物理學自其作為一門科學的早期起，就一直在自然界中尋找統一性。艾薩克·牛頓證明，導致蘋果落下的力也使行星保持在其軌道上。詹姆斯·克拉克·麥克斯韋將電、磁和光結合成一個電磁理論；一個世紀後，物理學家加入了弱核力，形成了統一的“電弱”理論。阿爾伯特·愛因斯坦將空間和時間本身結合成一個單一的時空連續體。
今天，這個探索中最大的缺失環節是引力和量子力學的統一。愛因斯坦的引力理論，即他的廣義相對論，描述了宇宙的誕生、行星的軌道和牛頓蘋果的墜落。量子力學描述了原子和分子、電子和夸克、基本的亞原子力以及其他許多事物。然而，在兩個理論都應該適用的地方——引力和量子效應都很強的地方，例如黑洞——它們似乎也是不相容的。物理學家將它們結合成量子引力理論的最佳努力已經慘敗，給出的答案毫無意義，或者根本沒有答案。儘管包括十幾位諾貝爾獎獲得者在內的幾代物理學家進行了 80 年的工作，但量子引力理論仍然難以捉摸。
如果問物理學家一個太難的問題，一個常見的回答是：“問我一些更容易的問題。” 物理學透過研究捕捉複雜現實片段的簡單模型向前發展。研究人員已經研究了許多這樣的量子引力模型，包括在引力較弱時或在黑洞等特殊情況下適用的近似值。也許最不尋常的方法是忽略一個完整的空間維度，並研究如果我們的宇宙只有二維，引力將如何運作。（從技術上講，物理學家將這種情況稱為“（2+1）維”，意思是兩個空間維度加上一個時間維度。）在這種簡化的宇宙中支配引力的原理也可能適用於我們的三維宇宙，從而為我們提供一些急需的統一線索。
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降維的想法有著悠久的歷史。埃德溫·阿博特的 1884 年小說《平面國：多維度的浪漫故事》講述了“正方形”的冒險經歷，他是一個由三角形、正方形和其他幾何圖形組成的二維世界的居民。儘管阿博特本意是將其作為對維多利亞社會的諷刺評論——平面國有著嚴格的等級制度，線性女性處於底層，而圓形牧師階層處於頂層——但平面國也引發了人們對不同維度幾何學的興趣激增，並且至今仍在數學家和物理學家中廣受歡迎。試圖理解更高維度領域的研究人員首先想象我們的三維世界對正方形會是什麼樣子[參見馬丁·加德納的“數學遊戲”；大眾科學，1980 年 7 月]。平面國也啟發了物理學家研究石墨烯等真正表現得像二維空間的材料[參見安德烈·K·蓋姆和菲利普·金的“碳的奇境”；大眾科學，2008 年 4 月]。
最早的平面國引力研究是在 1960 年代初期進行的，結果令人失望。二維空間實際上沒有足夠的空間讓引力場的變化傳播。然而，在 1980 年代後期，隨著研究人員意識到引力以意想不到的方式運作，這個課題得到了復興。它仍然會塑造空間的整體形狀，甚至創造黑洞。平面國引力一直是橫向思維的案例研究，讓我們能夠對我們的一些推測性想法（例如所謂的全息原理和時間從永恆中湧現）進行嚴格的數學檢驗。
時間管理
當物理學家試圖發展力的量子理論時，我們將相應的經典理論作為起點並以此為基礎。對於引力，這意味著廣義相對論。而麻煩就從這裡開始。廣義相對論涉及一個由 10 個方程組成的複雜系統，每個方程最多有數千項。我們無法在它們的完全普遍性中求解這些方程，因此我們在制定它們的量子版本時面臨著艱鉅的任務。但是，量子引力如此難以捉摸的奧秘仍然更深。
