在一個陽光明媚的春日，我們中的一人（Dixon）在倫敦地鐵的 Mile End 站進入地鐵，前往希思羅機場。他隨意地看著一位陌生人，這是倫敦地鐵每天三百多萬乘客中的一員，他隨意地想：這位陌生人會在比如溫布林登站出站的機率是多少？考慮到這個人可以走任意數量的路線，你又該如何計算出來呢？當他思考這個問題時，他意識到這個問題與粒子物理學家在現代實驗中預測粒子碰撞時面臨的棘手問題非常相似。
位於日內瓦附近歐洲核子研究中心 (CERN) 的大型強子對撞機 (LHC) 是我們這個時代最重要的發現機器，它將以接近光速的速度執行的質子撞擊在一起，以研究碰撞產生的碎片。建造對撞機及其探測器將技術推向了極限。解讀探測器看到的東西同樣是一項巨大的挑戰，儘管它不太顯眼。乍一看，這似乎相當奇怪。《基本粒子標準模型》已經確立，理論家們經常應用它來預測實驗結果。為了做到這一點，我們依賴於著名物理學家理查德·費曼在 60 多年前開發的一種計算技術。每位粒子物理學家都在研究生院學習費曼的技術。每一本關於公眾粒子物理學的書籍和雜誌文章都基於費曼的概念。
然而，他的技術對於最先進的問題來說已經過時了。它提供了一種直觀的近似方法來掌握最簡單的過程，但對於更復雜的過程或高精度計算來說，它卻非常費力。預測粒子碰撞會產生什麼結果甚至比預測地鐵乘客會去哪裡更令人望而生畏。世界上所有的計算機一起工作都無法確定即使是 LHC 中相當常見的碰撞結果。如果理論家無法對已知的物理定律和已知的物質形式做出精確的預測，那麼當我們看到對撞機發現了真正的新事物時，我們有什麼希望能夠辨別出來呢？就我們所知，LHC 可能已經找到了自然界一些最偉大謎題的答案，而我們仍然一無所知，僅僅是因為我們無法足夠準確地解出標準模型的方程。
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近年來，我們三人和我們的同事開發了一種分析粒子過程的新方法，它繞過了費曼技術的複雜性。這種方法稱為么正性方法，它相當於一種高度經濟的方式來預測地鐵乘客的行為，它認識到乘客在每個決策點的選擇實際上相當有限，並且可以分解為一系列動作的機率。許多粒子物理學中棘手的理論問題已被這個新想法徹底解決。它們的解決方案使我們能夠以前所未有的詳細程度理解我們當前的自然理論的預測，以便我們能夠在看到新發現時認出它。該方法還為標準模型的理想化近親產生了大量成果，標準模型的理想化近親作為通往終極自然理論的墊腳石，引起了物理學家的特殊興趣。
么正性方法不僅僅是一種有用的計算技巧。它暗示了一種關於粒子相互作用理論的激進新願景，這些理論受制於意想不到的對稱性，反映了標準模型中未被充分賞識的優雅性。值得注意的是，它揭示了數十年來努力將量子理論和愛因斯坦的廣義相對論統一為量子引力理論的一個奇怪的轉折。直到 20 世紀 70 年代，物理學家們都認為引力的行為與其他自然力相似，並試圖擴充套件我們現有的理論來涵蓋它。然而，當他們應用費曼的技術時，他們要麼得到荒謬的結果，要麼被數學難題所困擾。引力似乎畢竟不像其他力那樣。物理學家們感到沮喪，轉而尋求更具革命性的想法，例如超對稱性和後來的弦理論。
然而，么正性方法使我們能夠實際進行在 20 世紀 80 年代設想過但當時似乎遙不可及的計算。我們發現一些所謂的矛盾實際上並不存在。引力確實看起來像其他力，儘管方式出乎意料——它的行為就像將核子成分結合在一起的強亞核力的“雙重副本”。強力由稱為膠子的粒子傳遞；引力應該由稱為引力子的粒子傳遞。新的圖景是，每個引力子的行為都像兩個縫合在一起的膠子。這個概念非常奇怪，即使是專家也還沒有對它的含義有一個很好的心象。儘管如此，雙重副本屬性為如何將引力與其他已知力統一起來提供了新的視角。
從樹到灌木叢
