圓周率 (π) 出現在最不可能的地方。當然，它可以在圓中找到，也可以在擺、彈簧和河流彎道中找到。這個日常數字與先驗的奧秘有關。它啟發了莎士比亞式的思想謎題、烘焙挑戰和甚至是一首原創歌曲。圓周率不斷帶來驚喜——最近一次是在 2024 年 1 月，當時印度科學研究所的物理學家阿爾納布·普里亞·薩哈和阿寧達·辛哈提出了一個全新的公式來計算它，他們後來在《物理評論快報》上發表了這個公式。
薩哈和辛哈不是數學家。他們甚至沒有尋找新的圓周率方程。相反，這兩位弦理論學家正在研究基本力的統一理論，該理論可以調和電磁力、引力以及強核力和弱核力。在弦理論中，宇宙的基本組成部分不是粒子（如電子或光子），而是像吉他的弦一樣振動的細小絲線，這樣做會引起所有可見現象。在他們的工作中，薩哈和辛哈研究了這些弦如何相互作用——並意外地發現了與重要數學量相關的新公式。
幾千年來，人類一直試圖確定圓周率的精確值。考慮到計算圓的周長或面積的實用性，這並不奇怪，而圓周率使之成為可能。甚至古代學者也開發了幾何方法來計算這個值。一個著名的例子是阿基米德，他藉助多邊形估算了圓周率：透過在一個圓內和一個圓外繪製一個n邊形並計算每個多邊形的周長，他能夠縮小圓周率的值。
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一種常見的幾何方法是繪製一個圓的內接和外切多邊形，然後比較兩個周長，以此來確定圓周率。
Fredrik/Leszek Krupinski/維基共享資源
教師經常在學校裡介紹這種方法。但即使您不記得了，您也可能可以想象到這個過程非常複雜。阿基米德甚至比較了具有 96 個頂點的多邊形的周長，以證明圓周率介於 3.1408 和 3.1429 之間。因此，這種方法實際上並不適用於精確計算圓周率。
確定圓周率的無窮級數
在 15 世紀，專家們發現了無窮級數，作為表達圓周率的新方法。透過將它們的數字逐個相加，可以獲得圓周率的值。您檢視的被加數越多，結果就越準確。
例如，印度學者馬達瓦（生活於 1350 年至 1425 年）發現圓周率等於4 乘以一個級數，該級數以 1 開頭，然後交替減去或加上分數，其中 1 位於連續更高的奇數之上（因此為 1/3、1/5 等）。一種表達方式是
這個公式使得以非常簡單的方式儘可能精確地確定圓周率成為可能。您不必成為數學大師也能解出這個方程。但您確實需要耐心。獲得準確的結果需要很長時間。即使您評估 100 個被加數，您仍然會離目標很遠。
正如薩哈和辛哈在 600 多年後發現的那樣，馬達瓦的公式只是一個更通用的圓周率計算公式的特例。在他們的工作中，弦理論學家發現了以下公式
這個公式產生一個無限長的和。引人注目的是它取決於因子 λ，這是一個可自由選擇的引數。無論 λ 取何值，該公式始終會得出圓周率。並且由於有無限多的數字可以對應於 λ，薩哈和辛哈發現了無限多個圓周率公式。
如果 λ 無限大，則該方程對應於馬達瓦公式。也就是說，因為 λ 始終只出現在分母的分數中，所以 λ = ∞ 的相應分數變為零（因為分母大的分數非常小）。對於 λ = ∞，薩哈和辛哈的方程因此採用以下形式
方程的第一部分已經類似於馬達瓦公式：您對分母為奇數的分數求和。然而，和的最後一部分 (–n)n – 1不太熟悉。下標n – 1 是所謂的波赫哈默符號。一般來說，表示式 (a)n 對應於乘積a x(a + 1) x (a + 2) x ... x (a + n – 1)。例如，(5)3 = 5 x 6 x 7 = 210。因此，上述公式中的波赫哈默符號得出：(–n)n – 1 = (–n) x (–n + 1) x (–n + 2) x ... x (–n + n – 3) x (–n + n – 2)。
簡化為馬達瓦公式的幾個步驟
所有這些元素乍一看都很複雜，但它們可以很快簡化。首先，從每個因子中減去 -1。因此，如果n是奇數，則巨大乘積前面的符號為 -1，如果n是偶數，則為 +1，因此您得到 (–n)n – 1 = (–1)n x n x (n – 1) x (n – 2) x ... x (n – n + 3) x (n – n + 2)。最後一個因子可以進一步簡化：(–n)n – 1 = (–1)n x n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 3 x 2 x 1。
這個拉長的表示式實際上是 (–n)n – 1 = (–1)nx n!，結果如下。*
這對應於馬達瓦公式。因此，薩哈和辛哈發現的方程也包含馬達瓦發現的級數。
正如兩位弦理論學家報告的那樣，對於較小的 λ 值，圓周率的計算速度要快得多。雖然馬達瓦的結果需要 100 項才能達到圓周率的 0.01 範圍內，但薩哈和辛哈的 λ = 3 公式僅需要前四個被加數。“雖然 [馬達瓦的] 級數需要 50 億項才能收斂到小數點後 10 位，但 λ 在 10 [到] 100 之間的新表示形式需要 30 項，”作者在他們的論文中寫道。 薩哈和辛哈沒有找到計算圓周率的最有效方法。幾十年來，人們已經知道其他一些級數可以更快地提供令人驚訝的精確值。在這種情況下真正令人驚訝的是，物理學家在他們的論文旨在描述弦的相互作用時，提出了一個新的圓周率公式。他們開發了一種方法來指示兩個閉弦相互作用的機率——許多弦理論學家幾十年來一直在尋求但未成功的方法。
當薩哈和辛哈仔細研究由此產生的方程時，他們意識到他們可以用這種方式表達圓周率，以及 zeta 函式，zeta 函式是黎曼猜想的核心，黎曼猜想是數學中最偉大的未解之謎之一。鑑於弦理論學家的興趣，他們關於圓周率和 zeta 函式的公式僅裝飾了他們論文的最後一段。“當然，我們的動機不是找到圓周率的公式，”辛哈在 Numberphile 的 YouTube 影片中說。“圓周率只是副產品。”
本文最初發表在《光譜》雜誌上，經許可轉載。
*編者注（2024 年 9 月 4 日）：這句話在釋出後進行了編輯，以更正最初遺漏階乘符號的方程。