在數學領域中，存在著一個龐大且不斷擴充套件的猜想、定理和思想網路，被稱為朗蘭茲綱領。該綱領連線了看似不相關的子領域。它的影響力如此之大，以至於一些數學家表示它——或它的某些方面——應該躋身於著名的千禧年難題之列，這是一個數學領域頂級未解問題的列表。加州大學伯克利分校的數學家愛德華·弗倫克爾甚至將朗蘭茲綱領稱為“數學的大統一理論”。
該綱領以新澤西州普林斯頓高等研究院的數學家羅伯特·朗蘭茲的名字命名。四年前，他因其綱領而被授予阿貝爾獎，這是數學領域最負盛名的獎項之一，他的綱領被描述為“富有遠見”。
朗蘭茲已經退休，但近年來，該專案已經發展成為“幾乎獨立的數學領域，包含許多不同的部分”，這些部分因“共同的靈感源泉”而團結在一起，薩斯喀徹溫大學的數學家和數學物理學家史蒂文·雷安說。它有“許多化身，有些仍然是開放的，有些已經以優美的方式得到了解決。”
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越來越多的數學家發現原始綱領——及其分支，幾何朗蘭茲綱領——與其他科學領域之間的聯絡。研究人員已經發現了與物理學的密切聯絡，雷安和其他科學家繼續探索新的聯絡。他預感，隨著時間的推移，這些綱領與其他領域之間也將發現聯絡。“我認為我們只看到了冰山一角，”他說。“我認為未來幾十年最引人入勝的工作將是看到朗蘭茲在科學領域中的後果和表現，在這些領域中，與這種純粹數學的互動直到現在可能還很邊緣化。” 雷安補充說，總的來說，朗蘭茲仍然是神秘的，為了瞭解它的走向，他希望“看到對這些綱領的真正來源的理解浮出水面。”
一個令人費解的網路
多倫多大學的數學家詹姆斯·阿瑟說，朗蘭茲綱領一直是一場與意外的誘人舞蹈。阿瑟是朗蘭茲在耶魯大學的導師，阿瑟於 1970 年在那裡獲得了博士學位。（朗蘭茲拒絕接受本次故事的採訪。）
“我基本上是他的第一個學生，我很幸運能在那個時候遇到他，”阿瑟說。“他與我見過的任何數學家都不同。我提出的任何問題，尤其是關於數學更廣泛方面的問題，他都會清楚地回答，而且往往比我能想象到的更具啟發性。”
在那段時間裡，朗蘭茲為最終成為以他的名字命名的綱領奠定了基礎。1969 年，朗蘭茲向法國數學家安德烈·韋伊手寫了一封 17 頁的信。在那封信中，朗蘭茲分享了新的想法，後來這些想法被稱為“朗蘭茲猜想”。
阿瑟指出，1969 年，朗蘭茲在會議講座中分享了最終發展成為朗蘭茲綱領的七個猜想。有一天，阿瑟向他的導師索要一份基於這些講座的預印本論文。
“他很樂意給了我一份，毫無疑問他知道這超出了我的能力範圍，”阿瑟說。“但多年來，它也超出了其他所有人的能力範圍。然而，我可以看出，它基於一些真正非凡的想法，即使其中幾乎所有內容對我來說都是陌生的。”
核心猜想
朗蘭茲綱領的核心是兩個猜想。“朗蘭茲綱領中的幾乎所有內容都以這樣或那樣的方式來自這些猜想，”阿瑟說。
互反猜想與亞歷山大·格羅滕迪克的工作有關，他因在代數幾何方面的研究而聞名，包括他對“動機”的預測。“我認為格羅滕迪克選擇‘動機’這個詞是因為他認為它是藝術、音樂或文學中主題的數學類比：隱藏的想法，這些想法在藝術中沒有明確說明，但它們是背後某種程度上控制一切如何組合在一起的東西，”阿瑟說。
