在 20 世紀 40 年代的一系列著名故事中，物理學家喬治·伽莫夫講述了一位名叫 C.G.H. 湯普金斯先生的謙遜銀行職員的冒險經歷，他夢見世界充滿了奇怪的物理現象侵入日常生活。例如，在其中一個世界中，光速為每小時 15 公里，如果您騎腳踏車，愛因斯坦的狹義相對論的怪異效應就會顯現出來。
不久前，我形象地遇到了湯普金斯先生的曾孫之一，E. M. 埃弗拉德先生，他是一位哲學家兼工程師，正在繼承他祖先的傳統。他告訴我他最近經歷了一次驚人的體驗，涉及愛因斯坦廣義相對論的某些新近發現的方面，我將與您分享。他非凡的故事充滿了彎曲的時空、在半空中扭動的貓、在真空中奮力划槳以求安全的遇險宇航員——以及艾薩克·牛頓可能在墳墓裡旋轉。
前方危險彎道
在遙遠宇宙的某個區域，埃弗拉德先生走到他的宇宙飛船外修理一個錯誤的 антенну。他注意到遠處美麗的星光看起來扭曲了，好像他正透過厚厚的鏡片觀看它們。他也感到有什麼東西在輕輕地拉伸他的身體。他懷疑自己知道發生了什麼事，於是從他的工具帶上拿出一個雷射筆和一罐剃鬚膏，開啟他的噴氣揹包來測試他的想法。
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他以雷射束為引導，徑直飛出 100 米，左轉在該方向上飛行了幾十米，最後返回起點，像宇宙飛行員一樣畫出一個泡沫三角形。然後他用量角器測量了他的三角形的頂角並將它們加起來。結果超過了 180 度。
埃弗拉德先生並沒有因這種明顯的違反幾何規則的行為而感到困惑，而是深情地回憶起他童年時在父母的書房裡，在地球儀上畫三角形時發生的非歐幾里得事件。在那裡，角度加起來也超過 180 度。他得出結論，他周圍的空間也一定像那個地球儀的表面一樣彎曲，相隔多年和光年。曲率將解釋扭曲的星光和略微令人不適的拉伸感。
因此，埃弗拉德先生明白他正在經歷廣義相對論的教科書效應。比他帶著剃鬚膏閒逛更精細的實驗很久以前就證實了這些效應：物質和能量導致空間和時間彎曲，而時空的曲率導致物質和能量（例如他的雷射束和來自星星的光）遵循彎曲的軌跡。他的腳和頭部“想要”遵循略微不同的曲線，而這種差異產生了拉伸感。
思考著這些事實，埃弗拉德先生再次按下按鈕以啟動他的噴氣揹包返回他的宇宙飛船——但什麼也沒發生。驚慌失措，他看到他的燃料表為零，而且他離他的氣閘的安全區足足有 100 米遠。事實上，他和他的泡沫三角形正以恆定的速度漂離他的宇宙飛船。
他迅速行動，將他的量角器、雷射筆、泡沫罐和他工具帶上的所有其他物品直接扔離他的宇宙飛船。根據動量守恆原理，每次投擲，他都會向相反方向稍微後退一點——朝著他的飛船。他甚至解開他的噴氣揹包的安全帶，儘可能用力地將那個死重推開。唉，當他沒有什麼可扔的時候，他發現他所做的只是足以抵消他最初遠離飛船的運動。他現在相對於他的飛船靜止漂浮，但仍然離它很遠。他的處境可能看起來毫無希望：他的高中物理老師給他留下了深刻的印象，即在沒有外力或某種質量噴射的情況下，不可能加速一個物體。
幸運的是，對於我們這位漂流的朋友來說，他之前已經確定他身處彎曲的空間中，並且他足夠聰明，知道某些物理學中的守恆定律在彎曲空間中的工作方式與他學校時代的平坦（未彎曲）牛頓空間中的工作方式不同。特別是，他記得讀過 2003 年的一篇物理學論文，其中麻省理工學院的行星科學家傑克·威斯多姆表明，宇航員可以透過彎曲空間以根據牛頓運動定律不可能的方式移動——只需用他的胳膊和腿做出正確的動作即可。換句話說，他可以游泳。它不需要任何流體來推動；他可以在真空中狗刨。
威斯多姆的技巧有點像一隻貓，從倒立的位置掉下來，可以扭動它的身體，縮回和伸展它的腿，使其翻身並用腳著地。牛頓力學定律允許貓改變其方向，但不能改變其速度，而無需推任何東西或被任何東西推動。
國際空間站上的宇航員等宇航員使用貓扭動技巧的一個版本，在失重狀態下轉身，而無需抓住扶手。在廣義相對論的彎曲時空中，貓或宇航員可以完成更令人印象深刻的特技。我們的英雄在略多於一小時的時間內走完了回到他的宇宙飛船的距離——雖然不是奧運紀錄，但肯定足夠快，以確保他能夠活下來進行更多的冒險。
游泳課程
