正在重塑物理學的奇異拓撲學

查爾斯·凱恩從未想過他會與拓撲學家為伍。“我不像數學家那樣思考，”凱恩承認道，他是一位理論物理學家，一直專注於關於固體材料的實際問題。他並非孤例。物理學家通常很少關注拓撲學——對形狀及其在空間中排列的數學研究。但現在，凱恩和其他物理學家正湧向這個領域。

在過去的十年裡，他們發現拓撲學為材料物理學提供了獨特的見解，例如某些絕緣體如何在表面單原子層上偷偷地導電。

其中一些拓撲效應在 20 世紀 80 年代被發現，但直到最近幾年，研究人員才開始意識到它們可能比任何人預期的都更普遍和更奇異。拓撲材料一直“擺在眼前，但人們沒有想到去尋找它們”，在費城賓夕法尼亞大學工作的凱恩說。

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現在，拓撲物理學正在真正爆發：在固態物理學論文中，標題中沒有“拓撲學”這個詞的情況似乎越來越少見。實驗學家即將變得更加忙碌。本週《自然》雜誌第 298 頁的一項研究揭示了一個可能具有拓撲效應的材料圖譜，為物理學家提供了更多尋找奇異物質狀態（如外爾費米子或量子自旋液體）的地方。

科學家們希望拓撲材料最終可以在更快、更高效的計算機晶片，甚至在奇特的量子計算機中找到應用。這些材料已經被用作虛擬實驗室，以測試關於奇異的和未被發現的基本粒子以及物理定律的預測。許多研究人員表示，拓撲物理學的真正回報將是對物質本質的更深入理解。“拓撲物理學中的湧現現象可能就在我們周圍——甚至在一塊石頭中，”新澤西州普林斯頓大學的物理學家扎希德·哈桑說。

亞原子粒子的一些最基本屬性，其核心是拓撲的。以電子的自旋為例，它可以指向上或向下。將電子從向上翻轉到向下，然後再翻轉到向上，您可能會認為這種 360° 旋轉會將粒子恢復到其原始狀態。但事實並非如此。

在奇異的量子物理世界中，電子也可以表示為波函式，該波函式編碼了關於粒子的資訊，例如在特定自旋狀態下找到它的機率。與直覺相反，360° 旋轉實際上會移動波函式的相位，從而使波峰變成波谷，反之亦然。需要再完整旋轉 360° 才能最終使電子及其波函式回到它們的起始狀態。

這正是數學家最喜歡的拓撲學奇特事物之一中發生的事情：莫比烏斯帶，它是由將帶子扭曲一次，然後將其兩端粘合在一起形成的。如果一隻螞蟻爬過帶子的一整個環，它會發現自己位於與起點相反的一側。它必須再繞一圈才能回到它的初始位置。

螞蟻的情況不僅僅是電子波函式發生情況的類比——它實際上發生在由量子波組成的抽象幾何空間內。這就像每個電子都包含一個微小的莫比烏斯帶，它攜帶一點有趣的拓撲學。所有共享此屬性的粒子，包括夸克和中微子，都稱為費米子；那些不共享此屬性的粒子，例如光子，稱為玻色子。

大多數物理學家在研究諸如自旋之類的量子概念時，並不擔心它們的拓撲學意義。但在 20 世紀 80 年代，華盛頓大學西雅圖分校的大衛·索利斯等理論家開始懷疑拓撲學可能對一種名為量子霍爾效應的驚人現象負責，這種效應剛剛被發現。這種效應是指當材料放置在不同強度的磁場中時，單原子厚度晶體層中的電阻以離散的步長跳躍。至關重要的是，電阻不受溫度波動或晶體中雜質的影響。哈桑說，這種穩健性是聞所未聞的，它是拓撲態的關鍵屬性之一，物理學家現在渴望利用它。

具有扭曲的物理學

1982 年，索利斯和他的同事揭開了量子霍爾效應背後的拓撲學，這最終幫助索利斯分享了去年的諾貝爾物理學獎。與電子的自旋一樣，這種拓撲學發生在抽象空間中。但在這種情況下，底層的形狀不是莫比烏斯帶，而是甜甜圈的表面。隨著磁場的增強和減弱，渦旋可以在表面形成和消失，就像颶風眼周圍的風模式一樣。

