一項對義大利商人兼數學家喬瓦尼·比安奇尼在 15 世紀 40 年代編纂的天文表的分析表明，小數點的發明時間比之前認為的要早約 150 年。歷史學家表示，這一發現改寫了最基本的數學約定之一的起源，並表明比安奇尼——他的經濟學訓練與他的天文學家同行形成鮮明對比——可能在數學史上發揮了比之前認識到的更重要的作用。研究結果發表在《數學史》雜誌上。
西班牙巴塞羅那龐培法布拉大學的天文學史學家何塞·查巴斯說：“這是一個非常好的發現。” 小數點是“人類向前邁進了一步”，他說，它使支撐現代科學和技術的計算變得輕鬆高效。此前，其最早的已知出現通常被認為是德國數學家克里斯托弗·克拉維烏斯在 1593 年撰寫的天文表中。但現在很清楚，“靈感來自比安奇尼”，查巴斯說。
比安奇尼在成為強大的埃斯特家族（當時統治費拉拉公國）的財產管理者之前，曾是一名威尼斯商人。除了管理資產和指導投資外，比安奇尼還負責占星，這意味著他必須精通天文學。他出版了幾部關於行星運動到預測日食等主題的著作。
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加拿大蘭利三一西方大學的數學史學家格倫·範·布魯梅倫曾希望比安奇尼的作品可能有助於揭示伊斯蘭天文學知識如何以及何時傳入歐洲。範·布魯梅倫說，作為一名商人，“比安奇尼會走遍各地，因此他可能在他的旅程中在伊斯蘭科學中發現了一些東西並以此為靈感，這似乎很自然”。但相反，“他所做的很多事情似乎都只是出於他自己令人難以置信的創造性思維。”
棘手的除法
在比安奇尼時代，歐洲天文學家專門使用繼承自巴比倫人的六十進位制（60 進位制）系統。六十進位制系統今天仍用於書寫緯度和經度，包括天體和地球的緯度和經度。它將一個完整的圓分為 360 度，每度分為 60 分，每分分為 60 秒。但是，用六十進位制數字進行乘法等運算非常困難。天文學家必須將一個值轉換為最小單位才能進行計算，例如，然後再轉換回來。
另一方面，商人和會計師被教導使用現實世界的重量和度量進行計算，其中單位可以以多種方式劃分：例如，1 英尺有 12 英寸，1 碼有 3 英尺。為了簡化計算，比安奇尼發明了自己的十進位制方案，描述了一種測量距離的系統，其中 1 英尺（30 釐米）分為十個相等的部分，稱為 untie，每個 untie 又分為十個 minuta，然後再分為十個 secunda。這種方法沒有流行起來，並且他對比 10 的偏愛以前被認為沒有影響他的天文學。
但是，在仔細研究比安奇尼在 15 世紀 40 年代撰寫的一篇名為《Tabulae primi mobilis B》的論文時，範·布魯梅倫意識到，在某些地方，他不僅使用了十進位制數字系統，還使用了像我們今天使用的小數點。
範·布魯梅倫是在為中學生舉辦的數學營教書時發現這一點的。一天晚上，他透過 Zoom 與一位同事討論《Tabulae》，試圖翻譯比安奇尼晦澀難懂的中世紀拉丁文。他們偶然發現了一段文字，比安奇尼在其中介紹了一個“中間帶點”的數字——10.4——並展示瞭如何將其乘以 8。“我意識到他像我們一樣使用它，並且他知道如何用它進行計算，”範·布魯梅倫說。“我記得拿著我的電腦在宿舍的走廊裡跑來跑去，試圖找到任何醒著的人，大喊‘看看這個，這傢伙在 15 世紀 40 年代就在使用小數點了！’”
該手稿的關鍵部分是一系列三角函式表，包括正弦表。當時的天文學家使用球面三角學來計算天體在球體表面的位置。比安奇尼仍然將角度分為分和秒，但給出的正弦值（天文學家將其解釋為距離）是十進位制數，精確到十分位、百分位和千分位。當說明使用者應新增或減去多少量以計算介於一個條目和下一個條目之間的值時，他引入了小數點。耐人尋味的是，這正是克拉維烏斯在 1593 年使用小數點的方式。歷史學家一直想知道為什麼克拉維烏斯再也沒有提到這項創新。“你為什麼要發明一種顯然如此強大的東西，然後就放棄它呢？”範·布魯梅倫問道。但這一進步完全符合比安奇尼更廣泛的工作。範·布魯梅倫得出結論，克拉維烏斯一定是從他的前輩那裡挪用了小數點。“他不可能不知道比安奇尼，”查巴斯同意道。
指向未來
倫敦大學伯貝克學院的數學史學家莎拉·哈特說，十進位制系統的美妙之處在於，它使非整數的計算與整數一樣容易。她說，不需要“所有你必須用分數做的那些胡說八道”。“有了小數點，你可以在任何大小的數字上使用相同的過程。”
範·布魯梅倫認為，比安奇尼的經濟學教育可能是他發明十進位制的關鍵，因為他不像其他天文學家那樣，職業生涯早期就沉浸在六十進位制數字中。但他的方法可能太具有革命性，以至於一開始沒有流行起來。他說：“為了理解比安奇尼在做什麼，你必須學習一套全新的算術系統。”
然而，一個半世紀後，“十進位制記數法已在空中”。使用越來越小的細分單位的天文學家正在發明不同的系統，迫切希望找到簡化複雜計算的方法。克拉維烏斯的作品影響了後來的十進小數普及者，如弗拉芒數學家西蒙·斯蒂文，以及蘇格蘭天文學家和對數發明者約翰·納皮爾，後者採用了小數點。查巴斯認為，歷史學家應該重新評估比安奇尼的重要性。儘管他已被其他人物“掩蓋”，但顯然存在“一條思想之路”，他說，可以追溯到比安奇尼。
這項發明的意義已經遠遠超出了天文學的範圍。哈特說，十進小數使科學家能夠以更高的精度確定自然，並提出以前甚至不可能產生的想法，例如“一個永遠持續且永不停歇的數字”的想法。她指出，小數點的力量依賴於其他發展，包括幾百年前印度-阿拉伯數字傳入歐洲——主要透過萊昂納多·皮薩諾（被稱為斐波那契）的工作——以及零符號的逐步引入。比安奇尼的故事說明了實際需求、數字系統和理論思想之間“不斷的交叉融合”，她說，他恰到好處的點改變了我們看待世界的方式。
本文經許可轉載，並於 2024 年 2 月 19 日首次發表。