根據廣義相對論，我們稱之為“引力”的東西實際上是空間和時間形狀的表現。地球繞太陽執行不是因為某種力拉動它，而是因為它沿著被太陽質量扭曲的時空中最直線的路徑移動。統一量子力學和引力意味著以某種方式量化空間和時間本身的結構。
這聽起來可能並不那麼具有挑戰性。然而，量子力學的基石是海森堡不確定性原理，即物理量本質上是模糊的——隨機波動並且沒有確定的值，除非它們被觀察或經歷等效過程。在量子引力理論中，空間和時間本身會波動，動搖物理學其餘部分建立在其上的腳手架。在沒有固定的時空作為背景的情況下，我們不知道如何描述位置、變化率或任何其他物理學的基本量。簡而言之，我們不知道量子時空意味著什麼。
概念化量子化時空的這些一般性障礙以幾種具體方式出現。其中之一是臭名昭著的“時間問題”。時間是我們觀察到的現實的基礎。幾乎每一個物理學理論最終都是對宇宙的某些部分隨時間變化方式的描述。因此，我們物理學家最好知道“時間”是什麼意思，而令人尷尬的事實是我們不知道。
對於牛頓來說，時間是絕對的——站在自然之外，影響物質但不受其影響。量子力學的通常公式接受絕對時間的這個概念。然而，相對論推翻了絕對時間。相對運動的不同觀察者對時間的流逝甚至對兩個事件是否同時發生存在分歧。時鐘——以及任何隨時間變化的東西——在強引力場中執行得更慢。時間不再僅僅是一個外部引數，現在是宇宙中的積極參與者。但是，如果沒有理想的時鐘坐在宇宙之外並決定變化的步伐，那麼時間的流逝必定來自宇宙的內部結構[參見克雷格·卡倫德的“時間是幻覺嗎？”；大眾科學，2010 年 6 月]。但是如何？甚至很難知道從哪裡開始。
時間問題有一個不太出名的表親，即可觀測物問題。物理學是一門經驗科學；一個理論必須對可觀測的量做出可驗證的預測。在普通物理學中，這些量被歸因於特定的位置：電場強度“在這裡”或電子在“那裡”被發現的機率。我們用座標x、y和z標記“這裡”或“那裡”，我們的理論預測可觀測物如何依賴於這些座標的值。
然而，根據愛因斯坦的說法，空間座標是任意的、人為的標籤，最終宇宙並不關心它們。如果你不能客觀地識別時空中的一個點，那麼你就不能聲稱知道它發生了什麼。猶他州立大學的查爾斯·託雷已經表明，量子引力理論可能沒有純粹的區域性可觀測物——也就是說，可觀測物的值僅取決於時空中的一個點。因此，科學家們只剩下非區域性可觀測物，即其值一次取決於許多點的量。總的來說，我們甚至不知道如何定義這樣的物體，更不用說用它們來描述我們觀察到的世界了。
第三個問題是宇宙是如何產生的。它是憑空產生的嗎？它是從母宇宙中分裂出來的嗎？還是它做了完全不同的事情？每一種可能性都給量子引力理論帶來了一些困難。一個相關的問題是科幻小說作家長期以來的最愛：蟲洞，它形成空間甚至時間中位置之間的捷徑。物理學家們認真地思考過這個想法——在過去的 20 年裡，他們發表了 1000 多篇關於蟲洞的期刊文章——但沒有解決這種結構是否可能的問題。
最後一組問題圍繞著科學界已知的最神秘的野獸：黑洞。它們可能為我們提供瞭解空間和時間終極本質的最佳視窗。在 1970 年代初期，斯蒂芬·霍金證明黑洞應該像熾熱的煤炭一樣發光——發出所謂的黑體光譜輻射。在每一個其他的物理系統中，溫度都反映了微觀成分的潛在行為。當我們說一個房間很熱時，我們真正的意思是裡面的空氣分子在充滿活力地運動。對於黑洞來說，“分子”一定是量子引力的。它們不是字面意義上的分子，而是一些未知的微觀子結構——物理學家稱之為“自由度”——必須能夠改變。沒有人知道它們到底是什麼。
