2011年9月一個涼爽的星期五晚上，在伊利諾伊州橡樹公園的朱迪思·L·巴克斯特和她的丈夫，數學家斯蒂芬·D·史密斯的家中，看似無窮無盡的食物鋪滿了數張桌子。開胃小吃、自制肉丸、乳酪拼盤和烤蝦串擠滿了糕點、肉醬、橄欖、蒔蘿鮭魚和茄子包裹的菲達乳酪。甜點選擇包括——但不限於——檸檬馬斯卡彭蛋糕和非洲南瓜蛋糕。夕陽西下，香檳 flowing，大約60位客人，其中一半是數學家，他們吃著、喝著、又吃了一些。
豐盛的食物與慶祝一項巨大成就的派對非常相稱。晚宴上的四位數學家——史密斯、邁克爾·阿施巴赫、理查德·萊昂斯和羅納德·所羅門——剛剛出版了一本書，這本書歷時180多年完成，概述了數學史上最大的分類問題。
他們的專著沒有登上任何暢銷書排行榜，這是可以理解的，因為它的標題是：《有限單群分類》。但對於代數學家來說，這本350頁的鉅著是一個里程碑。它是普遍分類的簡短版本，即速成課程。完整的證明達到了約15000頁——有些人說更接近10000頁——散佈在100多位作者的數百篇期刊文章中。它所支援的論斷被稱為“龐大定理”（Enormous Theorem），這是恰如其分的。（定理本身非常簡單。變得巨大的是證明。）史密斯家中的豐盛食物似乎是慶祝這個龐然大物的合適方式。這個證明是數學史上最大的。
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而現在它正處於危險之中。2011年的著作僅勾勒出了證明的輪廓。實際文件的無與倫比的重量使其處於人類難以管理的邊緣。“我不認為有人讀過所有內容，”66歲的所羅門說，他一生都在研究這個證明。（他兩年前從俄亥俄州立大學退休。）所羅門和在派對上受到表彰的其他三位數學家可能是今天唯一理解該證明的人，他們的年齡增長讓每個人都感到擔憂。史密斯67歲，阿施巴赫71歲，萊昂斯70歲。“我們都老了，我們希望在為時已晚之前把這些想法記錄下來，”史密斯說。“我們可能會死，或者我們可能會退休，或者我們可能會忘記。”
這種損失將是，嗯，巨大的。簡而言之，這項工作為群論帶來了秩序，群論是對稱性的數學研究。反過來，對稱性的研究對於現代粒子物理學等科學領域至關重要。標準模型——奠定所有已知存在和尚未發現的粒子的基石理論——依賴於群論提供的對稱性工具。關於最小尺度對稱性的重要思想幫助物理學家們計算出用於實驗的方程式，這些實驗將揭示奇異的基本粒子，例如構成更常見的質子和中子的夸克。
群論也引導物理學家們得出了一個令人不安的想法，即質量本身——物體中的物質含量，例如這本雜誌、你、你可以握住和看到的一切——是由於對稱性在某種基本層面上被打破而形成的。此外，這個想法為近年來最受矚目的粒子——希格斯玻色子的發現指明瞭方向，只有當對稱性在量子尺度上失效時，希格斯玻色子才可能存在。希格斯玻色子的概念在1960年代從群論中彈出，但直到2012年才在日內瓦附近的歐洲核子研究中心的大型強子對撞機進行的實驗之後才被發現。
對稱性是指某物可以經歷一系列變換——旋轉、摺疊、反射、穿越時間——並且在所有這些變化結束時，看起來仍然不變的概念。它潛伏在宇宙的各個角落，從夸克的配置到宇宙中星系的排列。
“龐大定理”用數學精度證明，任何型別的對稱性都可以分解並根據共同特徵歸為四個家族之一。對於致力於嚴格研究對稱性或群論學家的數學家來說，該定理的成就絲毫不遜色於化學家的元素週期表的廣泛性、重要性和基礎性。未來，它可能引導人們對宇宙的結構和現實的本質做出其他深刻的發現。
當然，除了它是一團糟：證明的方程式、推論和猜想被拋擲在500多篇期刊文章中，有些埋藏在厚厚的卷冊中，充滿了希臘語、拉丁語和其他字元的混合物，這些字元用於數學的密集語言。此外，每個貢獻者都以他或她自己獨特的風格寫作，這更增加了混亂。
這種混亂是一個問題，因為如果沒有證明的每一部分都到位，整體就會搖搖欲墜。為了比較，想象一下吉薩大金字塔的200多萬塊石頭隨意地散落在撒哈拉沙漠中，只有少數人知道它們是如何組合在一起的。如果沒有一個可訪問的“龐大定理”證明，未來的數學家將面臨兩個危險的選擇：要麼簡單地信任證明，而不太瞭解它是如何工作的，要麼重新發明輪子。（沒有數學家會安心地選擇第一個選項，而第二個選項幾乎是不可能的。）
