以下文章經許可轉載自The Conversation，這是一個報道最新研究的線上出版物。
大約20年前，我的同事周傳博士和我開發了一種在計算機上模擬數百萬個籃球軌跡的方法。
支援科學新聞報道
如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞報道 訂閱。透過購買訂閱，您將幫助確保關於塑造我們當今世界的發現和思想的具有影響力的故事的未來。
我們去了我們所在的北卡羅來納州立大學的教練和助理教練那裡，告訴他們我們擁有這種非凡的能力來非常仔細地研究籃球投籃。
他們的第一個問題很簡單：“什麼是最好的罰球？” 射手應該瞄準籃筐的前部還是後部？ 這取決於射手是矮個子還是高個子嗎？
數學提供了一個獨特的視角。 它加快了看到最佳投籃背後模式所需的時間。 在大多數情況下，我們發現的事情是球員和教練已經知道的——但偶爾，我們會遇到新的見解。
模擬數百萬次投籃
從數學的角度來看，籃球是一場軌跡遊戲。 這些軌跡的獨特之處在於，當球在空中飛行時，其運動變化不大，但當球與籃筐或籃板碰撞時，會在毫秒內迅速變化。
為了模擬數百萬個軌跡，而不讓程式碼執行時間過長，我們嘗試了我們能想到的任何技巧。 我們弄清楚瞭如何從適度變化的運動過渡到快速變化的運動，例如當球在籃筐或籃板上彈跳時。 我們學會了如何將大量的軌跡轉化為統計機率。 我們甚至建立了虛構的軌跡，其中球神奇地穿過所有物理障礙物（籃筐、籃板、背板），但只有一個例外，以檢視它首先碰撞的位置。
罰球是我和我的同事詳細研究的第一個投籃。 在勢均力敵的比賽中，球隊可能會在罰球線上決定勝負。 更重要的是，罰球是無人防守的，因此完美的罰球可以獲得巨大的回報。頂級球隊往往罰球投得很好。
我們的程式可以告訴我們射手罰球命中的機會——並幫助我們弄清楚他做對了什麼或做錯了什麼。
分解罰球
我們研究了罰球大約五年。
我們從模擬和觀看電視錄影中學到的第一件事是，具有相同穩定性的球員可以投出命中率在 75% 到 90% 之間的罰球。 區別在於 90% 的球員在正確的投籃（最佳軌跡）上保持一致。
罰球的命運在球離開球員指尖的那一刻就已註定，因此我們仔細研究了投籃的“發射條件”。 球位於地板上方的高度。 它具有向後旋轉的速度（稱為後旋），並且具有發射速度和發射角度。 由於射手永遠不會以相同的方式發射球，因此細微的差異決定了射手的穩定性。
我們發現大約 3 赫茲的後旋量是最好的； 超過這個量沒有幫助。 球到達籃筐大約需要 1 秒，因此 3 赫茲相當於球在空中旋轉三圈，從球離開球員的手到球到達籃筐的那一刻。
接下來，假設球員在離地面 7 英尺的高度釋放球，大約 52 度的發射角是最佳的。 在這個角度下，發射速度最低，投籃成功的機率最高。 在 52 度時，射手可以偏離一度或更多，而不會對投籃的成功率產生很大影響。
然而，發射速度卻恰恰相反。 這是球員最難控制的變數。 釋放球太慢，投籃就短； 釋放球太快，投籃就長。 球員需要記住她在釋放過程中整個身體的運動，才能始終如一地傳遞相同的速度。
在所有其他條件相同的情況下，從高於地板的位置釋放球的球員具有更高的投籃命中率。 這很有趣，因為我們在北卡羅來納州立大學的教練和我交談過的其他人都說，高個子球員的罰球往往比矮個子球員更差。 似乎矮個子球員必須更加努力。
最後一個釋放條件是最令人驚訝的：罰球的瞄準點。 我們發現球員應該將球瞄準籃筐後部。 基本上，籃筐後部比籃筐前部更寬容。 在 7 英尺的釋放高度下，球與籃筐後部之間的間隙應小於 2 英寸。 無論在低釋放高度還是高釋放高度發射，小間隙都是最好的。
經驗教訓
那麼，這一切對於渴望提高罰球水平的球員來說意味著什麼呢？
我們的研究表明，球員應該將球瞄準籃筐中心以外的位置。 以高角度並在儘可能高的離地高度發射球。（球在其弧線的最高點，應達到籃板的頂部。）對準球以消除側角。 並嘗試以平穩的身體運動發射球，以產生一致的發射速度。
在過去的幾年裡，我們擴充套件了我們的工作，研究了最佳擦板球擊中籃板的位置，併為任何想要完善它的人開發了一種工具。
隨著錦標賽臨近，我想起了比賽變得多麼具有競爭性，以及它如何真正變成了一場毫釐之爭的比賽。 作為一名老籃球運動員，和你們中的許多人一樣，我喜歡觀看比賽——並且，偶爾，也能瞥見那個完美的罰球。
本文最初發表於The Conversation。 閱讀原文。