阿瑟指出，互反猜想假設這些動機來自朗蘭茲發現的另一種型別的解析數學物件，稱為自守表示。“‘自守表示’只是量子物理學中滿足薛定諤方程類似物的物件的流行語，”他補充道。薛定諤方程預測在特定狀態下找到粒子的可能性。
第二個重要的猜想是函子性猜想，也簡稱為函子性。它涉及分類數域。想象一下，從一個變數的方程開始，其係數是整數——例如 x2 + 2x + 3 = 0——並尋找該方程的根。阿瑟說，該猜想預測，相應的域將是“透過取這些根的和、積和有理數倍數得到的最小域”。
探索不同的數學“世界”
阿瑟說，透過原始綱領，朗蘭茲“發現了一個全新的世界”。
分支幾何朗蘭茲擴充套件了該數學涵蓋的領域。雷安解釋了原始綱領和幾何綱領提供的不同視角。“普通的朗蘭茲是一系列關於某個點的世界的思想、對應關係、對偶性和觀察的集合，”他說。“你的世界將由一系列相關的數字來描述。你可以測量你所在位置的溫度；你可以測量該點的重力強度，”他補充道。
然而，對於幾何綱領，你的環境變得更加複雜，具有自身的幾何形狀。你可以自由移動，收集你訪問的每個點的資料。“你可能不太關心單個數字，而更關心它們在你世界中移動時的變化方式，”雷安說。你收集的資料“將受到幾何形狀的影響”，他說。因此，幾何綱領“本質上是用函式代替數字。”
幾何朗蘭茲綱領將數論和表示論聯絡起來。馬薩諸塞大學阿默斯特分校的數學家克里斯·埃利奧特說，“廣義上講，表示論是對數學中對稱性的研究。”
埃利奧特指出，幾何表示論使用幾何工具和思想，擴充套件了數學家對與對稱性相關的抽象概念的理解。幾何朗蘭茲綱領“存在於”表示論的那個領域，他說。
與物理學的交叉
幾何綱領已經與物理學聯絡起來，預示著可能與其他科學領域建立聯絡。
2018 年，雷安小組的博士後研究員池田和樹發表了一篇《數理物理學雜誌》研究，他說該研究與電磁對偶性有關，電磁對偶性是“物理學中長期已知的概念”，例如在量子計算機的糾錯碼中可以看到。池田說，他的研究結果“是世界上第一個表明朗蘭茲綱領是一個極其重要和強大的概念，不僅可以應用於數學，還可以應用於凝聚態物理學”——對固態物質的研究——“和量子計算。”
雷安說，凝聚態物理學和幾何綱領之間的聯絡最近得到了加強。“在過去一年中，各種調查已經為舞臺奠定了基礎，”他說，包括他自己的工作，涉及在量子物質的背景下使用代數幾何和數論。
其他工作建立了幾何綱領與高能物理學之間的聯絡。2007 年，加州理工學院的理論物理學家安東·卡普斯汀和高等研究院的數學和理論物理學家愛德華·威滕發表了雷安稱之為“美麗的里程碑式論文”，該論文“為幾何朗蘭茲在高能理論物理學中的積極生命鋪平了道路。” 在這篇論文中，卡普斯汀和威滕寫道，他們的目標是“展示如何將該綱領理解為量子場論中的一章。”
埃利奧特指出，從數學的角度看待量子場論可以幫助收集有關構成其基礎的結構的新資訊。例如，朗蘭茲可能幫助物理學家設計出維度數量與我們自己的世界不同的世界的理論。
阿瑟說，除了幾何綱領之外，原始朗蘭茲綱領也被認為是物理學的基本原理。但他表示，探索這種聯絡“可能需要首先找到一個連線原始綱領和幾何綱領的總體理論”。
這些綱領的範圍可能不會止步於數學和物理學。“我毫不懷疑，[它們]在整個科學領域都有解釋，”雷安說。“故事的凝聚態部分將自然而然地引導人們進入化學領域。” 此外，他補充說，“純粹數學總是會進入科學的其他所有領域。這只是時間問題。”