史密斯、所羅門、阿施巴赫和萊昂斯在2011年提出的綱要是使定理對下一代數學家可訪問的雄心勃勃的生存計劃的一部分。“在某種程度上，現在大多數人將該定理視為一個黑匣子，”所羅門感嘆道。該計劃的大部分內容呼籲簡化證明，將定理的所有不同部分結合在一起。該計劃在30多年前構思出來，現在只完成了一半。
如果一個定理很重要，那麼它的證明就更加重要。證明確立了定理的誠實可靠性，並允許一位數學家說服另一位數學家——即使他們相隔大陸或數世紀——一個陳述的真實性。然後，這些陳述孕育出新的猜想和證明，使得數學的協作核心可以追溯到數千年。
英國華威大學的茵娜·卡普德博斯科是少數幾位深入研究該定理的年輕研究人員之一。44歲的她，說話輕聲細語，充滿自信，當她描述真正理解“龐大定理”如何運作的重要性時，她容光煥發。“什麼是分類？給你一個列表意味著什麼？”她沉思道。“我們知道這個列表上的每個物件是什麼嗎？否則，它只是一堆符號。”
現實最深處的秘密
數學家們最早在19世紀90年代就開始夢想著證明，當時一個名為群論的新領域興起。在數學中，“群”一詞指的是一組透過某種數學運算相互連線的物件。如果您將該運算應用於群的任何成員，結果是另一個成員。
對稱性或不改變物體外觀的運動符合這個條件。例如，假設您有一個立方體，每個面都塗上了相同的顏色。將立方體旋轉90度——或180度或270度——立方體看起來會和您開始時完全一樣。將其從上到下翻轉，它看起來仍然不變。離開房間，讓一位朋友旋轉或翻轉立方體——或執行一些旋轉和翻轉的組合——當您返回時，您將不知道他或她做了什麼。總而言之，有24種不同的旋轉可以使立方體看起來不變。這24個旋轉構成一個有限群。
有限單群類似於原子。它們是其他更大事物的基本構建單元。有限單群組合起來形成更大、更復雜的有限群。“龐大定理”組織這些群的方式類似於元素週期表組織元素的方式。它表示，每個有限單群都屬於三個家族之一——或者屬於第四個家族的狂野離群值。這些離群值中最大的一個，被稱為“怪物”（Monster），擁有超過1053個元素，存在於196,883維度中。*（甚至有一個被稱為“怪物學”（monsterology）的整個研究領域，研究人員在數學和科學的其他領域尋找這種怪獸的跡象。）第一個有限單群在1830年被確定，到19世紀90年代，數學家們在新發現這些構建塊方面取得了新的進展。理論家們也開始懷疑這些群可以全部放在一個大列表中。
20世紀初的數學家為“龐大定理”奠定了基礎，但證明的核心內容直到本世紀中葉才出現。在1950年至1980年之間——羅格斯大學的數學家丹尼爾·戈倫斯坦稱之為“三十年戰爭”的時期——重量級人物將群論領域推向了前所未有的高度，發現了有限單群並將它們歸類到家族中。這些數學家揮舞著200頁的手稿，就像代數彎刀一樣，砍掉抽象的雜草，揭示對稱性最深的基礎。（普林斯頓高等研究院的弗里曼·戴森將奇異而美麗的群的湧現發現稱為“壯麗的動物園”。）
那是令人興奮的時代：理查德·福特，當時是劍橋大學的研究生，現在是佛蒙特大學的教授，他曾經坐在一個陰暗的辦公室裡，親眼目睹了兩位著名的理論家——約翰·湯普森，現在在佛羅里達大學，和約翰·康威，現在在普林斯頓大學——討論一個特別難處理的群的細節。“這太神奇了，就像兩個泰坦之間閃爍著閃電，”福特說。“對於做某事，他們似乎從來沒有缺乏一些絕對精彩且完全出乎意料的技術。這令人歎為觀止。”
正是在這些十年中，證明的兩個最大里程碑發生了。1963年，數學家沃爾特·費特和約翰·湯普森提出的一個定理為尋找更多有限單群奠定了基礎。在那次突破之後，1972年，戈倫斯坦制定了一個16步計劃，用於證明“龐大定理”——這個專案將一勞永逸地將所有有限單群安排到位。它涉及將所有已知的有限單群彙集在一起，找到缺失的群，將所有部分放入適當的類別，並證明不可能有其他群。這是一個龐大、雄心勃勃、難以駕馭，並且有些人說是不切實際的專案。
計劃的制定者