費曼技術之所以如此引人注目和有用，是因為它為極其複雜的計算提供了一個精確的圖形化配方。它基於圖表，這些圖表給出了兩個或多個粒子碰撞或相互散射的視覺影像。在每個研究基本粒子物理學的研究機構中，您都可以找到覆蓋著這些圖表的黑板。為了做出定量預測，理論家會繪製一組圖表，每個圖表代表碰撞可能發生的每一種可能的方式；這類似於地鐵乘客可能採取的可能路線之一。理論家遵循費曼及其同事（尤其是弗里曼·戴森）制定的一套詳細說明，然後為每個圖表分配一個數字，給出事件將以這種方式發生的機率。
缺點是人們可以繪製的圖表數量非常龐大——原則上是無限的。在費曼最初開發其規則的應用中，這個缺點無關緊要。他研究的是量子電動力學 (QED)，它描述了電子如何與光子相互作用。相互作用受一個量控制，即耦合，大約等於 1⁄137。耦合的小值確保了複雜圖表在計算中獲得的權重較低，並且通常可以完全忽略。這就像說地鐵乘客通常最好走一條相當簡單的路線。
二十年後，物理學家將費曼的技術擴充套件到強亞核力。透過類比 QED，強力理論被稱為量子色動力學 (QCD)。QCD 也受耦合控制，但正如“強”這個詞所暗示的那樣，它的值高於電磁耦合的值。從表面上看，較大的耦合會增加理論家必須在其計算中包含的複雜圖表的數量——就像一個願意走非常迂迴路線的地鐵乘客，使得很難預測他或她會做什麼。幸運的是，在非常短的距離內，包括與 LHC 碰撞相關的距離，耦合值會減小，並且對於最簡單的碰撞，理論家可以再次只考慮不復雜的費曼圖。
然而，對於混亂的碰撞，費曼技術的全部複雜性會湧入。費曼圖按外部線和閉合環線的數量進行分類[參見左側的框]。環線代表量子理論的典型特徵之一：虛粒子。儘管虛粒子無法直接觀察到，但它們對力的強度具有可測量的影響。它們遵守所有常見的自然規律，例如能量守恆和動量守恆，但有一個例外：它們的質量可能與相應的“真實”（即可直接觀察到的）粒子的質量不同。環線代表了它們短暫的生命週期：它們突然出現，移動一小段距離，然後再次消失。它們的質量決定了它們的預期壽命：質量越大，壽命越短。
最簡單的費曼圖忽略了虛粒子；它們沒有閉合環線，被稱為樹圖。在量子電動力學中，最簡單的圖顯示了兩個電子透過交換光子而相互排斥。越來越複雜的圖表逐個新增環線。物理學家將這種加法程式稱為“微擾”，這意味著我們從一些近似估計（由樹圖表示）開始，並透過新增改進（環線）逐漸擾動它。例如，當光子在兩個電子之間傳播時，它可以自發地分裂成一個虛電子和一個虛反電子，它們存活一小段時間後相互湮滅，產生一個光子。光子恢復了原始光子一直在走的旅程。在下一個複雜性級別中，電子和反電子本身可能會暫時分裂。隨著虛粒子數量的增加，圖表以越來越高的精度描述了量子效應。
即使是樹圖也可能具有挑戰性。在 QCD 的情況下，如果您足夠勇敢地考慮涉及兩個入射膠子和八個出射膠子的碰撞，您將需要寫下 1000 萬個樹圖並計算每個圖的機率。在 20 世紀 80 年代由荷蘭萊頓大學的弗裡茨·貝倫德斯和現在在費米實驗室的沃爾特·吉勒開創的稱為遞迴的方法，馴服了樹圖的問題，但對環線沒有明顯的擴充套件。更糟糕的是，閉合環線使工作量不堪重負。即使是單個環線也會導致圖表的數量和每個圖表的複雜性呈指數級增長。數學公式可能會填滿百科全書。蠻力——利用越來越多的計算機的力量——可以在一段時間內對抗複雜性的浪潮，但很快就會屈服於越來越多的外部粒子或環線。
更糟糕的是，最初作為視覺化微觀世界的具體方法可能會將其掩蓋在晦澀之中。單個費曼圖通常是難以理解的巴洛克式的，當我們必須處理如此多的圖表時，我們就會忽略了基本的物理原理。令人震驚的是，透過將所有圖表相加得到的最終結果可能非常簡單。不同的圖表部分地相互抵消，有時數百萬項的公式會簡化為一個項。這些抵消表明圖表是錯誤的工作工具——就像試圖用羽毛敲釘子一樣。一定有更好的方法。
超越費曼圖