渦旋具有一個稱為繞組數的屬性，它描述了它們圍繞中心點迴圈的次數。繞組數是拓撲不變數——它們不會隨著形狀的變形而改變。並且，當磁場施加在甜甜圈周圍時，閃爍出現和消失的渦旋的繞組數總和始終保持不變。該總和稱為陳數，以華裔美國數學家陳省身的名字命名。拓撲學家自 20 世紀 40 年代以來就知道了這一點。

最令人震驚的發現尚未到來。直到 21 世紀初，量子霍爾效應和其他拓撲效應才僅在強磁場存在的情況下被觀察到。但是凱恩和他的同事，以及另一個獨立的團隊，意識到由重元素製成的一些絕緣體可以透過電子和原子核之間的內部相互作用提供它們自己的磁場。這賦予材料表面上的電子穩健的“拓撲保護”狀態，這使得它們能夠以幾乎為零的電阻流動。到 2008 年，哈桑的團隊已經在銻化鉍晶體中證明了這種效應，這些晶體被稱為拓撲絕緣體。“那是樂趣的開始，”他說。

普林斯頓高等研究院的理論家愛德華·威滕說，這一發現震撼了物理學界，威滕是唯一一位獲得過菲爾茲獎（數學領域最令人垂涎的獎項）的物理學家。他說，拓撲態遠非奇異的例外，現在似乎為發現自然界中未知的效應提供了廣闊的可能性。“正規化已經改變了。”

最大的驚喜之一是，這些狀態通常可以用那些為解決完全不同的問題而發明的理論來解釋，例如調和引力與量子物理學。諸如威滕的拓撲量子場論之類的概念，隨後導致了純數學的突破，現在正以意想不到的方式回到物理學。“這是一個奇妙的迴圈思想，”另一位菲爾茲獎獲得者，現在在英國劍橋大學工作的數學家邁克爾·阿蒂亞說，他也研究過這些理論。

純粹的怪異

另一個主要的興奮來源是，在拓撲材料中，電子和其他粒子有時可以形成狀態，在這些狀態下，它們集體表現得好像它們是一個基本粒子。這些“準粒子”狀態可能具有任何已知基本粒子都不存在的屬性（參見第 324 頁）。它們甚至可以模仿物理學家尚未發現的粒子。

一些最受期待的準粒子是在兩年前發現的。它們被稱為外爾費米子，或無質量費米子，是數學家赫爾曼·外爾在 20 世紀 20 年代推測的。在傳統粒子的動物園中發現的所有費米子都具有一定的質量。但是哈桑計算出，砷化鉭晶體內部的拓撲效應應該產生像外爾費米子一樣作用的無質量準粒子。對於準粒子而言，無質量意味著無論其能量如何，它都以相同的速度移動。2015 年，哈桑的團隊實驗證實了這一點，中國科學院北京分院翁紅明領導的團隊也證實了這一點。研究人員希望，這些型別的材料有一天可以用於超高速電晶體等應用。當電子撞擊雜質時，在晶體中移動的電子通常會散射，這會減慢它們的行進速度，但哈桑的砷化鉭晶體中的拓撲效應允許電子暢通無阻地行進。

與此同時，麻省理工學院劍橋分校的物理學家馬林·索爾賈契奇和他的同事觀察到了非常類似於外爾費米子的現象，但它發生在電磁波中，而不是在固體晶體中。首先，他們構建了一個迴旋結構——一種迷人的 3D 圖案，看起來像一個互鎖的螺旋樓梯系統——方法是小心地在堆疊的塑膠板上鑽孔。然後，他們向迴旋結構發射微波，發現光子——無質量玻色子——的行為就像哈桑材料中的外爾費米子準粒子。拓撲光子學這個蓬勃發展的領域最令人興奮的前景之一是使用晶體來製造只能讓光單向傳播的光纖。這將防止光線從缺陷處反射回來，並將大大提高長距離傳輸的效率。

在純粹的怪異程度上，可能唯一能超越索爾賈契奇的玻色子-費米子的是被稱為任意子的奇怪事物。通常，單個粒子可以是費米子或玻色子。但是任意子——生活在二維原子薄材料中的準粒子——打破了這一規則。當兩個相同的粒子交換位置時，研究人員可以觀察到這種違規行為。在玻色子中，交換對集體波函式沒有影響；對於費米子，它會將其波函式的相位移動 180°，類似於單個電子進行 360° 旋轉時發生的情況。但是對於任意子，波函式的相位會改變一個角度，該角度取決於任意子的型別。更重要的是，理論表明，在某些情況下，再次交換任意子並不會恢復其原始波函式。