然而，戈倫斯坦是一位有魅力的代數學家，他的願景激勵了一群新的數學家——他們的野心既不簡單也不有限——他們渴望留下自己的印記。“他是一個比生命更偉大的人物，”在羅格斯大學的萊昂斯說。“他在構思問題和構思解決方案的方式上非常有侵略性。他非常有說服力，可以說服其他人幫助他。”
所羅門將他對群論的第一次接觸描述為“一見鍾情”，他在1970年遇到了戈倫斯坦。國家科學基金會在鮑登學院舉辦了一個關於群論的暑期學院，每週都會邀請數學名人到校園做講座。當時還是研究生的所羅門生動地回憶起戈倫斯坦的訪問。這位數學名人剛剛從他在瑪莎葡萄園島的避暑別墅抵達，無論是在外表上還是在資訊上都令人振奮。
“我以前從未見過穿粉紅色熱褲的數學家，”所羅門回憶道。
所羅門說，在1972年，大多數數學家認為證明在本世紀末不會完成。但在四年之內，終點就指日可待了。戈倫斯坦主要將證明的完成歸功於加州理工學院教授阿施巴赫的啟發性方法和狂熱的步伐。
證明如此巨大的一個原因是，它規定其有限單群列表是完整的。這意味著該列表包括每個構建塊，並且沒有更多。通常，證明某物不存在——例如證明不可能有更多的群——比證明它存在更費力。
1981年，戈倫斯坦宣佈第一個版本的證明完成，但他的慶祝為時過早。一個特別棘手的800頁的章節出現了一個問題，經過一番爭論才成功解決。數學家偶爾聲稱發現了證明中的其他缺陷，或者發現了違反規則的新群。迄今為止，這些說法未能推翻該證明，所羅門說他相當確信該證明將會成立。
戈倫斯坦很快就看到了該定理的文件，它已經變成了一個龐大而混亂的糾結。它是隨意演變的產物。因此，他說服了萊昂斯——並在1982年兩人伏擊了所羅門——幫助進行修訂，一個更易於訪問和更有條理的演示，這將成為所謂的第二代證明。萊昂斯說，他們的目標是闡明其邏輯，並防止後代不得不重新發明論點。此外，這項努力還將把證明的15000頁縮減到僅僅3000或4000頁。
戈倫斯坦設想了一系列書籍，這些書籍將整齊地收集所有不同的部分，並簡化邏輯，以消除特殊性和消除冗餘。在1980年代，除了經驗豐富的證明鍛造老手之外，其他人無法訪問該證明。畢竟，數學家們為此努力了幾十年，並希望能夠與後代分享他們的工作。第二代證明將為戈倫斯坦提供一種方式來減輕他對他們的努力將迷失在佈滿灰塵的圖書館裡的厚重書籍中的擔憂。
戈倫斯坦沒有活到看到最後一塊拼圖就位，更不用說在史密斯和巴克斯特的房子裡舉杯慶祝了。他於1992年在瑪莎葡萄園島死於肺癌。“他從不停歇地工作，”萊昂斯回憶道。“在他去世的前一天，我們進行了三次關於證明的對話。沒有告別或任何事情；一切都是公事公辦。”
再次證明
第二代證明的第一卷於1994年出版。它比標準的數學課本更具解釋性，並且僅包括30個擬議章節中的兩個，這兩個章節可以完全跨越“龐大定理”。第二卷於1996年出版，隨後的卷冊一直持續到今天——第六卷於2005年出版。
福特說，第二代的部分比最初的部分更好地組合在一起。“已經出現的部分寫得更連貫，組織得更好，”他說。“從歷史的角度來看，將證明放在一個地方很重要。否則，它在某種意義上會變成民間傳說。即使你相信它已經完成了，也變得不可能檢查。”
所羅門和萊昂斯今年夏天正在完成第七本書，一小群數學家已經開始研究第八本和第九本。所羅門估計，簡化的證明最終將佔據10或11卷，這意味著修訂後的證明剛剛出版了一半以上。
所羅門指出，即使是10或11卷仍然不會完全涵蓋第二代證明。即使是新的簡化版本也包括對補充卷和先前在其他地方證明的定理的引用。在某些方面，這種延伸說明了數學的累積性質：每個證明不僅是其時代的產物，而且是之前數千年的思想的產物。
在2005年發表在《美國數學會通告》上的一篇文章中，倫敦國王學院的數學家E·布萊恩·戴維斯指出，“證明從未被完整地寫下來，可能永遠不會被寫下來，並且按照目前的設想，任何個人都無法理解。”他的文章提出了一個令人不安的想法，即某些數學努力可能過於複雜，以至於凡人無法理解。戴維斯的話促使史密斯和他的三位合著者編寫了相對簡潔的書籍，並在橡樹公園的派對上慶祝了這本書。