多年來，物理學家嘗試了許多新的計算技術，每種技術都比前一種略好，並且逐漸形成了費曼圖替代方案的輪廓。我們自己的參與始於 20 世紀 90 年代初，當時我們中的兩人（伯恩和科索沃）展示了弦理論如何透過用單個公式概括所有相關的費曼圖來簡化 QCD 計算。利用這個公式，我們三人分析了一個以前從未被詳細理解的粒子反應：兩個膠子散射成三個膠子，帶有一個虛粒子環線。按照當時的標準，這個過程非常複雜，但可以用一個非常簡單的公式完全描述，這個公式可以放在一頁紙上。
這個公式非常簡單，因此，與當時在加州大學洛杉磯分校的大衛·鄧巴一起，我們發現我們可以幾乎完全根據稱為么正性的原理來理解散射。么正性是所有可能結果的機率加起來必須為 100% 的要求。（從技術上講，這些量不是機率，而是機率的平方根，但這種區別在這裡並不那麼重要。）么正性隱含在費曼的技術中，但往往被計算的複雜性所掩蓋。因此，我們開發了一種替代技術，將么正性置於首位和中心。基於么正性進行計算的想法在 20 世紀 60 年代就已出現[參見傑弗裡·F·周、默裡·蓋爾曼和阿瑟·H·羅森菲爾德的《強相互作用粒子》；大眾科學，1964 年 2 月]，儘管它後來失寵了。正如在科學中反覆發生的那樣，被拋棄的想法可能會以新的面貌捲土重來。
么正性方法成功的關鍵在於它避免了直接使用虛粒子，而虛粒子是費曼圖變得如此複雜的主要原因。虛粒子既有真實的影響，也有虛假的影響。根據定義，後者必須從最終結果中抵消掉，因此它們是物理學家很樂意拋棄的過剩數學包袱。
可以透過類比像倫敦地鐵這樣的複雜地鐵系統來理解該方法，該系統在任意兩個地鐵站之間都有多條路徑。假設我們想知道一個人從 Mile End 進入地鐵後在溫布林登出站的機率。費曼技術將所有可能的路徑的機率相加。所有真正意味著所有：除了透過走廊和隧道的路徑外，費曼圖還包括穿過沒有地鐵線路或人行道的固體岩石的路徑。這些不切實際的路徑是虛粒子環線產生的虛假貢獻的類似物。它們最終會抵消掉，但在計算的中間階段，我們需要跟蹤所有這些路徑。在么正性方法中，我們只考慮有意義的路徑。我們透過細分問題來計算一個人採取特定路線的機率：在旅程的每一步，一個人透過特定旋轉柵門、一條路徑或另一條路徑的機率是多少？此過程大大減少了計算量。
費曼方法和么正性方法之間的選擇不是對與錯的問題。兩者都表達了相同的基本物理原理。兩者最終都會得出相同的數值機率。但它們代表不同的描述級別。在混亂碰撞的數萬個費曼圖中，單個費曼圖就像液滴中的單個分子。原則上，您可以透過跟蹤所有單個分子來確定流體將做什麼，但這僅對微觀小液滴才有意義。這不僅繁瑣，而且不明智。流體可能會順著山坡傾瀉而下，但您幾乎不會從分子描述中知道這一點。您最好考慮更高層次的屬性，例如流體速度、密度和壓力。同樣，物理學家可以從整體上考慮粒子碰撞，而不是將其視為由單個費曼圖逐個構建而成。我們專注於控制整個過程的屬性——么正性，以及么正性方法突出的特殊對稱性。在特殊情況下，我們可以做出完美精確的理論預測，這在使用費曼的技術時需要無限多的圖表和無限的時間。
優勢甚至更進一步。在我們開發了用於虛粒子環線的么正性方法之後，另一個團隊，當時在新澤西州普林斯頓高階研究院——露絲·布里託、弗雷迪·卡查佐、馮波和愛德華·威滕——增加了一個互補的轉折。他們再次考慮樹圖，並根據四個粒子的碰撞機率，然後是一個粒子分裂成兩個粒子的機率，計算了涉及例如五個粒子的碰撞機率。這是一個令人震驚的結論，因為五粒子碰撞通常看起來與這兩個連續碰撞非常不同。在許多方面，我們可以將令人生畏的粒子問題細分為更簡單的部分。
砸碎手錶
LHC 中的質子碰撞非常複雜。費曼本人曾經將它們比作透過將瑞士手錶砸碎在一起來弄清楚它們是如何工作的，而他的技術難以追蹤碰撞過程中發生的事情。質子不是基本粒子，而是由夸克和膠子組成的小球，它們透過強亞核力結合在一起。當它們猛烈撞擊在一起時，夸克可以從夸克上反彈，夸克可以從膠子上反彈，膠子可以從膠子上反彈。夸克和膠子可以分裂成更多的夸克和膠子。它們最終聚整合複合粒子，這些複合粒子以物理學家稱為射流的狹窄噴霧形式從對撞機中射出。