因此，如果研究人員可以彼此相鄰地建立幾個這樣的任意子並將它們洗牌，它們的量子態將“記住”它們是如何被洗牌的。物理學家可以透過將任意子的二維空間運動新增到代表時間的第三維來視覺化此過程。結果是纏繞在一起形成美麗辮子的線條軌跡。原則上，這種辮狀狀態可以用於編碼量子位元，即量子計算機中的資訊單位。它們的拓撲結構將保護量子位元免受外部噪聲的影響，而外部噪聲一直困擾著儲存量子資訊的每一種其他技術。

2005 年，微軟對量子辮子進行了大量投資，當時它聘請數學家邁克爾·弗裡德曼負責其量子計算工作。弗裡德曼因破解 4D 球體的拓撲結構而於 1986 年獲得了菲爾茲獎，並在 20 世紀 90 年代繼續發展了一些關於編織量子位元的關鍵思想。最初，弗裡德曼的團隊主要專注於理論方面。但去年年底，微軟從學術界聘請了幾位明星實驗學家。其中一位是荷蘭代爾夫特理工大學的物理學家利奧·庫文霍溫，他於 2012 年首次透過實驗證實，任意子等粒子會記住它們是如何被交換的。他現在正在代爾夫特校區建立一個新的微軟實驗室，旨在證明任意子可以編碼量子位元並進行簡單的量子計算。這種方法至少落後於其他形式的量子計算二十年，但弗裡德曼認為拓撲量子位元的穩健性最終會取得勝利。“如果你要構建一項新技術，你必須把基礎打好，”他說。哈桑正在嘗試類似的實驗，但他認為拓撲量子計算機至少還需要四十年。“我的預測是，物質的拓撲相將在大學實驗室中保留多年，”他說。

拓撲圖譜

然而，可能有一種方法可以加快工作速度。尋找新型拓撲絕緣體的實驗學家傳統上依賴於一個費力的過程，該過程涉及計算每種材料中電子的可能能量以預測其性質。

普林斯頓大學理論物理學家安德烈·伯內維格領導的一個團隊現在找到了一條捷徑。研究人員透過檢視材料晶體結構中可能存在的所有 230 種不同的對稱性，建立了一個拓撲物質圖譜。然後，他們系統地預測了這些對稱性中的哪些原則上可以容納拓撲態，而無需首先計算其所有能級。他們認為，所有材料中可能有 10% 到 30% 會顯示拓撲效應，可能達到數萬種化合物。到目前為止，僅識別出幾百種拓撲材料。“事實證明，我們目前所知的只是可能存在的眾多拓撲材料中的一小部分，還有很多，”伯內維格說。

該團隊包括來自西班牙畢爾巴鄂巴斯克地區大學的三位晶體數學專家，研究人員很快就可以查閱畢爾巴鄂晶體學伺服器，以瞭解特定的晶體材料是否可能是拓撲的。北京清華大學的物理學家魏立表示，伯內維格的方法“絕對是一種更有效的方式”來尋找新的拓撲絕緣體。“我相信會有很多新材料出現，”他說。

“然而，知道一種材料具有某種拓撲物質狀態，並不意味著可以立即預測其性質，”合著者克勞迪婭·費爾瑟警告說，她是德國德累斯頓馬克斯·普朗克固體化學物理研究所的材料科學家。她說，對於每種材料，仍然必須計算和測量這些性質。

到目前為止研究的大多數拓撲材料——包括伯內維格圖譜中的那些材料——都相對容易理解，因為它們內部的電子幾乎感覺不到彼此的靜電斥力。理論家們面臨的下一個重大挑戰是理解“強相互作用”拓撲材料，在這種材料中，電子彼此強烈推斥。哈桑說，如果理論家能夠破解這一點，“你將會發現一個我們甚至無法想象的全新物理現象動物園”。

凱恩說，正是數學和物理學之間的這種相互作用構成了該領域的核心：“驅動我的是既極其美麗，又在現實世界中栩栩如生的事物的交叉點。”

本文經許可轉載，並於 2017 年 7 月 19 日首次發表。