沒有吸引力的模型
乍一看，平面國似乎不是尋找這些問題答案的有希望的地方。阿博特的平面國有很多定律，但其中沒有引力定律。1963 年，波蘭物理學家安傑伊·斯塔魯什凱維奇透過應用廣義相對論，研究出了這個定律可能是什麼。他發現，平面國中的一個大質量物體會將它周圍的二維空間彎曲成一個圓錐體，就像用扭曲的扁平紙片製成的派對帽一樣。一個小物體經過這個圓錐體的頂點時，會發現它的路徑發生偏轉，就像太陽在我們宇宙中彎曲彗星的路徑一樣。1984 年，布蘭迪斯大學的斯坦利·德塞爾、麻省理工學院的羅曼·傑基夫和荷蘭烏得勒支大學的傑拉德·特·胡夫特研究出了量子粒子將如何在這樣的空間中運動。
這種幾何結構將比引力在我們三維宇宙中引起的複雜曲率模式簡單得多。平面國將缺乏相當於牛頓引力定律的東西；相反，力的強度將取決於物體的速度，並且兩個靜止的物體不會相互吸引。這種簡單性很有吸引力。這表明量化斯塔魯什凱維奇的理論將比量化三維的完全成熟的廣義相對論更容易。不幸的是，該理論太簡單了：沒有什麼可以量化的了。二維空間沒有空間容納愛因斯坦理論的一個重要元素：引力波。
考慮更簡單的電磁學情況。電場和磁場是由電荷和電流產生的。正如麥克斯韋所證明的那樣，這些場可以從它們的源頭分離出來，並像光波一樣自由移動。在麥克斯韋理論的量子版本中，波變成了光子，即光的量子。同樣，廣義相對論的引力場可以從它們的源頭分離出來，變成自由傳播的引力波，物理學家普遍認為，量子引力理論將包含被稱為引力子的粒子，它們會進行傳播。
光波有一個極化：它的電場在垂直於其運動方向的方向上振盪。引力波也有一個極化，但模式更復雜：場不是在一個方向上振盪，而是在垂直於其運動方向的兩個方向上振盪。平面國沒有空間容納這種行為。一旦運動方向固定，就只剩下一個垂直方向。引力波及其量子對應物引力子根本無法擠壓到二維空間中。
儘管偶爾會有一些興趣的火花，但斯塔魯什凱維奇的發現還是被擱置了。然後在 1989 年，新澤西州普林斯頓高等研究院的愛德華·威滕介入了。威滕被廣泛認為是世界領先的數學物理學家，他一直在研究一類特殊的場，在這些場中，波不會自由傳播。當他意識到二維引力符合這一類時，他添加了關鍵的缺失成分：拓撲學。
甜甜圈世界
威滕指出的是，即使引力不能以波的形式傳播，它仍然可以對空間的整體形狀產生巨大的影響。當平面國只是一個平面時，這種影響不會出現；它需要更復雜的拓撲結構。當冰雕融化時，細節變得柔和，但某些特徵（如孔洞）往往會持續存在。拓撲學描述了這些特徵。如果一個曲面可以平滑地變形為另一個曲面，而無需切割、撕裂或粘合，則兩個曲面具有相同的拓撲結構。例如，半球和圓盤共享相同的拓撲結構：透過拉動半球的周長來拉伸半球會產生一個圓盤。球體具有另一種拓撲結構：要將其變成半球或圓盤，您需要剪掉一塊。像甜甜圈表面一樣的環面，具有又一種拓撲結構。咖啡杯的表面具有與環面相同的拓撲結構：把手看起來像一個環面，杯子的其餘部分可以平滑而無需切割或撕裂——因此，數學家們開玩笑說，拓撲學家無法區分甜甜圈和咖啡杯。
儘管環面看起來是彎曲的，但當您考慮它們的內部幾何形狀而不是從外部看到的形狀時，它們實際上可以是平坦的。使環面成為環面的事實是，您可以沿兩個不同的方向繞它做一個完整的環：穿過孔或繞著邊緣。任何玩過 1980 年代影片遊戲的人都會熟悉此功能，在遊戲中，戰鬥人員從螢幕右側退出後會從左側重新進入。螢幕是平坦的：它遵循平面幾何規則，例如平行線永不相交的事實。然而，拓撲結構是環形的。
