數學通常是關於揭示模式的。例如，某些拓撲學領域圍繞著對結或幾何形狀進行分類，而數論則探索諸如素數分佈等屬性。如果我們把自己限制在稍微簡單的關係上，我們可以觀察到數字 5 和 6 的一個模式，這個模式在幾千年前就被巴比倫人認識到了：5 的平方是 25，以 5 結尾；25 的平方是 625，以 25 結尾；而 625 的平方是 390,625，以 625 結尾。這看起來像是一個有趣的噱頭，由數學家莫里斯·克萊奇克在 1942 年推廣開來，卻引出了數學中最重要的數系之一——也是最奇怪的數系之一。
如果你用數字 6 玩一下，結果沒有那麼令人印象深刻，但在這裡，也出現了一種模式：6 的平方得到 36；36 的平方得到 1,296。雖然 36 不再出現在數字序列中，但結果總是以 6 結尾。一般來說，平方以與數字本身相同的數字或數字結尾的數字被稱為自守數。這樣的數字有無窮多個：0、1、5、6、25、76、376，等等。事實證明，除了 0 和 1 之外，所有自守數都以 5 或 6 結尾。
然而，數字 5 特別令人興奮。它不僅是自守數，而且它的平方和平方的平方也是自守數。這自然而然地引出了一個問題，即這個自守數序列是否會無限延續下去。換句話說，5 的重複平方是否總是產生一個自守數？
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事實證明，情況並非如此
來源：Spektrum der Wissenschaft, Amanda Montañez 設計
因此，這種模式似乎在第三次平方後崩潰了：390,6252 的結果是 152,587,890,625。因此，390,625 不可能是自守數，因為該數字沒有完全包含在其平方中。
但是如果你仔細觀察，你可以看到至少最後五位數字出現在平方數中，即 90,625。如果你對這個數字進行平方，你會得到：8,212,890,625。因此，90,625 是一個自守數！
這意味著你可以繼續下去，計算 8,212,890,625 的平方。結果非常龐大，但事實證明，8,212,890,625 也是自守數，因為它的平方是 67,451,572,418,212,890,625。
你可以繼續這個過程：連續平方所有的數字，如果它們不是自守數，則繼續使用重複的最後幾位數字進行計算。這會得到以下數字序列：
5
25
625
90,625
8,212,890,625
18,212,890,625
918,212,890,625
正如你所看到的，這會產生一個越來越大的自守數。事實上，這個過程可以無限地繼續下去——最終，結果是一個無限大的數字，它是完全自守的（也就是說，一個無限大的數字，它的平方等於它自身：n2 = n）。即使你無法寫下那個無限大的數字，它的最後幾位數字也是已知的：...918,212,890,625。
在無窮大中存在這樣一個“不動點”本身就令人驚訝。至少這個數字的最後幾位數字可以被精確地指定，這更加令人驚訝。
這個過程可以無限次地繼續下去，這並非顯而易見的。畢竟，在某個時候你可能會遇到一個不再是自守數的數字。而且無論如何——像 ...67,451,572,418,212,890,625 這樣的無限數應該代表什麼？它與 ...11111111111 這樣的值有什麼不同？畢竟，這兩個數字都是無限的。
一個新的數系誕生了
在 19 世紀後期，數學家庫爾特·亨澤爾發展了所謂的 p-adic 數的概念。這些數字在小數點前有無限多位數字——這與普通實數相反，普通實數在小數點後無限延續，例如 π = 3.14159.... 即使這乍一聽起來非常不尋常，你也可以像普通實數一樣對 p-adic 數進行計算。
為了理解這一點，考慮一下實數的一種不尋常的表示方法。每個實數也可以表示為一個無窮級數。例如，π = 3 x 100 + 1 x 10-1 + 4 x 10-2 + 1 x 10-3 + 5 x 10-4 + 9 x 10-5 + ...
p-adic 數也可以表示為無窮級數，但具有正指數。所以 ...890625 = 5 x 100 + 2 x 101 + 6 x 102 + 0 x 103 + 9 x 104 + 8 x 105 + .... 這樣一來，你就更清楚如何用這些奇怪的數字進行計算了。例如，...111111 + ...22222 = ...33333。p-adic 數也可以進行除法和乘法運算。
然而，最後兩個運算可能會導致自守數（如 ...890,625）出現問題。正如已經提到的，這個數字等於它的平方，所以適用以下等式：n2 = n。
如果你轉換這個二次方程，結果是：n2 – n = n x (n – 1) = 0。如果兩個因子（這裡是 n 和 n – 1）的乘積結果為 0，那麼至少其中一個因子必須為 0。然而，只有當 n = 0 或 n = 1 時，情況才是這樣。對於 p-adic 數，n 也可以具有 0 或 1 以外的值，例如 ...890,625，並且仍然滿足上述等式。這意味著，對於 p-adic 數，兩個都不等於 0 的數字的乘積仍然可能得到 0。
除以零
即使在簡單的計算中，這種“零因子”也會造成問題。突然之間，你在除法時必須格外小心，以避免意外地將一個數字除以 0。這可以在以下示例中看到：假設 a 和 b 是不等於 0 的 p-adic 數，並且 a x b = 0。如果你想求解方程 2⁄a = b x (1 + x) 中的 x，你通常會首先將方程的兩邊都除以 b。然而，由於 a 和 b 的乘積是 0，你會將左側項除以 0。因此，該方程無法以這種方式求解。
事實證明，可以避免這種有問題的零因子。如果您想知道數系的名稱，p 代表素數。然而，我介紹的 p-adic 數實際上是“10-adic”數，它們是以 10 為基數定義的。由於 10 不是素數，因此會出現這種令人不快的零因子。但是，如果您檢視例如 3-adic 數，它由 x0 x 30 + x1 x 31 + x2 x 32 + x3 x 33 + x4 x 34 + x5 x 35 + ... 形式的和表示（其中係數 xi = 0、1 或 2），您將找不到任何零因子。因此，p 真的是素數的 p-adic 數不包含除 ...00000 和 ...00001 (0 和 1) 之外的任何滿足 n2 = n 的完全自守值。
雖然 p-adic 數乍一看似乎極其複雜，但它們被廣泛使用。事實上，數論學家在他們的大部分工作中都使用這些奇怪的值。數學家彼得·舒爾茨告訴Quanta雜誌，p-adic 數“與我們的日常直覺相去甚遠”。“現在我發現實數比 p-adic 數更令人困惑。我已經非常習慣它們了，以至於現在實數感覺非常奇怪。”
本文最初發表於《Spektrum der Wissenschaft》，經許可轉載。