埋藏在混亂之中的可能是人類從未見過的東西：新粒子、新對稱性，甚至可能是時空的新維度。但篩選它們將很困難。對於我們的儀器來說，奇異粒子看起來相當像普通粒子。差異很小且容易被遺漏。利用么正性方法，我們可以非常精確地描述普通物理學，以至於非凡物理學將會脫穎而出。
例如，加州大學聖巴巴拉分校的喬·因坎德拉目前是 LHC 中 2000 多名物理學家組成的 CMS 實驗的發言人，他向我們提出了一個關於他的團隊尋找構成宇宙暗物質的奇異粒子的問題，宇宙暗物質是天文學家認為存在但物理學家尚未識別出的神秘物質。LHC 產生的任何此類粒子都將避開 CMS 探測器，給人留下一些能量丟失的印象。不幸的是，明顯的能量損失本身並不意味著 LHC 已經合成了暗物質。例如，LHC 經常產生一種稱為 Z 玻色子的普通粒子，並且五分之一的時間它會衰變成兩個中微子，中微子也相互作用非常微弱，並且在沒有記錄的情況下逃逸探測器。人們如何預測其效應模仿暗粒子的標準模型粒子的數量？
因坎德拉小組提出了一個解決方案：取 CMS 探測器記錄的光子數量，外推到涉及中微子的事件數量，看看它們是否完全解釋了明顯的能量損失。如果不是，則 LHC 可能正在產生暗物質。這個想法體現了實驗物理學家總是不得不做的間接估計，因為他們缺乏直接觀察某些型別粒子的能力。但為了實現這一目標，因坎德拉小組需要精確地知道光子數量與中微子數量之間的關係。除非精度足夠高，否則後門策略將會失敗。我們與幾位同事一起，使用新的理論工具研究了這個問題，並能夠向因坎德拉保證精度足夠高。CMS 團隊放心後，應用了其技術，並對暗物質粒子設定了嚴格的約束。我們的技術證明了它的價值。
這一成功激勵我們推進更雄心勃勃的計算。正如現代粒子物理學中常見的那樣，我們與世界各地的合作者合作，包括委內瑞拉卡拉加斯西蒙·玻利瓦爾大學的費爾南多·費佈雷斯·科德羅、特拉維夫大學和加州大學洛杉磯分校的哈拉爾德·伊塔、英國杜倫大學的丹尼爾·梅特、SLAC 的斯特凡·霍赫和加州大學洛杉磯分校的凱末爾·奧澤倫。我們共同精確預測了 LHC 碰撞產生一對中微子和四個射流的機率。使用費曼圖，即使是大型物理學家團隊在最先進的計算機的幫助下努力工作十年，這些計算也過於龐大。么正性方法讓我們在不到一年的時間內完成了它們。令我們高興的是，另一個 LHC 團隊 ATLAS 合作組織已經將我們的預測與其資料進行了比較，到目前為止，結果非常吻合。展望未來，實驗人員將使用這些結果來尋找新物理學。
么正性方法也幫助了尋找長期以來一直尋求的希格斯粒子。希格斯粒子的一個跡象是產生一個電子、一對射流和一箇中微子，中微子再次給人留下能量丟失的印象。相同的結果也可能來自不涉及希格斯粒子的粒子反應。我們首次使用么正性方法之一是計算這些令人困惑的反應的精確機率。
回到引力
么正性方法更令人印象深刻的用途是研究量子引力。為了讓物理學家發展出完全一致的自然理論，我們必須找到一種將引力納入量子力學框架的方法。如果引力的行為與其他自然力相似，那麼它應該由引力子粒子傳遞。引力子會像其他粒子一樣碰撞和散射，我們可以為它們繪製費曼圖。然而，在 20 世紀 80 年代中期，嘗試透過以最簡單的方式量化愛因斯坦理論來描述引力子散射導致了荒謬的預測，例如應該明顯有限的量的無限值。無限量本身並不是問題。即使在行為良好的理論（如標準模型）中，它們也可能在計算的中間階段出現，但它們應該從任何可能可測量的量中抵消掉。對於引力，似乎沒有出現這種抵消。具體而言，這意味著已故量子引力先驅約翰·惠勒稱為“時空泡沫”的時空量子漲落失控。
一種可能的解釋是自然界包含未被發現的粒子，這些粒子控制著這些量子效應。所謂的超引力理論體現了這一想法，在 20 世紀 70 年代和 80 年代早期對此進行了深入研究[參見丹尼爾·Z·弗裡德曼和彼得·範·尼厄文赫伊曾的《超引力與物理定律的統一》；大眾科學，1978 年 2 月]。但是，當間接論證表明，三個或更多虛粒子環線仍然會出現荒謬的無窮大時，這種興奮感就消退了。超引力似乎註定要失敗。
