數學中最重要的發現大多發生在數十年甚至數個世紀的努力之後。如果你想 攻克最重大的難題，你需要掌握大量高度專業的技術知識，才能開始說出一些新的東西。
這些問題對 理查德·施瓦茨不感興趣。他喜歡今天讀到，明天就可以開始解決的問題——簡單的問題、有趣的問題，以及帶有嘉年華遊戲性質的問題：走近前來，看看你能用這個做什麼！這在研究數學家中是一種不尋常的傾向。施瓦茨完全接受它。“我不認為我對數學持有成熟的態度，”他說。
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然而，這一切並不是說施瓦茨絕不是一位嚴肅而有成就的數學家。他確實是。他在普林斯頓大學師從比爾·瑟斯頓獲得了博士學位，瑟斯頓是過去半個世紀最重要的數學家之一。他現在是布朗大學的終身教授，他最重要的工作發生在動力學領域，該領域研究迭代過程的長期行為，例如 在無摩擦球桌上彈跳的檯球。2008年，他 證明了每個角度都小於 100 度的三角形 都包含至少一條週期性檯球路徑——球會無限次追蹤和重複的路徑。
施瓦茨在他的大部分工作中使用計算機實驗——在這方面他走在前沿。正如他所解釋的那樣，計算機在以下幾個方面補充了人類的數學思維：它們描繪出模式，提供線索，從而得出單靠頭腦可能不明顯的證明。
誇塔雜誌 與施瓦茨談到了他對簡單問題的偏好，他所謂的數學“奇蹟”，以及他即將出版的關於無窮大的兒童數學書。以下是這些對話的編輯和濃縮版本。
你喜歡數學的哪些方面？
我喜歡數學的方方面面。首先，我喜歡它在某種程度上是有效的。我喜歡它是程式化的，並且有一種方法可以取得進展。我喜歡你可以弄清問題的根源，不像政治或宗教那樣，你可以和人們談論多年，但沒有人會改變對方的觀點。
我還喜歡形狀和數字。出於某種我無法完全解釋的原始原因，我一直對這些東西充滿熱愛。然後，我喜歡智力挑戰。我喜歡解決問題，嘗試解決人們無法解決的問題。這有點像登山。最後，我喜歡純粹數學的美，就像有人可能喜歡一件藝術品一樣。
你說你喜歡簡單的問題。為什麼？
我覺得如果這是一個尚未解決的簡單問題，它可能有一些隱藏的深度。換句話說，人類知識中缺少一些東西，阻止人們解決這個問題。
第二件事是我喜歡做計算機實驗，所以我感覺有時我有機會取得進展。現代計算機是一種新工具，我認為這些簡單的事情是收集資料的藉口。比如，我只是要編寫計算機程式並執行一些實驗，看看我是否可以發現一些其他人沒有看到的隱藏模式，只是因為他們還沒有做過這些實驗。
年輕的時候，你會有幾乎所有事情都知道了的印象。現在我感覺關於數學幾乎所有事情都是未知的。
第三件事，這聽起來可能有點傻，就是我喜歡的簡單問題不需要太多背景知識就可以入門。我喜歡我可以立即開始工作的事情。我沒有耐心。如果我聽說某個花哨的數學領域的猜想，我就對此感到懶惰。我不想花六個月的時間閱讀文獻，直到我準備好攻擊這個問題。我喜歡直接動手，立即開始。
你能舉一個簡單問題的例子嗎？
我非常感興趣的一個問題是三角形檯球問題。它問道：如果你在三角形中看臺球，是否存在週期性檯球路徑——一遍又一遍地追蹤相同路徑的路徑？這對於銳角三角形[其中三角形的所有角都小於 90 度]是已知的，但對於鈍角三角形[其中一個角大於 90 度]是未知的。問題是：每個三角形都有周期性檯球路徑嗎？所以我在這方面取得了一些進展。我證明了只要所有角都小於 100 度，就存在週期性檯球路徑。
你能再給我一個例子嗎？
我花了很長時間研究並解決的另一個問題是外檯球問題。在這裡，你在平面上有一個凸形，比如橢圓形、正方形或五邊形。你從形狀外部的一個點開始，然後，嗯，也許我應該畫一張圖。
你從你的初始點開始，然後畫一條與形狀相切的線——它在一個點與形狀相切。停在距離切點與你的原始點等距的點。然後重複這個過程來建立類似軌道的東西。
一直以來的主要問題是：是否存在一種形狀和一個起始點，使得點移動到離形狀任意遠的地方？軌道是無界的嗎？這是 我解決的一個問題。我證明了對於某些形狀——對於風箏形，即具有雙邊對稱性的四邊形——你可以逃逸。
