想象一下，您正在為六位客人舉辦一個小聚會，但不清楚誰認識誰，誰不認識誰。 事實證明，必然至少有三個人彼此完全陌生，或者至少有三個人已經是朋友。（我們並非假設您的朋友不喜歡彼此。）因此，總是會至少有一組三個人，他們彼此都認識或完全不認識。
乍一看，這聽起來可能並不太令人驚訝，但您越思考這個問題，它就越有趣。 六個人彼此之間有 15 個聯絡。 因此，您可能會問，A 如何與 B 相關？ A 如何與 C 相關？ B 認識 C 嗎？ 這些聯絡可以有兩個值之一：朋友或陌生人。 這意味著，僅有六位客人，就已經有 215 (32,768) 種不同的方式讓聚會參與者彼此聯絡。 而數學主張，在每一種可能的分組中，總是有一個三人組，其中所有人都彼此認識，或者都是完全的陌生人。 逐個案例地查詢三人組似乎相當麻煩。
事實上，弄清楚這一點屬於拉姆齊理論的範疇，該理論以英國數學家弗蘭克·拉姆齊（Frank Ramsey，1903-1930）的名字命名，他於 26 歲時不幸英年早逝。 然而，在他短暫的一生中，他成功地發展了一個數學分支，該分支處理識別混亂中的某種秩序。 其目的是在令人困惑的排列中識別重複出現的模式，就像我們聚會參與者的情況一樣。 可以從數學的角度提出問題：您必須邀請多少位客人，才能至少有一組三個人彼此都認識，或者至少有一組三個人完全陌生？
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整個事情可以用圖形或圖表來解決，這些圖形或圖表是點（也稱為節點）和邊（連線點的線）的網路。 每個人都象徵著一個節點。 六位客人可以圍成一個圓圈排列。 現在每個點都已連線。 這就產生了 15 條邊。 根據兩個人是否彼此認識，它們被塗成紅色（表示熟人）或藍色（表示陌生人）。 現在宣告：無論您如何為邊著色，您總是會得到一個單色三角形——一個全藍色或全紅色的圖形。
現在拉姆齊理論提出的附加宣告：對於剛才提到的六位客人，無論您如何為邊著色，您總是會得到至少一個單色三角形——一個全藍色或全紅色的圖形。 如果您嘗試一下，您會看到這樣的三角形總是會出現。
當然，沒有人願意瀏覽 32,768 種可能性。 這樣做也不會回答拉姆齊提出的一個問題，即六是否是不可避免地形成這樣一個三角形的最小客人人數。 您可以嘗試透過更改邀請人數來解決這個問題。 如果您找到以某種方式著色的三角形，使得根本沒有出現單色三角形，那麼您就找到了相反的證據。 如果您只邀請三位客人，其中兩個人可能之前見過面。 因此，在這種情況下，沒有三個人是彼此都認識或彼此陌生的——因此沒有單色三角形。
對於四個人來說，也很容易找到沒有一組三個人彼此不認識或彼此是朋友的情況。
即使有五位客人，也至少有一種朋友-陌生人連線的配置，而沒有相同顏色的三角形。 因此，要回答拉姆齊關於最小的聚會參與者群體的問題，他們的關係總是可以用至少一個單色三角形來描繪，這個數字必須大於五。 但要大多少呢？
當我們達到六個人時會發生什麼？ 您現在必須嘗試為圖表的邊著色，而不建立單色三角形。為此，您可以首先挑選出一個人 A，並檢查他們與其餘客人的關係可能是什麼。 假設 A 是聚會的女主人。 在受邀者中，她有多少朋友？ 有六種不同的方式將她與五位客人聯絡起來：例如，她可能沒有朋友，在這種情況下，五位受邀者都對她來說是陌生人。 或者她可能有一位朋友，在這種情況下，有四位陌生人。 此圖表顯示了六位聚會參與者可能與女主人聯絡的各種方式。
女主人（A）至少與三個人是朋友——或者至少有三個人對她來說是陌生的。 在圖表中，可以透過她總是至少有三條相同顏色的邊來看出這一點。 使用一個具體的例子，可以假設，在表中顯示的配置之一中，女主人有三條紅色邊，這意味著她認識其他三位客人。 現在您可以嘗試為剩餘的連線著色，以避免在 32,768 種可能的著色組合中出現紅色三角形。
因此，您必須確保任何兩個認識女主人的客人彼此不認識——他們之間必須有藍色連線。 但是，如果您將所有這些邊都標記為藍色，您將得到一個藍色三角形！ 也就是說，如果所有節點都必須連線，則無法避免六點圖中的單色三角形。 而且您可以在所有點都連線的任何更大的圖中找到這樣的三角形。 這意味著，只要您邀請超過五位客人，就總會有一組三個人彼此都認識或彼此都不認識。
當然，數學家不會滿足於單一的結果。 相反，他們試圖概括問題。 因此，為了推匯出拉姆齊數的一般情況，他們會問：“R 需要多少個最少節點才能總是找到紅色 m-團或藍色 n-團。 n-團表示一組彼此全部連線的 n 個點。 結果數 R(m,n) 稱為拉姆齊數。 令人驚訝的是，已知的拉姆齊數非常少。 我們剛剛證明了 R(3,3) = 6。 也可以證明 R(4,4) = 18。 這意味著，如果您邀請 18 位客人參加聚會，則總會有一組四個人彼此都認識或彼此都不認識。
然而，幾十年來，R(5,5) 有多大一直不清楚。 換句話說，您必須邀請多少位客人才能總是有一個五人組，他們要麼都是熟人，要麼都是陌生人？ 專家們已經能夠縮小結果範圍：我們現在知道 R(5,5) 落在小於或等於 43 個節點的下限和小於或等於 48個節點的上限的範圍內。似乎我們可以簡單地使用計算機來遍歷具有 43 個節點的圖的所有可能的著色，看看是否存在一個不包含五個相同顏色組的圖。 但事實上，這項任務超出了任何可用的計算能力！
一個具有 43 個節點且全部連線的圖有 903 條邊。 這些邊可以是紅色（朋友）或藍色（陌生人）。 這就是 2903 種可能性，四捨五入約為 10272 。 這是一個 1 後面跟著 272 個零，這是難以想象的巨大數字。 為了理解它有多大，可以這樣想：目前假設我們的宇宙由大約 1082 個原子組成。
假設每個原子都是一臺計算機器，它每秒可以執行與目前最強大的超級計算機一樣多的計算次數：每秒一百萬兆（1018）步計算。 假設每個原子每秒可以搜尋一百萬兆個圖，以查詢五個一組的圖——並且粒子會在 138 億年前的大爆炸之後立即開始這樣做。 那麼到目前為止，他們將有 13.8 x 109 x 365.25 x 24 x 3,600 ≈ 4.35 x 1017 秒的時間來完成這項任務。 也就是說，宇宙中的所有原子到目前為止已經檢查了大約 4.35 x 10117 個圖——僅佔剩餘要處理的一小部分。
因此，數學家們正在尋找更聰明的解決方案來解決這個問題。 然而，到目前為止，他們還沒有找到任何解決方案。
本文最初發表於 Spektrum der Wissenschaft ，經許可轉載。