在閃爍的燈光和免費雞尾酒的掩蓋下，賭場的基石是數學，其設計目的是慢慢榨乾顧客的現金。多年來，具有數學頭腦的人們一直試圖利用他們對機率和博弈論的瞭解來扭轉局面，從而利用這個被操縱系統中的弱點。
1986年，美國物理學會（American Physical Society）在拉斯維加斯舉行了一次會議，當時發生了一個有趣的例子，據當地一家報紙報道稱，頭條新聞是“物理學家進城，賭場收入有史以來最低”。據說，物理學家們知道戰勝任何賭場遊戲的最佳策略：不要玩。
儘管人們有理由對在賭場遊戲中擊敗賭場持悲觀態度，但一個基於機率的簡單投注系統，從理論上講，會在長期內為你賺錢——但有一個巨大的警告。
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考慮在輪盤賭桌上押紅色或黑色。賠率是相等的。（這意味著如果你下注 1 美元並贏了，你將贏得 1 美元。但如果你輸了，你將損失 1 美元。）並且，為了簡單起見，假設你真的有 50-50 的機會猜對顏色。（真正的輪盤賭桌上有一些額外的綠色口袋，你會輸錢，這給了莊家一點優勢。）我們還假設賭桌沒有最大賭注。
這是策略：在任一顏色上下注 1 美元，如果你輸了，將你的賭注翻倍並再次下注。繼續翻倍（1 美元、2 美元、4 美元、8 美元、16 美元等等），直到你贏為止。例如，如果你輸了前兩次 1 美元和 2 美元的賭注，但在第三次 4 美元的賭注中獲勝，這意味著你總共損失了 3 美元，但在你的勝利中彌補了損失，並且額外獲得了 1 美元的利潤。如果你在第四次下注時首次獲勝，那麼你總共損失了 7 美元（1 美元 + 2 美元 + 4 美元），但透過贏得 8 美元而獲得 1 美元的利潤。這種模式會持續下去，並且總會在你獲勝時為你帶來 1 美元的收益。如果 1 美元看起來像是微不足道的收入，你可以透過多次重複該策略或從更高的初始賭注開始來放大它。如果你從 1,000 美元開始，翻倍到 2,000 美元，依此類推，那麼你將贏得 1,000 美元。
你可能會反駁說，只有當你在輪盤賭中最終猜對顏色時，這種策略才能賺錢，而我承諾的是保證利潤。然而，從長遠來看，你的顏色在某個時候命中的機會是 100%。也就是說，隨著輪數的增加，你輸掉每一注賭注的機率趨於零。即使在莊家享有持續優勢的更現實的情況下，情況也是如此。如果至少有一些機會你會贏，那麼你最終會贏，因為球不可能永遠落在錯誤的顏色上。
那麼我們都應該掏空我們的存錢罐，然後開車去內華達州的裡諾嗎？不幸的是，不能。這種策略被稱為馬丁格爾投注系統，在 18 世紀的歐洲特別流行，它仍然以其簡單性和財富承諾吸引著投注者——但它是有缺陷的。賭博在臭名昭著的情場浪子賈科莫·卡薩諾瓦·德·聖加爾特的眾多惡習中名列前茅，在他的回憶錄中，他寫道：“我仍然在玩馬丁格爾，但運氣太差，很快就身無分文了。”
你是否發現了上述承諾利潤的推理中的缺陷？假設你的口袋裡有 7 美元，並且你想把它變成 8 美元。你可以承受連續輸掉前三注賭注，分別是 1 美元、2 美元和 4 美元。不過，你連續輸掉三注的可能性不大，因為機率只有八分之一。因此，八分之一（或 12.5%）的時間你會輸掉全部 7 美元，而剩餘八分之七的時間你會賺到 1 美元。這些結果相互抵消：−1/8 × 7 美元 + 7/8 × 1 美元 = 0 美元。
這種效應會放大到任何數量的起始資金：有很大的機會賺到一點錢，而只有很小的機會輸掉你所有的錢。因此，許多賭徒在使用馬丁格爾系統時會獲得少量利潤，但極少數賭徒會遭受徹底的損失。這些力量會相互平衡，因此如果許多玩家使用該策略，他們眾多的少量盈利和少數鉅額虧損將平均下來為 0 美元。