告訴我你在工作中如何使用計算機，以及為什麼你會被這個過程所吸引。
我想說的一件事是，它們是非常好的草稿紙。數學家，甚至像高斯和尤拉這樣的老前輩，都在試圖收集實驗證據。他們會嘗試在紙上手工計算特殊情況，以便讓他們瞭解可能發生的事情。從某種意義上說，計算機讓你做更多的事情。它可以讓你收集更多關於可能為真的實驗證據。
它也是一種視覺化工具。它揭示了你不知道會是真的事情。一個真正需要計算機的很好的例子是像曼德勃羅集這樣的東西。如果你沒有計算機，你可以手工繪製幾個點。但是，當人們開始做這些計算機實驗時，它揭示了關於正在發生的事情的豐富資訊。曼德勃羅集、朱利亞集以及所有這些東西，如果沒有大量的計算和繪圖，是不可能看到的。
計算機是否在某些方面允許你解決性質上不同的問題？
我只能說我的非正式觀點，那就是數學非常擅長處理高度對稱的物件。從某種意義上說，數學是關於奇蹟的。最近一個重要的例子是瑪麗娜·維亞佐夫斯卡 解決了八維空間中的開普勒猜想。[該猜想涉及將球體集合儘可能密集地堆積在一起的方式。] 奇怪的是，八維空間中的開普勒猜想比三維空間中的開普勒猜想更容易解決。原因是八維空間中存在這種神奇的球體堆積，它非常非常對稱。八維空間中的這些特殊配置就像這些神奇的東西。而如果沒有非凡對稱性的存在，在某種程度上，數學就不知道該怎麼做。因此，計算機非常有用，因為它允許你搜索各種可能性。
你能否詳細說明一下，當你談到數學被組織起來是為了找到最對稱或最美麗的物體時，你的意思是什麼？
這幾乎就像數學會篩選並立即挑選出最閃亮、最美麗的物體。比如對數，或者零，或者指數函式。在幾何學中，有像直線和平面這樣的東西。後來又有了流形、彎曲空間和像概型這樣的奇怪的東西，我對它們不太瞭解。數學是針對這些特殊的規範物件進行調整的。你可以說這就是數學家應該做的事情——他們應該找到更多這些東西，更多寶石。但另一方面，它們可能是最初看起來非常粗糙的微妙寶石。
計算機可以幫助找到這些微妙的寶石嗎？
當然，那是我在外檯球問題上的經驗。起初，風箏形上的外檯球運動似乎完全嘈雜且難以理解，但我嘗試了不同的資料表示方式。最終，我想到了繪製一種更高維度表示的想法，突然，這種美麗的模式出現了。我永遠不會猜到。
計算機可以收集大量資訊，它可以圖形化地組織事物，它可以充當你的外部記憶，因此它可以幫助你識別這些可能太遙遠而無法在沒有幫助的情況下看到的潛在模式。計算機是一種霰彈槍方法，你只是嘗試一堆東西。在某種程度上，你根本沒有使用你的大腦，至少最初是這樣。但是然後你會得到一些反饋——你看到了一些東西——然後你根據你看到的反饋來調整實驗。如果成功了，你最終真的會知道一些你永遠無法獨自找到的東西。
你寫了幾本關於數學的兒童讀物。你寫作的動機是什麼？
兩件事。當我的孩子們還小的時候，我想教他們數學。我首先為我的女兒露西寫了一本關於質數的短書。但是後來我沉迷於這個專案，最終寫了一本完整的書，叫做 你可以指望怪物。和小孩子們在一起對我來說非常有啟發，因為我想向他們解釋有趣的東西。另一個動機是我喜歡繪畫。我甚至不認為我畫得有多好，但我喜歡繪製計算機圖片，所以，就是這樣。
我喜歡數學以外的創意事物；這是從我通常的研究中解脫出來。我喜歡擁有更廣泛的受眾。像大多數數學家一樣，我研究的那些研究問題——即使它們成功了，並且是未解決問題的解決方案——也不像數百人會閱讀它。很高興知道成千上萬的人讀過我的圖畫書。
我在數學上投入了大量的智力努力。我想知道，如果我非常努力地研究這些問題，併產生少數人會看到的東西，我生命中很大一部分的意義是什麼？也許透過這些兒童讀物，有機會知道我的勞動成果正在以直接的方式得到回報。
你正在創作一本新的兒童讀物，無限農場的生活。你想向孩子們傳達關於無窮大的什麼資訊？
當我還是個孩子的時候，我經常思考無窮大——如果我擁有無限長的手臂會是什麼樣子，或者如果桌子是無限的會是什麼樣子。我認為孩子們會喜歡這個。無窮大是一個有趣的概念。
經 誇塔雜誌許可轉載，誇塔雜誌是 西蒙斯基金會的編輯獨立出版物，其使命是透過報道數學以及物理和生命科學的研究進展和趨勢來增進公眾對科學的理解。