微積分的秘密精神史

積分的起源於 17 世紀的一場辯論，那場辯論既有宗教性，也有科學性

編者注：無數學生學習積分——數學的一個分支，致力於透過將物體切成小塊並將它們加起來來找到物體的長度、面積或體積。很少有人意識到，他們的微積分作業部分起源於 17 世紀兩位學者之間的辯論。 1635 年，義大利數學家博納文圖拉·卡瓦列裡宣稱，任何平面都由無數條平行線組成，任何固體都由無數個平面組成。他的“不可分量法”成為積分的先驅——但這並非沒有經受住瑞士數學家保羅·古爾丁的攻擊，表面上是出於經驗原因。加州大學洛杉磯分校的阿米爾·亞歷山大發現了這場爭端更私人的動機。在他即將出版的書的一個章節的改編版中，他解釋說，古爾丁和卡瓦列裡屬於不同的天主教修會，因此，在如何使用數學來理解現實的本質方面存在分歧。

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保羅·古爾丁對博納文圖拉·卡瓦列裡的不可分量法的批判包含在他的De Centro Gravitatis（也稱為Centrobaryca）第四本書中，該書於 1641 年出版。古爾丁認為，卡瓦列裡的證明不是建設性的證明，不是古典數學家會認可的那種。毫無疑問，這是真的：在傳統的歐幾里得方法中，幾何圖形是從簡單到複雜逐步構建的，僅藉助直尺和圓規分別構建直線和圓。證明中的每一步都必須涉及這樣的構造，然後推匯出所得圖形的邏輯含義。

然而，卡瓦列裡的做法卻恰恰相反：他從現成的幾何圖形（如拋物線、螺旋線等）開始，然後將它們分成無數部分。這種程式可以稱為“解構”而不是“構造”，其目的不是建立一個連貫的幾何圖形，而是破譯現有圖形的內部結構。

古爾丁接下來攻擊了卡瓦列裡方法的基礎：平面由無數條線組成，或者固體由無數個平面組成的概念。古爾丁堅稱，整個想法都是無稽之談：“沒有幾何學家會同意他，表面是，並且可以用幾何語言稱為‘這種圖形的所有線’。”

換句話說，由於線沒有寬度，因此無論將多少條線並排放置，它們都無法覆蓋哪怕是最小的平面。因此，卡瓦列裡試圖根據“所有線”的尺寸來計算平面的面積是荒謬的。這就引出了古爾丁的最後一點：卡瓦列裡的方法是基於建立一個圖形的所有線與另一個圖形的所有線之間的比率。但是，古爾丁堅持認為，兩組線都是無限的，一個無窮大與另一個無窮大的比率是沒有意義的。無論人們將無數個不可分量乘以多少次，它們永遠不會超過另一組無數個不可分量。

從整體上看，古爾丁對卡瓦列裡方法的批判體現了耶穌會數學的核心原則。耶穌會數學傳統的創始人克里斯托弗·克拉維烏斯和他在修會中的後繼者認為，數學必須系統地、演繹地進行，從簡單的公設到越來越複雜的定理，描述圖形之間的普遍關係。建設性的證明正是這種理想的體現。這種方法產生了一種嚴謹且分層的數學邏輯，對於耶穌會士來說，這正是應該研究該領域的主要原因：它證明了抽象原則如何透過系統的演繹構建一個固定且合理的宇宙，其真理是普遍且不可挑戰的。克拉維烏斯指出，在這方面，歐幾里得幾何比任何其他科學都更接近耶穌會的確定性、等級制度和秩序的理想。由此可見，古爾丁堅持建設性證明並非像卡瓦列裡和他的朋友們認為的那樣是迂腐或心胸狹隘，而是他所在修會根深蒂固的信念的表達。

古爾丁對將平面和固體劃分為“所有線”和“所有平面”的批評也是如此。數學不僅必須是分層和建設性的，而且還必須是完全理性的，並且沒有矛盾。然而，正如古爾丁指出的那樣，卡瓦列裡的不可分量在其核心是前後矛盾的，因為連續體是由不可分量組成的概念根本經不起理性檢驗。 “不存在的事物，也不可能存在的事物，是無法比較的，”他怒斥道，“因此，它們導致悖論和矛盾，並最終導致錯誤也就不足為奇了。”

對於耶穌會士來說，這樣的數學遠比沒有數學更糟糕。畢竟，數學的目的是為世界帶來適當的秩序和穩定，而不可分量法帶來的只是混亂和無序。如果接受這種有缺陷的系統，那麼數學將不再是永恆理性秩序的基礎。耶穌會關於嚴格的普遍等級制度（像幾何真理一樣不可挑戰）的夢想將註定要失敗。

在他的著作中，古爾丁並沒有解釋他拒絕不可分量的更深層次的哲學原因，耶穌會數學家馬里奧·貝蒂尼和安德烈亞·塔奎特也沒有解釋，他們也攻擊了卡瓦列裡的方法。有一次，古爾丁幾乎承認，利害關係比嚴格的數學問題更大，他含糊地寫道：“我不認為應該以必須透過永不失時的沉默來壓制的原因來拒絕[不可分量]方法。” 但他沒有解釋那些“必須壓制的原因”可能是什麼。作為數學家，這三人的工作是在數學而非哲學或宗教基礎上攻擊不可分量。如果他們宣佈他們的動機是神學或哲學方面的考慮，他們的數學信譽只會受到損害。

當然，參與不可分量之爭的人都知道真正利害攸關的是什麼，正如耶穌會數學家斯特凡諾·德利·安傑利暗示的那樣，他開玩笑地說，他不知道是“什麼精神”感動了耶穌會數學家。除了極少數例外，這場辯論仍然是數學上的，是訓練有素的專業人士之間就哪些程式可以在數學中被接受的爭議。

