超現實數是真實存在的。以下是如何構建它們

在20世紀70年代早期，數學家唐納德·克努特與他的妻子在挪威度過了一個學術休假。這段時間本應是用來放鬆的。然而，一天晚上，他驚醒了他的伴侶，情緒激動。他迫切需要寫一本書。他向他的配偶保證，別擔心，只需要一週時間。為了專心寫作，他在奧斯陸為自己預訂了一間酒店房間。

在那裡，他起草了後來成為超現實數：兩位前學生如何轉向純粹數學並找到完全的幸福的書。儘管克努特並沒有發明超現實數的概念，但他卻是第一個發表關於該主題的詳細著作並創造了這個術語的人。時至今日，他的書仍被認為是該主題的標準著作。

然而，這部著作絕非普通的非小說類作品。它由兩個虛構人物愛麗絲和比爾之間的對話組成。書中還介紹了超現實數的真正發明者，已故的數學家約翰·霍頓·康威，他於2020年去世。

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“起初，一切皆為空虛，J.H.W.H. 康威開始創造數字，”克努特寫道。克努特在康威的名字中添加了額外的首字母，以暗示四字神名（希伯來語中上帝的四字名字，音譯為 YHWH 或耶和華），他在 Numberphile 的 YouTube 影片中解釋道。

這絕非唯一的聖經典故；甚至克努特撰寫這本書的背景故事也呼應了宗教創世故事。他只用了一週的時間就把整本書寫成了文字，正如他向妻子承諾的那樣。“在第六天我完成了它。在第七天我休息了，”克努特告訴 Numberphile。

超現實數是透過在兩個給定的現有數字之間新增值來建立的。例如，如果您檢視 0 和 1，則 ¹/₂ 在中間，¹/₄ 在 0 和 ¹/₂ 之間，依此類推。這種方法使得越來越精確地解析數軸成為可能。

這個想法乍聽起來並不引人注目，但是，與簡單地提供分母越來越大的分數不同，在某個時刻，一切都會爆炸，突然之間，出現了甚至不包含在實數中的值。

兩個公理產生一個不可思議的數字宇宙

康威建立了兩個基本規則，從中產生了不可估量的數字領域。每個數字 x 由兩個集合 M_L 和 M_R 定義，它們包含先前建立的數字：x = {M_L : M_R}。

M_L 是左手集，M_R 是右手集。第一個規則是左手集的元素始終小於右手集的元素。

第二個規則規定，0 是由兩個空集界定的數字。這兩個規則為數學的一個極其多樣化的分支奠定了基礎！

在這些基礎之上，克努特的超現實數創世故事發生在幾天之內。在第零天，根據第二條規則，0 從無到有地被創造出來，他將其表示為 0 = { : }。

在第一天，又建立了兩個數字：1 = {0: } 和 –1 = { :0}。這兩個數字之所以出現，是因為它們是數軸上第二大和第二小的整數（分別是）。

超現實創造的第二天變得更加有趣。現在你可以第一次使用不同的數字了。例如，{0:1} 表示介於 0 和 1 之間的數字，即 ¹/₂。你也可以建立 {1: } = 2, {–1:0} = –¹/₂ 和 { :–1} = –2。

以這種方式繼續下去，在第三天，你將得到 ¹/₄、³/₄、3 等等。

如果你堅持下去，到第 n 天，你將擁有從 –n 到 n 的所有整數，以及分母為 2, 2², 2⁴, 2⁸,... 到 2ⁿ 的所有分數。這種分母是 2 的倍數的分數稱為二進有理數。這使得超現實數看起來相當枯燥：它們僅由整數和二進有理陣列成。沒有 π (π) 或根號二 (√2) 等值的蹤跡——甚至連像 ¹/₃ 這樣微不足道的數字也沒有。

所有實數的黎明

超現實數真正令人興奮的特性在你到達 ω 天時就會展開。ω 這個符號對應於可數無窮大。在這一天，所有以前不存在的實數，即所有無理數值和所有非二進有理分數，都會一下子被創造出來。

例如，√2 來自以下表示：√2 = {1 ⁵/₄¹¹/₈ ... : ... ²³/₁₆³/₂}。其他無理數值（如 π）也以這種方式獲得；該數字由兩個二進有理數序列包圍。

實際上，該過程類似於已建立的戴德金分割方法，該方法用於從有理數構造實數。在該方法中，形成兩組有理數，其中一組包含小於另一組的數字（就像康威的第一條規則一樣）。然後，這兩組之間的“交集”定義了一個實數。

