圖片：塞繆爾·P·弗格森，密歇根大學 橙子和炮彈。這種排列方式，被稱為面心立方堆積，長期以來被認為是將最多數量的球體塞進最小空間體積的方法。但數學家一直未能證明這一點——直到現在 |
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現在，這是一個經典的故事。一位天才提出斷言；科學家們花費多年時間試圖證實它。1611年，天文學家約翰內斯·開普勒寫下了他認為是不證自明的事實：球體最密集的排列方式是面心立方堆積。換句話說，為了在最小的空間內放置最多的球體，就像雜貨商堆放橙子一樣：製作層，其中每個橙子接觸其他六個橙子，並將這些層堆疊起來，使上一層的橙子嵌入到下面層橙子之間的空隙中。
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表面上看，開普勒猜想——也稱為球體堆積問題——似乎比其他傳奇難題更容易證明，例如皮埃爾·德·費馬著名的最後定理，後者在他1665年去世前不久潦草寫下。但證明它花費了更長的時間。現在，在普林斯頓數學家安德魯·懷爾斯最終解決了費馬難題三年後，開普勒的難題也可能得到解決。
圖片：埃裡克·韋斯坦因，弗吉尼亞大學 約翰內斯·開普勒。他對球體堆積的猜想在近400年的時間裡都未被數學證明。 |
八月份，密歇根大學的托馬斯·C·黑爾斯透過電子郵件宣佈他找到了解決方案。黑爾斯的說法並非首例。1993年，加州大學伯克利分校的項武義發表了開普勒猜想的證明，但他的論點經不起推敲。黑爾斯的工作雖然尚未提交給學術期刊或經過徹底審查，但令許多數學家感到興奮，因為大部分證明都基於黑爾斯和其他人多年來發表的紮實工作。
事實上，許多數學家都思考過球體堆積問題。最早思考這個問題的人之一可能是托馬斯·哈里奧特，他首先引起了開普勒對這個問題的注意。作為探險家沃爾特·雷利爵士的數學助手，哈里奧特被指派開發用於計算堆疊炮彈的公式——這讓他開始思考哪種排列方式會佔用最少的空間。
1900年，在巴黎舉行的國際數學家大會上，大衛·希爾伯特向他的同行提出了一系列未解決的問題，這個問題引起了特別的關注。希爾伯特第18個問題是：“如何在空間中以最密集的方式排列無限個給定形狀的相等固體，例如，給定半徑的球體……；也就是說，如何將它們組合在一起，使填充空間與未填充空間的比例儘可能大？”
圖片：克拉克大學 大衛·希爾伯特。他在1900年挑戰他的同事為開普勒的想法提供證明。 |
幾位20世紀的數學家接受了這一挑戰，併為填充空間與未填充空間的比例設定了上限。但他們無法證明它能像面心立方堆積的比率那樣低，約為74%。值得注意的是，1958年，伯明翰大學的C.A.羅傑斯表明，任何球體堆積的密度都不可能大於約0.7796。也就是說，給定任何填充球體的體積，其中最多隻有78%可以包含實心球體；其餘體積由它們之間的空間組成。但是，正如羅傑斯所寫，“許多數學家相信，所有物理學家都知道，密度不可能超過0.7404。”
對黑爾斯努力的最大推動可能發生在1953年，當時匈牙利數學家L.費耶斯·托特證明，該證明可以簡化為有限的——儘管極其複雜的——計算。這個結果，像羅傑斯的結果一樣，沒有提供即時的滿足感，但托特預測，計算能力的提高將很快使必要的計算觸手可及。
蠻力計算正是黑爾斯獲得成功的關鍵。簡而言之，他的方法可以表示為大約150個變數的非線性函式的最大化——這不是一項簡單的任務。他將攻擊分為五個步驟：第一步在1994年解決，第二步在一年後解決。兩年前，黑爾斯在第三步和第四步中取得了部分成果。最後的第五步最近作為他的學生塞繆爾·P·弗格森撰寫的博士論文的一部分完成。整個論證超過250頁。
那麼，如果黑爾斯的證明經受住學術審查會發生什麼：他僅僅證明了一些雜貨商和炮手多年來都知道的事情嗎？事實上，結果將具有重要的意義。球體堆積問題在擴充套件到其他維度時有許多應用。例如，二維圓的堆積——被稱為親吻數問題——由R.霍普在1874年解決。在三維中，密集排列的球體可以作為液體和固體中原子相互作用的有用模型，例如晶體材料。在無限維度中，球體堆積等同於設計高效的數字編碼訊息。
就像費馬一樣，開普勒也不知道他開啟了什麼。