編者注：這篇文章最初發表於2004年3月刊，現重新發布，以突出諾貝爾獎獲得者在《大眾科學》上發表文章的悠久歷史。
大多數美國和法國公民——實際上，是全世界民主國家的公民——很少花時間思考他們的投票制度。這種關注通常留給政治和選舉分析家。但在過去幾年中，這兩個國家的大部分人口都感到非常困惑。法國人民想知道，一位完全脫離政治主流的政治家是如何在2002年總統選舉中進入最後兩名候選人決選的。在美國，許多選民質疑為什麼最受歡迎的候選人在2000年選舉中落敗。
我們將把關於懸而未決的選票、蝴蝶選票、選舉團和美國最高法院的討論留給政治評論員。但基於我們自己和同事的研究，我們可以解決一個更根本的問題：哪些型別的制度，無論是選舉國家領導人還是學生會主席，最能真正代表選民的意願？我們認為，一種特定的制度在這方面將是最好的——而且在美國、法國和無數其他國家實施起來將是簡單而實用的。
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排名的重要性
在大多數國家的總統選舉制度中，選民只選擇自己最喜歡的候選人，而不是對所有候選人進行排名。如果只有兩名候選人競爭，這種限制沒有區別。但是，如果有三名或更多候選人，這可能會非常重要。2002年法國總統選舉就是一個例子。在第一輪投票中，選民可以投票給九名候選人中的一位，其中最 prominent 的是高盧黨的現任總統雅克·希拉剋、社會黨領導人利昂內爾·若斯潘和國民陣線候選人讓-瑪麗·勒龐。規則規定，如果沒有候選人獲得絕對多數票，得票最多的兩名候選人將進入決選。希拉剋名列第一（獲得19.9%的選票）。然而，真正的意外在於第二名：極右翼分子勒龐位居第二（獲得16.9%的選票），而與希拉剋一起被普遍看好進入決選的若斯潘則位居第三（獲得16.2%的選票）。在第二輪投票中，希拉剋輕鬆擊敗勒龐。
儘管若斯潘排名第三，但大多數現有證據表明，在一對一的對抗中，他本可以輕鬆擊敗勒龐。甚至有可能，如果他進入第二輪，他本可以擊敗希拉剋。然而，由於法國選舉制度只允許選民提交他們的首選，因此無法考慮到如此重要的資訊。此外，它還允許像勒龐這樣的極端候選人——這些候選人實際上沒有獲勝的機會——對結果產生顯著影響。
2000年美國總統大選也暴露了類似的缺陷。為了最清楚地說明這一點，我們將假設選舉程式比實際情況更簡單。我們將只考慮四位主要候選人，並且我們將假設普選票和選舉團票之間沒有區別。（人們對選舉團有很多抱怨，但即使它被普選票取代，嚴重的問題仍然存在。）我們還將假設只有四種選民：那些寧願選擇拉爾夫·納德而不是阿爾·戈爾，戈爾而不是喬治·W·布什，布什而不是帕特·布坎南（“納德”選民）；那些排名為戈爾、布什、納德、布坎南（“戈爾”選民）；那些排名為布什、布坎南、戈爾、納德（“布什”選民）；以及那些排名為布坎南、布什、戈爾、納德（“布坎南”選民）。具體來說，假設2%的選民是納德選民，49%是戈爾選民，48%是布什選民，1%是布坎南選民。如果選民每人選擇一位候選人，戈爾將獲得49%，布什將獲得48%的總票數（實際百分比分別為48.4%和47.9%）。鑑於沒有候選人獲得多數票（即超過50%），應如何確定獲勝者？戈爾獲得多數票（票數最多，但不足50%），因此也許他應該獲勝。