這種失望導致許多人追求弦理論。弦理論是對標準模型的徹底背離。根據弦理論，夸克、膠子和引力子等粒子不再是微小的點，而是一維弦的振盪。粒子相互作用分散在弦上，而不是集中在單個點上，從而自動防止了無窮大。另一方面，弦理論也遇到了自身的問題；例如，它沒有對可觀察到的現象做出明確的理論預測。
雙重麻煩
在 20 世紀 90 年代中期，劍橋大學的斯蒂芬·霍金主張重新審視超引力理論。他指出，20 世紀 80 年代的研究採取了捷徑，使其結論值得懷疑。但霍金未能說服任何人，因為人們採取這些捷徑是有充分理由的：即使是最聰明的數學天才，也無法完成完整的計算。為了確定費曼圖中包含三個虛引力子環線是否會產生無限量，我們需要評估 1020 項。到五個環線時，一個圖表會產生 1030 項，大約是 LHC 探測器中每個原子的項數。這個問題似乎註定要被扔進無法解決的問題的垃圾箱。
么正性方法徹底改變了這種情況。利用它，我們進行了一項物理學版本的“清白計劃”，並重新審視了針對超引力理論的案例。費曼技術需要 1020 項才能完成的工作，我們現在只需幾十項即可完成。我們與賓夕法尼亞州立大學的拉杜·羅伊班以及當時在加州大學洛杉磯分校的研究生約翰·約瑟夫·卡拉斯科和亨裡克·約翰遜一起發現，20 世紀 80 年代的猜測是錯誤的。似乎註定要無窮大的量實際上是有限的。超引力不像物理學家想象的那麼荒謬。具體而言，這意味著超引力中時空的量子漲落比以前想象的要良性得多。如果您用美酒款待我們，您可能會發現我們在推測它的某個版本可能是長期以來一直尋求的量子引力理論。
更值得注意的是，三個引力子的相互作用就像兩個三相互作用膠子的副本。無論有多少粒子散射或有多少虛粒子環線參與，這種雙重副本屬性似乎都會持續存在。這意味著，比喻來說，引力是強亞核相互作用的平方。我們需要一段時間才能將數學轉化為物理見解，並檢查它在所有條件下是否都成立。目前的關鍵是引力可能與自然界的其他力沒有那麼大的不同。
正如科學中常見的那樣，在每次辯論結束後，另一場辯論就會爆發。在我們完成三個環線的計算後，懷疑論者立即想知道麻煩是否會在四個環線處出現。正如經常發生的那樣，葡萄酒被押注於計算結果：義大利巴羅洛葡萄酒對陣納帕谷霞多麗葡萄酒。當我們進行計算時，我們沒有發現任何困難的跡象，至少解決了這場辯論（並打開了一個巴羅洛葡萄酒瓶塞）。
超引力理論是否完全沒有無窮大？或者它的高度對稱性是否僅僅在少量環線處抑制了它的一些過度之處？在後一種情況下，麻煩應該在五個環線處潛入；到七個環線時，量子效應應該增長到足以產生無窮大。加州大學聖巴巴拉分校的大衛·格羅斯打賭了一瓶加州仙粉黛葡萄酒，如果七環線沒有出現無窮大。為了解決這最新的賭注，我們中的一些人已經開始了新的計算。如果七環線沒有無窮大，將會讓懷疑論者感到震驚，並可能最終說服他們超引力可能是自洽的。即使如此，該理論也沒有捕捉到其他型別的效應，稱為非微擾效應，這些效應太小，以至於在我們一直遵循的逐環方法中看不到。這些效應可能仍然需要更深入的理論來處理，也許是弦理論。
物理學家通常喜歡將新理論視為從新原理的大膽筆觸中湧現出來的——相對論、量子力學、對稱性。但有時這些理論是從對我們已經知道的原理的仔細重新審視中湧現出來的。我們對粒子碰撞理解的悄然革命使我們能夠非常詳細地研究標準模型的推論，從而顯著提高了我們發現超越它的物理學的潛力。更令人驚訝的是，它讓我們遵循了舊物理學中未被探索的含義，包括曾經被忽視的將引力與其他已知力統一起來的道路。在許多方面，理解基本粒子如何散射的秘密之旅根本不像乘坐可預測的倫敦地鐵，而更像是乘坐哈利·波特故事中的騎士公共汽車之旅，你永遠不知道接下來會發生什麼。
本文以“環線、樹和尋找新物理學”為標題印刷出版。