但在康威的奇特構造中，ω 天誕生了新的數字。突然之間，無限值也出現了——即數字 ω。為此，你必須將所有自然數插入左手集，並將右手集留空：ω = {1 2 3 ... : }。這對應於大於所有自然數的數字。

還有更不尋常的東西。如果你在左手集中輸入 0，並在右手集中輸入所有二進有理分數，你將得到一個無窮小數 ε = {0 : ...¹/₈¹/₄¹/₂ 1}。這個 epsilon 代表無窮大的倒數：ε 非常小，以至於沒有實數可以表示它。事實上，ε 對應於 ω 的倒數：ε = ¹/_ω。無窮小數 ε 不僅在 ω 天單獨出現，而且還與所有整數和二進有理數組合出現： ¹/₂ + ε = {¹/₂ : ... ¹/₈¹/₄¹/₂ 1}。

在 ω + 1 天，出現了更多的超現實數，例如數字 ω + 1 和 ω – 1，兩個新的無窮大。此外，任何實數現在都可以與 ε 組合，例如：π + ε = {π : ...¹/₈¹/₄¹/₂ 1}。此外，還建立了數字 ^ε/₂，這是一個比無窮小數小一半的值。

數量的概念崩潰了

在隨後的每一天，都會出現新的超現實數：新的無窮大和無窮小，以及出現在所有先前生成的數字之間的新值。數字的多樣性一點一點地繼續增長。事實上，創造瞭如此多的物件，以至於超現實數不再能被定義為一個集合。相反，它們形成一個“類”。因此，它們遠遠超過所有其他型別的數字：自然數、有理數和實數。

為了理解這一點，回想一下超現實數的定義，即兩個集合 M_L 和 M_R，其中 M_L始終是較小的那個。假設所有超現實數的總體是一個集合 S。那麼你可以將一個新數字 x 定義為 x = {S : }。這將使 x 成為一個超過 S 所有值的數字——所以你將定義一個不包含在 S 中的超現實數。

這是一個矛盾，因為根據定義，S 包含所有超現實數。為了避免這種悖論（如果你想確定所有無窮大的數量，也會出現這種悖論），數學家們引入了類的概念。因為 S 是一個類，所以它不能用於構造超現實數。

超現實數還隱藏著更多的驚喜。儘管超現實數的數量明顯多於實數，但它們並沒有形成連續統。由超現實陣列成的數軸充滿了漏洞——不像實數軸那樣沒有間隙。這些空間的原因是，總是有更小的無窮小量擠在先前生成的超現實數之間。

例如，開集 [0,1) 包括所有小於 1 的值。因此，數字 1 是一個“上限”。然而，超現實數缺少這樣的概念。那是因為你可以在集合 [0,1) 和 1 之間找到一個超現實數，例如 1 – ε。這個數字既不屬於 [0,1) 也不屬於 1。

這一觀察具有深遠的意義。這意味著諸如 ¹/_n 之類的數字序列，如果 n 趨於無窮大，則不具有極限值 0。相反，該序列不會收斂。它將永遠持續執行，同時它將取越來越小的值 ε, ^ε/₂, ..., ^ε/₁₀₀, 等等。在超現實數的宇宙中，0.9999... 永遠不可能等於 1——不像實數那樣。

由於缺少這樣的極限，我們在學校以導數和積分形式學習的常用分析形式也崩潰了。所有基本概念都基於極限值形成和連續數空間。然而，專家們已經成功地開發出所謂的“非標準分析”，它可以與超現實數一起使用。

即使這一切看起來非常抽象和陌生，克努特也確信，超現實數與其他任何數字一樣，都適合描述我們的世界。如果“一百年來每個人都在學校裡學到這個，[他們就會]認為這就是數字的樣子，”他告訴 Numberphile。“我們沒有理由認為宇宙會遵守實數的定律。”事實上，物理學家已經嘗試將超現實數納入他們的理論。然而，所涉及的工作通常非常繁重，到目前為止，收益甚微。

在數學中，超現實數形成了一個有趣的結構：一個龐大的數字系統，可用於描述無窮大和無窮小。康威實際上是在研究圍棋的策略時提出了這種驚人的構造。超現實數已在博弈論中證明了自身的價值，但僅限於其有限的變體，即整數和二進有理數的並集。正如康威在2016 年的一次講座中所反思的那樣，他以這種方式揭示了以前未知的超現實數宇宙的無限廣闊是他“數學生活中最大的驚喜。”

本文最初發表於Spektrum der Wissenschaft，並經許可轉載。