另一方面，《美國憲法》規定，在沒有獲得多數選舉人票的情況下，應由眾議院決定獲勝者。在2000年共和黨佔多數的情況下，眾議院大概會支援布什。顯然，讓美國選民僅提名他們最喜歡的候選人並不能產生明顯正確的結果。與法國選舉一樣，這種歧義可以透過讓選民提交完整排名來解決。即使戈爾只佔選民的49%，排名也表明，明顯的多數——戈爾和納德選民加起來佔51%——更喜歡戈爾而不是布什或布坎南。因此，根據一種稱為真正多數規則（或簡單多數規則）的選舉制度，戈爾是獲勝者，在該制度中，選民提交所有候選人的排名，獲勝者是在基於這些排名的正面交鋒競爭中擊敗每個對手的人。
排名也可以用於其他選舉制度。例如，考慮“等級順序投票”——一種經常用於選舉委員會官員的程式，並且已被提議用來解決美國和法國總統選舉制度中固有的問題。如果有四名候選人競選，每位選民將四分分配給他或她最喜歡的候選人，三分分配給第二喜歡的候選人，兩分分配給第三喜歡的候選人，一分分配給最不喜歡的候選人。獲勝者是總分最高的候選人。該方法似乎是由18世紀法國工程師讓-查爾斯·博爾達發明的，有時被稱為博爾達計數法。想象一下，美國選舉中有1億人投票。根據我們之前的假設，我們知道其中4900萬人會將戈爾排在第一位。因此，戈爾將獲得1.96億分——即4900萬乘以4分——來自戈爾選民。納德選民將他排在第二位，因此他從他們那裡獲得600萬分。最後，布什和布坎南選民將他排在第三位，額外獲得9800萬分。他的總分是3億分。如果我們對其他人進行相應的計算，我們會發現納德獲得1.55億分，布坎南獲得1.99億分。引人注目的是，布什獲得3.46億分，即使大多數選民更喜歡戈爾。只有2%的選民將布什的排名低於第二名，這足以讓他透過等級順序投票當選。
因此，真正的多數規則和等級順序投票導致的結果截然不同。考慮到這種鮮明的對比，可能很難說哪種方法更擅長捕捉選民觀點的本質。但我們建議這樣做。我們可以根據一些任何選舉方法都應滿足的基本原則來評估這兩種制度——以及任何其他制度。斯坦福大學的肯尼斯·J·阿羅在1951年的一部專著中提出了這種投票理論的公理化方法，這部著作深刻地塑造了投票文獻。
大多數投票分析師都會同意，任何好的選舉方法都應該滿足幾個公理。其中之一是共識原則，通常以義大利社會學家維爾弗雷多·帕累託的名字命名為帕累託原則。它指出，如果每個人都同意候選人A比B更好，那麼B就不會當選。然而，這個公理無助於區分真正的多數規則和等級順序投票，因為這兩種方法都滿足它——也就是說，兩者最終都會讓B失敗。此外，該原則並不經常適用：在我們的美國選舉例子中，沒有任何一位候選人比另一位更受一致偏好。
另一個重要的公理認為，所有選民都應受到平等對待——“一人一票”或平等對待原則。投票理論家稱其為匿名性原則：你是誰不應決定你對選舉的影響。真正的多數規則和等級順序投票也都滿足匿名性。
然而，第三個標準確實區分了兩者。中立性，顧名思義，這個公理有兩個組成部分。第一個是對稱性，這意味著選舉規則不應偏袒一位候選人而不是另一位候選人。第二個要求是，選民在候選人A和B之間的選擇不應取決於他們對第三位候選人C的看法。在我們的美國例子中，如果布什選民的排名變為布什、戈爾、布坎南、納德（而不是布什、布坎南、戈爾、納德），會發生什麼？從真正多數規則的角度來看，沒有什麼重要的變化：多數人仍然更喜歡戈爾而不是布什。但是看看等級順序投票下會發生什麼：戈爾現在獲得3.48億分，而布什的總分仍然是3.46億分。現在戈爾獲勝而不是布什。
顯然，等級順序投票可能會違反中立性。選民對戈爾和布坎南（一位沒有當選機會的候選人）之間的偏好，決定了布什和戈爾之間的選擇——以及選舉結果。相比之下，真正的多數規則始終滿足中立性。最後這個斷言可能會讓那些記得在實際選舉中，關於投票給納德是否會影響布什和戈爾之間的競爭的討論比比皆是的讀者感到困惑。事實上，事後看來，納德——或許在佛羅里達州臭名昭著的蝴蝶選票甚至布坎南的幫助下——可能已經吸走了足夠的戈爾選票，從而將選舉結果傾斜向布什。但這種影響之所以可能，僅僅是因為美國選舉制度實際上不是真正的多數規則，而是其獨特的制度。
