我通常研究廣義相對論和宇宙學。我一直熱愛幾何事物。小時候，我著迷於地圖投影。14歲時，我根據天文學家 E. M. Antoniadi 繪製的火星墨卡託投影平面地圖製作了一個彩繪火星地球儀。自從成為普林斯頓大學的榮譽退休教授後，我很高興地迴歸到我童年時期的一些興趣愛好。
我和我的同事 Dave Goldberg 以及 Bob Vanderbei（他發明了用於顯示選舉結果的“紫色美國”地圖）共同製作了我們認為是有史以來最精確的地球平面地圖。在平面地圖上描繪地球的曲面一直是製圖師們幾個世紀以來的難題。沒有完美的地球平面地圖。但平面地圖易於儲存和製造，因此非常受歡迎。
此前，Goldberg 和我確定了平面地圖可能存在的六種關鍵誤差型別：區域性形狀、面積、距離、屈度（彎曲）、傾斜度（不對稱）和邊界切口。著名的墨卡託投影，即谷歌地圖的基礎模板，就說明了這些誤差。它具有完美的區域性形狀，但在描繪面積方面表現不佳。格陵蘭島看起來與南美洲一樣大，即使它在全球上的面積僅為南美洲的七分之一。
支援科學新聞報道
如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞報道： 訂閱。透過購買訂閱，您將幫助確保未來能夠繼續講述關於塑造我們當今世界的發現和思想的具有影響力的故事。
人們不可能做到盡善盡美。墨卡托地圖存在邊界切口誤差：沿著國際日期變更線的子午線從極點到極點進行 180 度的切割，展開地球表面，從而將夏威夷置於地圖的最左側，將日本置於地圖的最右側，在這個過程中產生了額外的距離誤差。飛行員從紐約直飛東京的大圓航線會經過阿拉斯加北部。他的航線在墨卡托地圖上看起來是彎曲的——屈度誤差。北美洲向北傾斜：加拿大的面積比實際應該的大，而墨西哥則太小。所有這些誤差都很重要。忽略其中任何一個都可能導致地圖難看，沒有人會喜歡。
這裡的目標是找到使誤差平方和最小化的地圖投影——這項技術可以追溯到數學家卡爾·弗里德里希·高斯。墨卡託投影的 Goldberg-Gott 誤差評分（六個標準化單項誤差項的平方和）為 8.296。分數越低，誤差越小，地圖越好。地球儀的誤差評分為 0.0。我們發現，以前已知的最佳地球平面地圖投影是國家地理學會使用的溫克爾三投影，其誤差評分為 4.563。它具有頂部和底部的直線極線，左右邊緣凸出，標記了其在太平洋中部的 180 度邊界切口。
我們似乎正在達到改進溫克爾三投影的極限。當科學領域出現這種情況時，通常需要突破，一些跳出固有思維模式的想法，才能取得任何根本性的進展。理查德·費曼曾經說過，在物理學中，當我們陷入困境時，當所有舊方法都不奏效時，新的技巧，即將奏效的新方法，將與我們以前見過的任何方法都大相徑庭。
新地圖投影的想法來自於我最近撰寫的一篇論文《包絡多面體》，該論文介紹了一種新型的規則多面體，其中允許多邊形背靠背出現。我意識到我可以製作一個背靠背的圓形地圖：就像一張老式的唱片。地圖的一面顯示北半球，另一面顯示南半球，赤道環繞邊緣。它沒有邊界切口，並且具有球體的正確拓撲結構。它只是簡單地將球體“壓扁”。
然後我們必須找到在每一面上繪製特徵的最佳公式，該公式將使 Goldberg-Gott 誤差評分最小化。答案是北極出現在唱片北側的中心，經度線從中心向外均勻展開，每條經度線上的比例尺都是均勻的，南側的情況類似。城市之間的距離透過簡單地在它們之間拉一根繩子來測量；如果它們位於相對的半球，繩子只需跨越地圖邊緣的赤道即可。
新地圖的一個缺點是您無法一次看到地球的整個表面，但請記住，地球儀也是如此。在這方面，我們的地圖實際上比其他平面地圖更像地球儀。要檢視地球儀的全部，您必須旋轉它；要檢視新地圖的全部，您只需將其翻過來即可，如下所示
這張雙面地圖的 Goldberg-Gott 誤差評分僅為 0.881，而溫克爾三投影為 4.563。它在六個誤差項中的每一項都優於溫克爾三投影！它具有零邊界切口誤差，因為大陸和海洋在圓形邊緣上是連續的。它具有單面平面地圖不具備的顯著特性：點對（例如城市）之間的距離誤差是有界的，最多僅相差正負 22.2%。在墨卡託投影和溫克爾三投影中，距離誤差會隨著接近極點和邊界切口而爆炸式增長。
我們的地圖可以從雜誌中剪下來，或以活頁形式插入雜誌中。它們可以用紙板或塑膠製成。一個薄盒子可以容納太陽系所有主要天體的平面雙面地圖，或者一疊給出物理和政治資料的地球地圖。
溫克爾三投影是一張可以掛在牆上的地圖。我們的地圖是一張更精確的，您可以拿在手中的地圖。
這是一篇觀點和分析文章。