威斯多姆現象究竟是如何運作的？像埃弗拉德先生這樣的冒險家如何在太空中游泳？在平坦空間中——牛頓力學和狹義相對論假設的那種——孤立系統（例如，宇航員加上報廢的噴氣揹包）的質心永遠不會加速。假設埃弗拉德先生在他推開噴氣揹包之前用一根長繩子把它綁起來，然後再把它收回來。在整個運動過程中，隨著噴氣揹包和宇航員先分開，然後再聚在一起，兩者的質心將保持不變。最後，他和他的噴氣揹包將回到他們的初始位置。更普遍地說，埃弗拉德先生不能僅僅透過週期性地改變他的形狀或結構，然後再恢復它來移動。
在彎曲空間中，情況有所不同。為了理解原因，想象一個有兩條胳膊和一條尾巴的外星生物，所有這些肢體都可以伸出和縮回。為了簡化討論，假設幾乎所有外星人的質量都集中在其三個肢體的末端，四分之一在每隻手中，另一半在尾巴尖端。漂浮在平坦空間中，這個外星人是無助的。如果它將尾巴伸出，例如，兩米，手向前移動一米，尾巴尖端向後移動一米，保持質心。再次縮回尾巴會將整個外星人帶回其起始位置，就像埃弗拉德先生和他的惰性噴氣揹包一樣。如果外星人嘗試伸展手臂，也會發生類似的事情。無論外星人進行何種肢體伸展和縮回的組合或序列，其質心都保持不變。它能做的最好的事情就是使用貓的技巧（伸展肢體，擺動它們，縮回它們，再次擺動它們）來改變它指向的方向。
但現在想象一下，這個外星人生活在一個彎曲的空間中，一個形狀像球體表面的空間。為了幫助您想象它，我將使用地理術語來描述球體上的位置和方向。外星人從球體的赤道開始，頭部指向西方，手臂和尾巴都縮回。它伸出雙臂，一隻向北，一隻向南。然後它在保持手臂與身體成直角伸展的同時，加長它的尾巴。就像在平坦空間中一樣，如果載有質量的尾巴尖端向東移動一米，手向西移動一米。這是球體上的關鍵區別：外星人保持其手臂與球體的經線對齊，並且這些線之間的距離在赤道處最大。因此，當外星人的手（更靠近球體的南北兩極）向西移動一米時，它的肩膀（在赤道上）移動超過一米。現在，當外星人沿著經線縮回它的手臂時，它最終會發現它的手比一米更靠西。當它縮回尾巴，恢復其原始身體結構時，它發現自己位於赤道上，距離其原始位置向西一小段距離！
[觀看在球體上游泳的動畫 和在鞍形上游泳的另一個動畫。]
透過週期性地重複這些動作，外星人沿著赤道爬行。異常重的尾巴尖端和手對於游泳來說不是必需的；只是更容易看出手臂在尾巴伸展時移動了多遠，如果所有質量都集中在那三個點上。而且，碰巧的是，如果外星物種依賴彎曲空間游泳來生存，它可能會進化出肢體末端的沉重旋鈕，以提高其游泳效率。畢竟，位於肘部的質量不會像它的手那樣到達球體曲率的遠處，因此不會產生那麼多的身體額外運動。
球體是一個二維表面，但相同的原理適用於彎曲的四維時空。系統中配置的週期性變化會導致淨位移。威斯多姆提出的游泳者是一個帶有伸縮腿的三腳架。腿可以伸長或縮短長度，腿之間的角度可以擴大或縮小。三腳架透過伸展它的腿、展開它們、縮回它們和閉合它們來游泳。三腳架所在的時空曲率越大，它透過這一系列動作產生的位移就越大。
違反交通規則？
雖然乍一看令人驚訝，但游泳是基本守恆定律的直接結果，而不是對它們的違反。游泳之所以有效，是因為質心的概念在彎曲空間中沒有明確的定義。假設我們有三個一公斤重的球，它們位於等邊三角形的頂點。在平坦表面上，它們的質心是三角形的幾何中心。您可以透過多種不同的方式計算質心的位置，並且每種方法都給出相同的結果。您可以找到與所有三個球等距的點。或者您可以將其中兩個球替換為一個位於它們之間一半位置的兩公斤重的球，然後計算該球和第三個球的質心（沿著到第三個球的線的點三分之一）。結果將是相同的。這個幾何事實延續到系統的動力學中：孤立系統的質心永遠不會加速。
然而，在彎曲的表面上，不同的計算可能不會給出相同的結果。考慮一個由新加坡、達喀爾和塔希提島（都在赤道附近）的三個等質量球形成的三角形。與三個球等距的點靠近北極。但是，如果您用位於新加坡和達喀爾之間的更重的球替換這些球，然後計算沿著從該球到塔希提島的那個球的大圓三分之一的位置，您的答案將位於靠近赤道的位置。因此，彎曲表面上的“質心”是模糊的。這個幾何事實確保了彎曲空間中的系統即使與任何外部影響隔離也可以移動。