多數規則與法國選舉 讓我們看看2002年法國選舉在真正的多數規則下會發生什麼——為了簡單起見，我們將在下文中將其稱為多數規則。想象一下，希拉剋、若斯潘和勒龐是唯一的候選人，選民分為三組。第一組中的每個人，佔選民的30%，排名為若斯潘、希拉剋、勒龐。在第二組中，佔選民的36%，排名為希拉剋、若斯潘、勒龐。在剩下的34%中，選民將勒龐排在若斯潘之前，若斯潘排在希拉剋之前。希拉剋和勒龐——分別獲得36%和34%的選票——將進入決選，希拉剋將在決選中輕鬆獲勝，因為66%的選民更喜歡他而不是勒龐。
在另一種稱為即時決選投票（IRV）的制度下，也會產生相同的結果，IRV在愛爾蘭和澳大利亞實行，並且像等級順序投票一樣，已被倡導作為法國和美國製度的替代方案。在IRV中，簡而言之，選舉官員使用排名來依次淘汰排名最低的候選人（並將他們的百分比納入選民的下一個排名選擇），直到只剩下兩名候選人。
但法國和IRV制度與多數規則相沖突。如果你檢查選民排名的配置，你會發現若斯潘實際上擁有巨大的多數：64%的選民更喜歡他而不是希拉剋，66%的選民更喜歡他而不是勒龐。多數規則規定若斯潘應該以壓倒性優勢獲勝。
回想一下，在多數規則下，選民可以發表政治宣告，而不會損害任何有當選機會的候選人的機會。一個更喜歡若斯潘而不是希拉剋，並且知道勒龐沒有獲勝機會，但希望將他排在第一位以示抗議的人，可以這樣做，而不用擔心將若斯潘淘汰出局。（當然，除非在極不可能發生的情況下，大多數其他選民也做出同樣的姿態。）關於更喜歡戈爾而不是布什，但希望象徵性地支援納德的選民，也可以提出類似的觀點。然而，儘管有這些優點，多數規則還是有一個缺陷。它可能違反另一個廣為接受的投票原則：傳遞性。傳遞性要求，如果候選人A被選為優於B，並且B被選為優於C，那麼A應該被選為優於C。現在，忽略布坎南，假設35%的選民更喜歡戈爾優於布什優於納德，33%的人將布什排名高於納德高於戈爾，32%的人選擇納德高於戈爾高於布什。67%的選民將戈爾排名高於布什，68%的人將布什排名高於納德，65%的人將納德排名高於戈爾。換句話說，無論選擇哪位候選人，至少有65%的選民更喜歡其他人！在這種情況下，多數規則不會產生獲勝者。
這種可能性，稱為孔多塞悖論，是18世紀後期由瑪麗-讓-安託萬-尼古拉·德卡里塔，即孔多塞侯爵，博爾達的同事和主要批評者發現的。這三種排名——戈爾優於布什優於納德、布什優於納德優於戈爾和納德優於戈爾優於布什——統稱為孔多塞迴圈。我們對多數規則和等級順序投票的比較似乎導致了僵局：多數規則滿足我們列表中的每一個原則，除了傳遞性，而等級順序投票滿足所有原則，除了中立性。這個難題導致我們考慮是否存在其他選舉制度可以滿足所有原則。阿羅著名的不可能定理說沒有。它認為，任何選舉方法有時都必須違反至少一項原則[參見道格拉斯·H·布萊爾和羅伯特·A·波拉克撰寫的“理性集體選擇”；《大眾科學》，1983年8月]。
超越不可能 但阿羅定理過於消極。它要求選舉方法必須滿足給定的公理，無論選民的排名結果如何。然而，有些排名非常不可能。特別是，孔多塞悖論——多數規則的剋星——在實踐中可能並不總是一個嚴重的問題。畢竟，選民的排名不是憑空產生的。它們通常源於意識形態。