當卡瓦列裡在 1642 年首次遇到古爾丁的批評時，他立即開始著手詳細的反駁。最初，他打算以朋友之間對話的形式回應，這是他導師伽利略·伽利萊喜歡的那種形式。但當他向他的朋友和數學家同事吉安南託尼奧·羅卡展示一份簡短的草稿時，羅卡勸他不要這樣做。羅卡警告說，最好遠離煽動性的對話形式，以及它的俏皮話和爭強好勝，這很可能會激怒強大的對手。羅卡建議，最好對古爾丁的指控寫一份直截了當的回應，重點關注嚴格的數學問題，避免伽利略式的挑釁。羅卡沒有說出口的是，卡瓦列裡在他所有的著作中，都沒有表現出伽利略作為作家的天才，也沒有表現出他以詼諧有趣的方式呈現複雜問題的能力。卡瓦列裡聽取了他朋友的建議可能是最好的，這讓我們免於看到他以其標誌性的沉重且幾乎難以理解的散文寫成的“對話”。相反，卡瓦列裡對古爾丁的回應被收錄在他關於不可分量的最後一本書《Exercitationes Geometricae Sex》的第三個“練習”中，該書於 1647 年出版，標題很簡單，就叫“In Guldinum”（“反對古爾丁”）。*

卡瓦列裡似乎並沒有因古爾丁的批評而過度困擾。他否認他假設連續體是由無數個不可分量部分組成的，他認為他的方法並不依賴於這個假設。如果有人相信連續體是由不可分量組成的，那麼，是的，“所有線”加起來確實構成一個表面，“所有平面”構成一個體積，但如果有人不接受線構成表面，那麼毫無疑問，除了線之外，還有一些東西構成了表面，除了平面之外，還有一些東西構成了體積。他認為，所有這些都與不可分量法無關，不可分量法比較了一個圖形的所有線或所有平面與另一個圖形的所有線或所有平面，而不管它們是否實際構成該圖形。

卡瓦列裡在這裡的論點在技術上可能是可以接受的，但它也是不真誠的。任何閱讀過他 1635 年出版的《Geometria Indivisibilibus》或《Exercitationes》的人都會毫不懷疑，它們是基於連續體是由不可分量組成的基本直覺。古爾丁要求卡瓦列裡對他的連續體觀點負責是完全正確的，而耶穌會的辯護似乎是一個相當蒼白的藉口。

卡瓦列裡對古爾丁堅持認為“一個無窮大與另一個無窮大沒有比例或比率”的回應也同樣沒有說服力。他區分了兩種型別的無窮大，聲稱“絕對無窮大”確實與另一個“絕對無窮大”沒有比率，但所有線和所有平面都具有非絕對而是“相對無窮大”。然後他認為，這種型別的無窮大可以並且確實與另一個相對無窮大具有比率。和以前一樣，卡瓦列裡似乎是在用晦澀的技術理由為他的方法辯護，這些理由對於其他數學家來說可能是可以接受的，也可能是不可以接受的。無論如何，他的論點與不可分量法背後的真正動機無關。

這種動機在卡瓦列裡對古爾丁指責他沒有正確“構造”他的圖形的回應中顯現出來。在這裡，卡瓦列裡的耐心已經到了盡頭，他露出了他的真面目。古爾丁聲稱，幾何證明中的每個圖形、角和線都必須從第一原理仔細構造；卡瓦列裡斷然否認了這一點。 “為了使證明成立，”他寫道，“沒有必要實際描述這些類似的圖形，但假設它們已經在腦海中被描述就足夠了。”

這就是古爾丁和卡瓦列裡之間、耶穌會士和不可分量論者之間的真正區別。對於耶穌會士來說，數學的目的是將世界構建成一個固定且永恆不變的地方，在這個地方，秩序和等級制度永遠不會受到挑戰。這就是為什麼世界上的每一項事物都必須經過仔細且合理的構造，以及為什麼永遠不允許出現任何矛盾和悖論的暗示。這是一種“自上而下”的數學，其目的是為原本混亂的世界帶來理性和秩序。

對於卡瓦列裡和他的不可分量論者同伴來說，情況恰恰相反：數學始於對世界的物質直覺——平面圖形由線組成，體積由平面組成，就像布是由線織成，書是由頁編譯而成一樣。人們不需要理性地構造這樣的圖形，因為我們都知道它們已經存在於世界上。所有需要做的就是假設它們，然後研究它們的內部結構。如果我們遇到看似悖論和矛盾的情況，它們必然是膚淺的，是由我們有限的理解造成的，要麼可以解釋清楚，要麼可以用作研究工具。但它們永遠不應阻止我們研究幾何圖形的內部結構以及它們之間隱藏的關係。

對於像古爾丁這樣的古典數學家來說，你可以將數學建立在模糊且自相矛盾的直覺之上的概念是荒謬的。古爾丁嘲諷地問卡瓦列裡，“誰將成為幾何構造真理的‘法官’，是手、眼睛還是智力？” 卡瓦列裡認為古爾丁堅持避免悖論是毫無意義的迂腐：每個人都知道這些圖形確實存在，爭論它們不應該存在是毫無意義的。卡瓦列裡認為，這種吹毛求疵可能會產生嚴重的後果。如果古爾丁獲勝，一種強大的方法將會丟失，數學本身也會被背叛。

*更正（2014 年 5 月 19 日）：此句子在釋出後經過編輯，以更正第三個練習標題“In Guldinum”的翻譯。