簡單的公式讓素數變得容易，但百萬美元的謎題仍然存在

你想成為百萬富翁嗎？實現這個夢想有幾種方法。二十年來，美國版的《誰想成為百萬富翁？》承諾，如果你能正確回答 15 個具有挑戰性的問題，就能獲得一百萬美元的獎金。今天，你只需回答一個問題就可以贏得該獎項：素數在數軸上是如何分佈的？ 這樣做，你將解決所謂的黎曼猜想，七個“千禧年難題”之一，其解決方案各獎勵 100 萬美元。

事實上，黎曼猜想並非唯一與素數相關的重要數學問題。 例如，哥德巴赫猜想指出，任何大於 2 的偶數都可以表示為兩個素數之和（4 = 2 + 2，6 = 3 + 3，8 = 3 + 5，依此類推）。 解決這個猜想不會獲得一百萬美元或歐元的獎勵，但會在數學界獲得名譽和榮譽。 關於素數的謎題仍然存在如此之多，這似乎令人驚訝——畢竟，存在幾種計算素數的公式。

其中一個“素數生成器”是 C. P. Willans 的第 n 個素數公式。 這個函式 p(n) 為任何 n 值吐出第 n 個素數。 例如，對於 n = 5，此公式返回 p(5) = 11，因為 11 是第五個素數。

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該公式應該能夠解決所有關於素數的謎團，對吧？ 並非完全如此。

Willans 公式背後的想法是首先找到一個檢測素數的函式——我們將其稱為函式 f(x)。 如果檢測器工作正常，則該函式每次檢測到素數時都會給出 1（每當您輸入等於素數值的數字或方程時）。 否則，該函式將給出 0，這意味著未檢測到素數。

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一旦你有了這個素數檢測函式，你就可以將其轉換為素數生成器。

從檢測器構建生成器

假設您找到了素數檢測器函式 f(x)。 藉助它，您可以推斷給定區間內素數的數量。 例如，如果您將值 f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(10) 相加，結果將是 0 到 10 之間所有素數的數量——即 4。 （如果您好奇，該區間內的素數是 2、3、5 和 7）。

您可以仔細檢視 f 上的各個被加數

f(1) = 0,
f(1) + f(2) = 1,
f(1) + f(2) + f(3) = 2,
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2,
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 3,
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 3,
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 4...

這裡已經有一個模式。 如果你想確定第四個素數，例如，你必須找到最小的數 x，使得和 f(1) + f(2) + ... + f(x) = 4。 在上面的例子中，x = 7。

這個原理可以推廣。 第 n 個素數是最小的自然數 x，使得 f(1) + f(2) + ... + f(x) = n。 所有這些意味著，如果您可以使用一個函式來表達這個過程，該函式將提供搜尋到的值 x，您將建立一個素數生成器。

讓我們一起做。 首先，引入另一個輔助函式 g(x) 對應於和 f(1) + ... + f(x) 是有幫助的。 因此

g(1) = f(1) = 0,
g(2) = f(1) + f(2) = 1,
g(3) = f(1) + f(2) + f(3) = 2,
g(4) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2,
g(5) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 3,
g(6) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 3,
g(7) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 4 ...

因此，回到搜尋第四個（或更一般地說是第 n 個）素數，您將不得不計算有多少個 x 值使得 g(x) 小於 4（或 n）。 這樣，您將獲得您正在尋找的第四個（或第 n 個）素數的值。

事實上，有一個函式可以做到這一點。 不要驚慌——它看起來很複雜，但實際上是無害的

讓我們稍微分解一下。 方括號 ⌊ 和 ⌋ 表示您應該向下舍入括號內的值。 因此，例如，⌊ 1.7 ⌋ = 1 且 ⌊ 1.12111167545 ⌋ = 1。

在這種情況下，方括號內的項似乎有點複雜。 為了更好地理解它，請檢視相應的圖表，該圖表繪製了該項，假設 i 的值為固定值，在本例中為 4，變數為 n

您現在可以看到，無論 n 有多大或多小，方括號內的項

取值在 0 和 1 或 1 和 2 之間。 因此，使用周圍的方括號，表示式返回 0 或 1。

事實上，只要 g(i) 小於 n，結果始終為 1。 另一方面，一旦 g(i) 等於 n 或超過 n，結果將為 0。 外部總和僅用於累加貢獻。

因此，如果您評估 n = 4 的公式以獲得第四個素數，則會出現以下情況

這不僅適用於 n = 4，而且適用於任何 n。 透過使用這個公式，您始終可以得到第 n 個素數。

但到目前為止，我隱瞞了一條資訊。 我們假設存在一個素數檢測器 f——但我沒有告訴你該函式是什麼樣的，或者它是如何工作的。

這是重大揭示。 它乍一看似乎也很令人生畏，但並沒有那麼複雜

我們已經瞭解了方括號。 因為平方餘弦僅返回 0 到 1 之間的值，這保證了 f(x) 只能是 0 或 1——這正是我們在檢測器函式中想要的。 但是，對於哪些 x 值，f(x) = 0，對於哪些值，該函式等於 1？

要回答這個問題，必須考慮餘弦函式的自變數：π x [(x-1)! + 1]⁄x。 感嘆號表示一種稱為階乘的算術運算，它將所有自然數乘以階乘之前的數字。 也就是說，5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120。

現在，如果您為 x 插入不同的值並評估分數 π x [(x-1)! + 1]⁄x，您將得到以下結果

注意到模式了嗎？ 如果 x 是素數，則結果是 π 的整數倍； 否則就不是。 這對於所有 x 值都成立。

事實證明，這在歷史上已被多次證明。 雖然它被稱為威爾遜定理——以數學家約翰·威爾遜的名字命名，他在 18 世紀提出了這種聯絡作為猜想——但它也由約瑟夫-路易斯·拉格朗日在 1771 年證明。 但他遠非第一個證明它的人。 事實上，阿拉伯學者阿布·阿里·哈桑·伊本·海賽姆在公元 1000 年左右提出了相應的猜想。

百萬美元仍然無人認領

威爾遜定理可用於構建檢測器：π 的整數倍的餘弦始終產生 1 或 -1，而另一方面，餘弦函式的所有其他自變數都產生小於 1 的結果。 這就完成了素數檢測器。 透過舍入平方餘弦函式（透過方括號），如果 x 是素數，f(x) 返回值 1，否則返回 0，這正是我們想要的。

透過將迄今為止獲得的所有資訊放在一起，可以給出一個計算素數的實用公式

請隨意自己嘗試。 如果你想計算第五個素數，你所要做的就是將 n = 5 代入公式，你將得到正確的結果 11。

事實上，這個方程早在 1964 年就由一位名叫 C. P. Willans 的人發表了。 關於 Willans 恆等式的詳細資訊仍然未知。 他沒有撰寫其他技術文章。 但我們可以假設 Willans 沒有透過這個公式成為百萬富翁。 不僅千禧年大獎當時還不存在，而且他的公式也無法回答任何與素數相關的主要數學問題。

如果您嘗試使用該方程，您可能已經注意到該方程的主要問題。 這些計算非常複雜。 即使是計算機也難以評估該公式，特別是對於較大的 n 值。 除此之外，階乘是問題的一部分：這些值很快變得非常大，並且計算需要大量的計算能力。

如果你想計算巨大的素數，你將使世界上每臺超級計算機都負擔過重。 因此，要成為百萬富翁，你需要找到另一條道路。 也許是時候參加遊戲節目了。

本文最初發表於Spektrum der Wissenschaft 並經許可轉載。