯在九天後回覆，稱讚漢密爾頓的想法大膽，但補充說：“該系統中仍然有一些東西讓我感到困惑。對於我們可以隨意創造虛數並賦予它們超自然屬性的程度，我還沒有任何清晰的看法。”他問道：“如果用你的鍊金術可以煉出三磅黃金，你為什麼要停在那裡呢？”
像之前的卡爾達諾一樣，格雷夫斯將他的擔憂放在一邊足夠長的時間，以便自己變出一些黃金。12 月 26 日，他再次寫信給漢密爾頓，描述了一種新的八維數字系統，他稱之為八度音階，現在稱為八元數。然而，格雷夫斯未能引起漢密爾頓對他想法的興趣。漢密爾頓承諾在愛爾蘭皇家學會談論格雷夫斯的八度音階，這是當時數學成果的發表方式之一。但漢密爾頓一直拖延，1845 年，年輕的天才亞瑟·凱萊重新發現了八元數，並在出版方面擊敗了格雷夫斯。因此，八元數有時也被稱為凱萊數。
為什麼漢密爾頓不喜歡八元數？首先，他沉迷於對自己發現的四元數的研究。他也有一個純粹的數學原因：八元數打破了一些珍視的算術定律。
四元數已經有點奇怪了。當您乘以實數時，順序無關緊要——例如，2 乘以 3 等於 3 乘以 2。我們說乘法是可交換的。複數也是如此。但是四元數是不可交換的。乘法的順序很重要。
順序很重要，因為四元數描述了三維空間中的旋轉，而對於這種旋轉，順序會影響結果。您可以自己檢查一下。拿一本書，將其從上到下翻轉（以便您現在看到的是封底），並順時針旋轉四分之一圈（從上方看）。現在以相反的順序執行這兩個操作：先旋轉四分之一圈，然後再翻轉。最終位置發生了變化。由於結果取決於順序，因此旋轉不可交換。
八元數要奇怪得多。它們不僅不可交換，而且還打破了另一個熟悉的算術定律：結合律 (xy)z = x(yz)。我們在數學學習中都見過非結合運算：減法。例如，(3 – 2) – 1 不同於 3 – (2 – 1)。但我們已經習慣了乘法是結合律的，大多數數學家仍然這樣認為，即使他們已經習慣了非交換運算。例如，旋轉是結合律的，即使它們不可交換。
但也許最重要的是，在漢密爾頓的時代，還不清楚八元數有什麼用。它們與七維和八維幾何密切相關，我們可以使用八元數的乘法來描述這些維度中的旋轉。但在一個多世紀的時間裡，這純粹是一種智力練習。現代粒子物理學（尤其是弦理論）的發展，才讓我們看到八元數如何在現實世界中發揮作用。
對稱性和絃
在 1970 年代和 1980 年代，理論物理學家提出了一個引人注目的美麗想法，稱為超對稱性。（後來的研究人員會了解到弦理論需要超對稱性。）它指出，在最基本的層面上，宇宙表現出物質與自然力之間的對稱性。每個物質粒子（例如電子）都有一個攜帶力的夥伴粒子。每個力粒子（例如光子，電磁力的載體）都有一個孿生物質粒子。
超對稱性還包括這樣一種觀點，即如果我們交換所有物質和力粒子，物理定律將保持不變。想象一下，在一個奇怪的鏡子中觀看宇宙，這個鏡子與其說是左右互換，不如說是將每個力粒子換成物質粒子，反之亦然。如果超對稱性是真實的，如果它真正描述了我們的宇宙，那麼這個映象宇宙的運作方式將與我們的宇宙相同。儘管物理學家尚未找到任何支援超對稱性的具體實驗證據，但該理論非常具有誘惑力，並且已經產生了如此多令人著迷的數學，以至於許多物理學家希望並期望它是真實的。
然而，我們知道有一件事是真實的，那就是量子力學。根據量子力學，粒子也是波。在物理學家每天使用的標準三維量子力學版本中，一種型別的數字（稱為旋量）描述了物質粒子的波動。另一種型別的數字（稱為向量）描述了力粒子的波動。如果我們想理解粒子相互作用，我們必須使用一種拼湊而成的乘法模擬來結合這兩種型別。儘管我們目前使用的系統可能有效，但它一點也不優雅。
作為一種替代方案，想象一個沒有時間，只有空間的奇怪宇宙。如果這個宇宙的維度是一維、二維、四維或八維，那麼物質粒子和力粒子都將是由單一型別的數字描述的波——即除法代數中的數字，除法代數是唯一允許加法、減法、乘法和除法的系統。換句話說，在這些維度中，向量和旋量重合：它們分別只是實數、複數、四元數或八元數。超對稱性自然而然地出現，為物質和力提供統一的描述。簡單的乘法描述了相互作用，所有粒子（無論型別如何）都使用相同的數字系統。
然而，我們虛構的宇宙不可能是真實的，因為我們需要考慮時間。在弦理論中，這種考慮具有有趣的效應。在任何時刻，弦都是一維的東西，就像曲線或直線一樣。但是，隨著時間的推移，這條弦會描繪出一個二維表面。這種演變透過增加兩個維度（一個用於弦，一個用於時間）來改變超對稱性出現的維度。我們得到的不是一維、二維、四維或八維的超對稱性，而是三維、四維、六維或十維的超對稱性。
巧合的是，弦理論家多年來一直表示，只有十維版本的理論是自洽的。其餘的都存在稱為異常的故障，在其中以兩種不同的方式計算同一件事會給出不同的答案。在除十維以外的任何維度中，弦理論都會崩潰。但是正如我們剛剛看到的，十維弦理論是使用八元數的理論版本。因此，如果弦理論是正確的，那麼八元數就不是無用的怪事：相反，它們提供了宇宙必須具有十維的深層原因：在十維中，物質粒子和力粒子都體現在同一型別的數字中——八元數。
但這還不是故事的結局。最近，物理學家開始超越弦，開始考慮膜。例如，二維膜或 2-膜在任何瞬間都像一張薄片。隨著時間的推移，它在時空中描繪出一個三維體積。
在弦理論中，我們必須將兩個維度新增到我們的一維、二維、四維和八維標準集合中，現在我們必須新增三個維度。因此，當我們處理膜時，我們期望超對稱性自然地出現在四維、五維、七維和十一維中。並且與弦理論一樣，我們有一個驚喜：研究人員告訴我們，M 理論（“M”通常代表“膜”）需要十一維——這意味著它應該自然地利用八元數。唉，沒有人足夠了解 M 理論，甚至無法寫下它的基本方程（M 也可以代表“神秘”）。很難準確地說出它未來可能採取什麼形式。
在這一點上，我們應該強調，弦理論和 M 理論迄今尚未做出任何可用於實驗檢驗的預測。它們是美麗的夢想——但到目前為止只是夢想。我們生活的宇宙看起來不是十維或十一維的，我們也沒有看到物質粒子和力粒子之間的任何對稱性。戴維·格羅斯是世界頂級的弦理論專家之一，他目前認為在歐洲核子研究中心的大型強子對撞機上看到一些超對稱性證據的機率為 50%。懷疑論者說可能性要小得多。只有時間會證明一切。
由於這種不確定性，我們離知道奇怪的八元數在理解我們周圍的世界中是否具有根本重要性，或者僅僅是一塊美麗的數學還有很長的路要走。當然，數學之美本身就是一個有價值的目的，但如果八元數最終被構建到自然的結構中，那將更加令人愉快。正如複數的故事和無數其他數學發展所表明的那樣，純粹的數學發明後來恰好提供了物理學家需要的工具，這絕非首次。