還會出現其他微妙之處。一個標準的物理作業涉及將作用在物體上的力相加，以確定合力。物理專業的學生將力表示為向量，向量被繪製為箭頭。要新增兩個向量，他們滑動箭頭，使一個箭頭的底座與另一個箭頭的尖端相遇。在彎曲空間中，此過程存在缺陷：當您在一個閉合路徑周圍滑動向量時，向量的方向可能會改變。因此，在彎曲空間中計算物體上的總力的過程要複雜得多，並且可能導致諸如游泳之類的怪事。
牛頓引力中的某些效應乍一看可能類似於時空游泳。例如，繞地球軌道執行的宇航員可以透過在不同階段伸展身體和蜷縮成一團來改變他的軌道。但是這些牛頓效應與時空游泳不同——它們的發生是因為引力場因地而異。宇航員必須像鞦韆上的人一樣定時進行他的動作才能蕩得更快。他不能透過快速重複非常小的運動來改變他的牛頓軌道，但他可以以這種方式在彎曲的時空中游泳。
時空游泳的可能性在近 90 年裡一直未被注意到，這提醒我們，愛因斯坦的理論仍然沒有被完全理解。雖然我們不太可能很快建造出游泳火箭，但同樣在麻省理工學院的諾貝爾獎得主物理學家弗蘭克·維爾切克認為，威斯多姆的工作引發了關於空間和時間本質的深刻問題。
特別是，威斯多姆的發現關係到關於空間本身是否是一個物質物件（一種被稱為實體主義的立場）或者僅僅是一種方便的概念工具來表達物體之間的關係（一種被稱為關係主義的立場）的古老問題[參見喬治·穆瑟的“物理學核心的漏洞”；《大眾科學》，2002 年 9 月]。
為了說明這些觀點，想象一下埃弗拉德先生漂浮在一個原本空曠的宇宙中。他將沒有任何恆星或星系作為參考點來判斷他的運動。物理學家和哲學家恩斯特·馬赫是一位關係主義者，他在 1893 年認為，在這種情況下，運動將毫無意義。然而，即使是完全空曠的空間也可能是彎曲的，在這種情況下，埃弗拉德先生可以在其中游泳。因此，時空似乎充當了一種虛擬流體，可以根據它來定義孤立物體的運動。即使是完全空曠的空間也具有特定的幾何結構——這是支援實體主義的另一個論點。然而，與此同時，物質（或任何其他形式的能量）賦予時空其幾何結構，因此時空並非獨立於其內容——這是支援關係主義的論點。這場爭論在試圖發展物理學統一理論的嘗試中出現，但仍然懸而未決。
在時間之翼上
埃弗拉德先生因努力游回他的宇宙飛船而感到疲憊，正在船艙內休息，讓自動駕駛儀規劃返回家園的航線。突然，警報響起，紅燈開始閃爍，表明宇宙飛船正在墜落到一個巨大的行星上。埃弗拉德先生對這個新的有趣發現的機會感到高興，但登陸這個行星將是一個挑戰。飛船的燃料太少，無法進行動力下降，而且行星沒有大氣層，使得降落傘毫無用處。
幸運的是，他記得我的同事、巴西坎皮納斯州立大學的數學物理學家裡卡多·A·莫斯納和我撰寫的 2007 年論文。受到威斯多姆例子的啟發，我們提出了另一種利用廣義相對論來控制運動的方法。我們的分析表明，一個物體可以透過重複不對稱地伸展和收縮來減緩其向行星等方向下降的速度——這意味著伸展運動比收縮運動更快。配備以這種方式運動的裝置的飛船即使在沒有空氣的情況下也可以像滑翔機一樣飛行。
在這種情況下，效果與運動的時間而非空間特性有關，這揭示了愛因斯坦理論最深刻的方面之一：空間和時間之間的聯絡。在牛頓力學中，物理學家可以使用三個座標來指定事件的位置，用於空間位置，一個座標用於時間，但空間和時間的概念仍然是不同的。在狹義相對論中，它們密不可分地交織在一起。速度不同的兩位觀察者可能對他們對兩個事件之間距離或時間間隔的測量結果意見不一致，但他們對空間和時間的某種混合物達成一致。因此，觀察者分別看待時間和空間的方式不同——但看到的是相同的時空。
在廣義相對論中，時空的結構變得扭曲（即彎曲），產生了我們感知為引力的力。牛頓引力只涉及空間，而相對論引力也涉及時間。空間和時間的這種扭曲導致了諸如稱為框架拖曳的效應：一個旋轉的物體（例如地球）會對附近的物體（例如軌道衛星）施加一個沿其旋轉方向的輕微力。粗略地說，旋轉的地球略微拖曳了時空本身。更普遍地說，質量運動的速度會影響它產生的引力場。框架拖曳和滑翔機都是這種現象的例子。
游泳效應源於非歐幾里得幾何，而相對論滑翔機是空間和時間不可分割性的結果。其他此類現象可能仍有待在廣義相對論深奧的方程中被認識和理解。埃弗拉德先生和其他追隨者肯定還有更多的冒險在等待著他們。
注意：本文最初印刷時的標題為“彎曲時空中的冒險”。