為了瞭解意識形態對多數規則的影響，請考慮每位候選人在從政治左翼到右翼的譜系中的位置。如果我們從左向右移動，我們大概會按納德、戈爾、布什、布坎南的順序遇到2000年總統候選人。如果意識形態驅動選民的觀點，那麼任何將納德排名高於戈爾的選民都可能將戈爾排名高於布什，布什排名高於布坎南。同樣，任何將布什排名高於戈爾的選民都可以預期將戈爾排名高於納德。我們不會期望找到排名為布什、納德、戈爾、布坎南的選民。
在20世紀40年代發表的一篇開創性論文中，北威爾士大學學院已故的鄧肯·布萊克表明，如果選民的排名以上述方式受到意識形態驅動——或者至少非意識形態選民不太多的情況下——多數規則將滿足傳遞性。這一發現使政治學領域的大量工作成為可能，因為透過假設選民對候選人的意識形態排名，研究人員可以繞過孔多塞悖論，並對多數規則的結果做出明確的預測。
當然，選民可能並不總是符合如此整潔的左右譜系。但其他情況也確保了傳遞性。再舉一個例子，再次看看法國選舉。儘管希拉剋和若斯潘領導著兩個主要政黨，但公平地說，他們並沒有激發太多熱情。正是極端候選人勒龐激起了人們的反感或熱情：證據表明，絕大多數選民將他在三位主要候選人中排名第三或第一；很少有人將他排名第二。人們可以爭論這種兩極分化對法國是好是壞。但這無疑對多數規則有利。如果選民都同意三位候選人中的一位沒有排名第二，則傳遞性得到保證。這個特性，稱為價值限制，是哈佛大學的阿馬蒂亞·森於1966年提出的。
在我們關於投票的研究中，我們說，如果投票制度在特定類別的排名中有效，則當所有選民的排名都屬於該類別時，它就滿足這四個公理。例如，當所有排名都受意識形態驅動時，多數規則就有效。當所有排名都“價值受限”時，它也有效。事實上，我們發現，每當任何投票制度有效時，多數規則也有效。此外，多數規則在某些其他制度無效的情況下也有效。我們稱之為多數支配定理。為了說明這一點，我們將想象戈爾、布什和納德之間的三方競爭。假設每位選民實際上都將候選人排名為戈爾、布什、納德或布什、戈爾、納德。
當選民的排名屬於這個雙元素類別時，等級順序投票滿足了它的剋星：中立性原則（因為選民對納德的看法不會影響布什或戈爾是否贏得等級順序選舉）。然而，多數規則在這裡也有效，因為它滿足了它的剋星，傳遞性。但是，如果情況變得稍微複雜一些，等級順序投票就不再有效。如果我們新增第三個排名——戈爾、納德、布什——多數規則仍然是傳遞性的。這三個排名在一起並不構成孔多塞迴圈。然而，等級順序投票不再滿足中立性。假設51%的人將布什排名高於戈爾高於納德。如果剩下的49%的人將戈爾排名高於納德高於布什，戈爾將獲勝。然而，如果其餘的人排名為戈爾、布什、納德，那麼布什將獲勝——即使這49%的人在任何一種情況下對戈爾和布什的排名都相同。
多數規則有時仍然不能很好地工作，正如孔多塞悖論所表明的那樣，儘管不如其他投票規則那麼頻繁。在這些情況下，必須對其進行修改以確定獲勝者。有很多方法可以做到這一點。也許最簡單的修改如下：如果沒有人獲得對所有對手的多數票，那麼在那些在正面交鋒比較中擊敗對手最多的候選人中，選擇等級順序得分最高的人作為獲勝者。
改進未來的選舉
大多數國家選拔總統的方式是有缺陷的。2000年美國和2002年法國總統選舉都受到了——也許是決定性地——沒有實際獲勝機會的候選人的影響。這些候選人之所以能夠施加影響，是因為在每種情況下，只計算選民排名最高的候選人。
我們認為，當出現兩個以上的選擇時，選民應該提交候選人排名，並且我們所討論的多數規則應該決定獲勝者。這種方法不會是完美的；沒有完美的方法。但正如多數支配定理所表明的那樣，與其他任何制度相比，它將更接近於準確地代表選民的意願。
這篇文章最初以“最公平的投票”為標題發表