我喜歡在空閒時間跑步。我不是一個特別快的慢跑者，但我認為我可以跟上烏龜的速度。然而，根據公元前 450 年左右的古希臘學者芝諾的說法，我和烏龜之間比賽的結果遠非顯而易見——假設我給了行動緩慢的爬行動物一個運動性的領先優勢。當然，芝諾知道人類可以輕易地超越烏龜。但他想指出，從數學的角度來看，這不一定是顯而易見的。芝諾描述的思想實驗如下：假設我挑戰一隻烏龜進行 100 米賽跑。我給這隻動物一米的領先優勢（不多；畢竟，我想贏）。在這種情況下，芝諾斷定，我永遠無法超越烏龜。
即使這聽起來完全荒謬，芝諾的推理也是合理的。如果我等到烏龜跑完一米才開始追趕，那麼當我跑完一米時，這隻動物也向前移動了，比如說 20 釐米。當我到達這個點，跑完 1.2 米時，烏龜又向前移動了，即四釐米。諸如此類，永無止境：每次我到達烏龜之前所在的位置時，它都會繼續前進。這就是為什麼這隻動物總是領先於我——我不可能贏得比賽。
在芝諾最初的思想實驗中，他讓烏龜與希臘最快的英雄阿基里斯比賽，讓這種驚訝更加強烈，因此這種情況通常被稱為阿基里斯悖論。無論如何，在我們現實感知到的——人們超越烏龜——和理論描述所暗示的之間存在矛盾。
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芝諾的思考甚至更進一步。因為任何型別的運動都可以在無限多的時間點被觀察到，所以一般的變化也成為了一個問題。芝諾悖論——包括阿基里斯悖論和其他悖論，例如飛矢不動悖論——指出，從數學的角度來看，世界在一定程度上應該保持靜止。這些論點讓專家們忙碌了數千年——雖然他們後來達成了一些數學上的解決方案，但由於神秘的量子物理世界，它們再次變得重要起來。
不同型別的無窮
古希臘哲學家亞里士多德將芝諾悖論視為支援他的觀點，即空間和時間不能被無限地分割成小的部分。因此，阿基里斯最終會到達離烏龜的最小距離，然後超越它。但另一位偉大的希臘思想家阿基米德認為，在這種情況下，必須區分不同的無窮：一方面是無限大的範疇，另一方面是有限連續統。
第一類包括，例如，自然數集（1, 2, 3, 4,...），它是向上無限的：沒有最大的自然數。數軸上的一個區間，例如一釐米，屬於有界連續統的範疇。雖然這個區間具有有限的長度，但它由無限多個點組成。阿基米德觀察到，我需要越來越少的時間來覆蓋比賽中將我與烏龜分開的不斷縮小的距離。
阿基米德是正確的，儘管他無法證明這一斷言。事實上，直到芝諾的思想實驗 2000 多年後，微積分數學領域的出現才找到了科學的解決方案。當時艾薩克·牛頓和戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨發展的方法使得最終證明阿基米德的想法成為可能。雖然你可以將一個長度分成無限多個較小的區間，但這並不意味著遍歷它們需要無限長的時間。
換句話說，在無限多的時刻烏龜領先於我，但這些時刻的總和是有限的——實際上非常短。
我超越烏龜的時刻
這個證明可以使用當今可用的數學工具快速計算出來。讓我們假設我給烏龜一米的領先優勢，然後開始以大約每小時 12 公里的速度奔跑。為了簡單起見，讓烏龜比我慢五倍——即使實際上動物的速度要慢得多。當我跑完一米時，烏龜又向前移動了 20 釐米；當我到達那裡時，它又跑了四釐米，依此類推。當我追上烏龜時，我跑過的距離 S 因此是：S = 1 + 1⁄5 + 1⁄25 + 1⁄125 + .... 這個總和由無限多個越來越小的被加陣列成。
如果沒有微積分，就沒有辦法評估這樣的總和。然而，牛頓和萊布尼茨創造了處理越來越小的量的工具：所謂的無窮小量。事實證明，上面提到的無限和產生一個有限的結果。這可以透過從總和的一部分中排除因子 1⁄5 來看出：S = 1 + 1⁄5 x (1 + 1⁄5 + 1⁄25 + 1⁄125 + ...)。
由於總和是無限長的，括號中的表示式完全對應於值 S。這給了我們以下等式：S = 1 + ⅕S。解 S 得出 S = 5⁄4 = 1.25。
換句話說，在 1.25 米之後，烏龜和我並駕齊驅——然後我超越了它。雖然在無限多的時刻烏龜領先於我，但我只需要有限的時間就可以超越它。如果我真的以每小時 12 公里的速度奔跑，那麼我只需不到 0.375 秒就可以跑完 1.25 米。
量子世界的芝諾悖論
因此，從 17 世紀開始，芝諾悖論得到了解決。藉助微積分，數學家們找到了一種描述變數事物的方法。從科學的角度來看，古代的矛盾似乎得到了解決——直到量子物理學的出現。
根據量子力學理論，量子物體，例如電子或分子，在被觀察時不能改變或移動。它們表現得像一個患有嚴重舞臺恐懼症的演員，在觀眾穿透性的目光下，彷彿僵住了。
量子物體通常會隨著時間的推移改變其狀態：它們可以從一種能量狀態變為另一種能量狀態，或者從一個地方移動到另一個地方。但是，如果你不斷地測量這些粒子，它們改變狀態的可能性就會越來越小。它們仍然被困在原來的狀態。
物理學家實際上能夠在實驗中觀察到這種行為：如果他們足夠頻繁地對量子系統進行測量，其時間演化就會受到抑制。換句話說，系統保持在其狀態而沒有改變。這種所謂的量子芝諾效應現在被用於商業磁力計中。這是因為量子系統可以非常精確地測量磁場，並保持其期望的狀態。現在也假設量子芝諾效應可能在鳥類的磁感應中發揮作用。
因此，即使在希臘哲學家提出思想實驗 2500 年後，芝諾悖論仍然讓專家們著迷。雖然從數學的角度來看，運動問題已經得到解決，但這些悖論仍然引發了關於我們現實的問題。我們世界的基本組成部分如何運動和變化？測量究竟是什麼？觀察對於量子系統意味著什麼？讓我們看看是否還需要幾千年才能回答這些問題。
本文最初發表於《科學光譜》雜誌，並經許可轉載。