但真正的論點並不止於 7 美元。正如我所提到的，其想法是繼續玩下去直到你贏。如果你連續輸掉三局，去 ATM 機取款，並在新的一輪旋轉中下注 8 美元。保證的利潤取決於持續下更多賭注的意願——以及透過持續玩下去最終獲勝的必然性。
這是關鍵缺陷：你的錢是有限的。你每輪下注的金額呈指數增長，因此用不了多久，你就會押上全部家當，僅僅是為了彌補你的損失。當你冒著微小但非零的風險，用你的生計去換取微不足道的一美元時，這是一個糟糕的創造財富的策略。最終你會破產，如果這種情況發生在你的頭獎之前，那麼你就會倒黴。
有限性也以另一種方式打破了馬丁格爾策略。機率決定了你最終肯定會贏，但即使你有一個取之不盡的錢包，你也可能在“最終”到來之前就去世了。然而，現實世界中令人討厭的實際問題再次干預了我們理想化的樂趣。
當我們回顧過去時，似乎很明顯，你實際上無法在賭場遊戲中強行獲得優勢。然而，令人驚訝的是，我們不得不訴諸關於償付能力和死亡率的論點來排除它。在數學家居住的夢幻般的紙上談兵的世界裡，我們可以在無窮大的範圍內自由漫遊，這允許了本應是不可能的事情。
對於獲勝機會為 50% 或更低的遊戲，在有限的世界中，沒有任何投注策略可以確保優勢。那麼，更有利的遊戲呢？如果你有 25 美元的錢包，並且可以反覆押注一枚你知道正面朝上的機率為 60% 的有偏差的硬幣的結果（你將再次輸掉你的全部賭注或獲得與賭注相等的金額），你有可能將你的 25 美元變成多少錢？研究人員用這個確切的實驗測試了 61 名金融專業的學生和年輕的從業人員，並對他們的糟糕表現感到驚訝。（你可以自己嘗試一下。）
令人不安的是，28% 的參與者即使擁有優勢也破產了，更令人震驚的是，三分之二的參與者在遊戲的某個時候押注了反面，這絕不是理性的。平均而言，參與者帶著 91 美元離開（獎金上限為 250 美元）。對於一個從 25 美元起步的人來說，這似乎是一筆豐厚的收入，但研究人員計算出，在允許的 300 次拋硬幣的時間內，使用最佳策略（如下所述）的玩家的平均獎金將超過 300 萬美元！
玩家面臨一個兩難境地：每輪下注太多，他們就有可能在幾次倒黴的拋擲中輸掉他們的全部資金。但是下注太少，他們就無法充分利用有偏差的硬幣為他們帶來的可觀優勢。凱利判據是一個平衡這些相互競爭的力量並在這種情況下最大化財富的公式。科學家小約翰·凱利（John Kelly, Jr.）於 20 世紀中期在貝爾實驗室工作，他意識到，為了賺最多的錢，賭徒應該在每一輪中投注他們錢包中一個固定的比例。
他算出了完美比例的簡單公式，他在1956 年的一篇論文中描述了這個公式：2p – 1，其中 p 是你獲勝的機率（在拋硬幣的例子中，p = 0.6）。在實驗中，每次拋擲都押注你可用現金的 20% 正好擊中了最佳點。請注意，如果你一直贏，該策略會將更多的錢投入到賭注中，並且隨著你的現金減少，它會縮小賭注規模，從而使你不太可能破產。
與馬丁格爾投注策略不同，凱利判據在實踐中有效，並證明了其作為量化金融支柱的價值。在二十一點中，專業的算牌者也會在牌局火爆時使用它來確定他們的賭注大小。
經濟學家警告說，儘管凱利判據對於創造財富有效，但它仍然是一場賭博，有其自身的陷阱。首先，它假設你知道你贏得賭注的機率，這在許多賭場遊戲中可能是真的，但在股票市場等模糊領域則不然。此外，凱利斷言，在拋硬幣實驗中，如果你一直投注 20% 的資金，你最有可能增加你的財富。但是，如果你有 100 萬美元的資產，那麼在拋硬幣上賭 20 萬美元是完全不合理的。在某個時候，你將需要將你個人的風險厭惡程度納入考慮，並調整你的財政決策以尊重你自己的偏好。
儘管如此，如果你發現自己正在進行賠率對你有利的投注，請放棄馬丁格爾策略，並記住凱利判據是更好的選擇。
這是一篇觀點和分析文章，作者或作者表達的觀點不一定代表《大眾科學》的觀點。