“龐大定理”的證明可能超出了大多數數學家的範圍——更不用說好奇的業餘愛好者了——但其組織原則為未來提供了寶貴的工具。數學家們有一個長期的習慣，即在抽象真理在數學領域之外變得有用之前幾十年，甚至幾個世紀就對其進行證明。
“使未來令人興奮的一件事是難以預測，”所羅門觀察到。“天才們帶著我們這一代人從未有過的想法出現。有一種誘惑，這種願望和夢想，即仍然存在一些更深層次的理解。”
下一代
這幾十年的深入思考不僅推動了證明向前發展；它們還建立了一個社群。朱迪思·巴克斯特——她曾接受過數學家培訓——說群論學家形成了一個異常社交的群體。“群論中的人通常是終生的朋友，”她觀察到。“你在會議上看到他們，和他們一起旅行，和他們一起參加派對，這真是一個美好的社群。”
毫不奇怪，這些經歷過完成第一個迭代證明的興奮的數學家們渴望保留其思想。因此，所羅門和萊昂斯招募了其他數學家來幫助他們完成新版本併為未來保留它。這並不容易：許多年輕的數學家將證明視為已經完成的事情，他們渴望一些不同的東西。
此外，重寫一個已經建立的證明需要一種對群論的魯莽熱情。所羅門在卡普德博斯科身上找到了一個熟悉的該領域的熱衷者，她是少數幾位為完成第二代證明而努力的年輕數學家之一。她在上了所羅門的課後愛上了群論。
“令我驚訝的是，我記得閱讀和做練習，並認為我喜歡它。它很美，”卡普德博斯科說。在所羅門請她幫忙弄清楚一些最終將成為第六卷一部分的缺失部分後，她“迷上”了研究第二代證明。她說，簡化證明可以讓數學家們尋找更直接的方法來解決難題。
卡普德博斯科將這項努力比作改進粗略草稿。戈倫斯坦、萊昂斯和所羅門制定了計劃，但她說，她的工作以及其他一些年輕人的工作是看到所有部分都各就各位：“我們有路線圖，如果我們遵循它，最終證明應該會水到渠成。”
龐大的四個家族
對稱性可以分解為基本部分。被稱為有限單群，它們像元素一樣發揮作用，以不同的組合結合在一起形成更大、更復雜的對稱性。
“龐大定理”將這些群組織成四個家族。雖然它的證明是巨大的，但定理本身只是一句話，列出了所有四個家族：“每個有限單群都是素數階迴圈群、交錯群、李型有限單群或二十六個散在有限單群之一。”
以下是這些家族的簡要概述
迴圈群 是最早被分類的構建塊之一。將正五邊形旋轉圓的五分之一，即72度，它看起來仍然不變。旋轉五次，您就回到了起點。迴圈群會重複自身。迴圈有限單群各自具有素數個成員。具有超過兩個偶數個成員的迴圈群可以進一步分解，因此它們不是單群。
交錯群 來自交換集合的成員。一個完整的對稱群包含所有排列或交換。但是，交錯群僅包含它們的一半——具有偶數個交換的那些。例如，假設您有一組三個數字：1、2和3。有六種不同的方法來寫這組數字：（1、2、3）、（1、3、2）、（2、1、3）、（2、3、1）、（3、1、2）和（3、2、1）。交錯群包含其中三個。就對稱性而言，這些排列中的每一個可能對應於一系列對稱性（即，將立方體向上轉動，然後側放，依此類推）。
李型群，以19世紀數學家索富斯·李的名字命名，開始變得更加複雜。它們與稱為無限李群的事物有關。無限群包括空間本身的旋轉，這些旋轉不會改變體積。例如，有無數種旋轉甜甜圈的方法，而不會改變甜甜圈本身。這些無限群的有限類似物是李型群——換句話說，李型群中的甜甜圈只允許有限次數的旋轉。大多數有限單群都屬於這個家族。無限李群和李型群都不限於我們平庸的三維空間。準備好討論在15維空間中出現的對稱性了嗎？那就看看這些群吧。
散在群 構成了離群值的家族。它們包括26個不整齊地排列在其他家族中的離群值。（想象一下，如果元素週期表有一列“不良分子”。）這些散在群中最大的一個，被稱為“怪物”，擁有超過1053個元素，並且可以在196,883維度中忠實地表示。*它是令人困惑和怪異的，沒有人真正知道它意味著什麼，但思考它卻令人神往。“我懷有一種偷偷的希望，一種沒有任何事實或任何證據支援的希望，”物理學家弗里曼·戴森在1983年寫道，“在二十一世紀的某個時候，物理學家將偶然發現怪物群，以某種意想不到的方式構建到宇宙的結構中。”——S. O.
*編者注（2015年6月19日）：由於格式錯誤，描述被稱為“怪物”的有限單群中元素數量的數字1053，最初在本故事的線上版本中顯示為1053。