事實上，存在無限多的此類環面——都是平坦的，但都不同，用一個稱為模數的引數標記。環形宇宙中的引力所做的是導致模數隨時間演變。環面從大爆炸時的一條線開始，並隨著宇宙的膨脹而展開，呈現出越來越方形的幾何形狀。從威滕的結果開始，我證明了這個過程可以被量子化，將經典引力理論轉變為量子引力理論。平面國中的量子引力不是引力子的理論，而是形狀變化的環面的理論。這種觀點標誌著量子理論作為非常小的理論的通常圖景的轉變。事實上，二維量子引力是將整個宇宙作為一個單一物體的理論。這種洞察力為我們提供了一個足夠豐富的模型來探索量子引力的一些基本概念問題。
尋找時間
例如，平面國引力演示了時間如何可能從根本上永恆的現實中湧現出來。在該理論的一種公式中，整個宇宙由一個單一的量子波函式描述，類似於物理學家通常用來描述粒子和原子的數學工具。這個波函式不依賴於時間，因為它已經在一個包中包含了所有時間，過去、現在和未來。不知何故，這個“永恆的”波函式產生了我們在世界中觀察到的變化。訣竅是記住愛因斯坦的名言，即時間是時鐘測量的東西。時間不是站在宇宙之外；它是由一個與宇宙其餘部分相關的子系統決定的，就像掛鐘與地球的自轉相關一樣。
該理論提供了許多不同的時鐘選項，我們的選擇定義了我們所說的“時間”的含義。正方形可以透過使用衛星中的原子鐘讀數來定義時間，就像 GPS 中的那些一樣。他可以用從大爆炸延伸出來的曲線的長度、他膨脹的宇宙的大小或其膨脹引起的紅移量來標記時間。一旦他做出了這樣的選擇，所有其他的物理可觀測物都隨著時鐘時間而變化。例如，環面宇宙的模數與其大小相關，正方形將其感知為一個隨時間演變的宇宙。因此，該理論從一個永恆的宇宙中引匯出時間。這些想法並不新鮮，但甜甜圈世界的量子引力最終為我們提供了一個環境，我們可以在其中進行數學運算並檢查圖景是否不僅僅看起來漂亮，而且確實有效。一些時間的定義具有耐人尋味的結果，例如暗示空間可能會起皺。
至於可觀測物問題，甜甜圈世界為我們提供了一組客觀可測量的量——即模數。曲折之處在於，這些量是非局域的：它們不位於特定位置，而是描述整個空間的結構。正方形測量的任何東西最終都是這些非局域量的代理。2008 年，現在在德國埃爾蘭根-紐倫堡大學的凱瑟琳·梅斯伯格展示了這些模數如何與真實宇宙學測量相關，例如光束的時間延遲和紅移。我已經展示了它們如何與物體的運動相關。
平面國引力為蟲洞愛好者帶來了好訊息：該理論的至少一種公式允許空間拓撲結構發生變化。正方形今晚可以在球體國睡覺，明天在甜甜圈國醒來，這相當於在宇宙的兩個遙遠角落之間建立了一個捷徑。在該理論的某些版本中，我們可以描述宇宙從虛無中產生的過程，這是拓撲結構的終極變化。
在空間的邊緣
由於平面世界中的引力受到阻礙，因此在專家領域（包括我）中，二維黑洞是不可能的，這曾經是常識。然而，在 1992 年，三位物理學家——現在在智利聖地亞哥的宗座天主教大學的馬西莫·巴納多斯，以及克勞迪奧·本斯特（當時的克勞迪奧·泰特爾博伊姆）和豪爾赫·扎內利，他們都在智利瓦爾迪維亞的科學研究中心——震驚了世界，或者至少是我們的小角落，他們表明，只要宇宙具有某種型別的暗能量，該理論就允許黑洞存在。
所謂的 BTZ 黑洞非常像我們自己宇宙中的真實黑洞。它是由物質在自身重量下坍縮形成的，周圍環繞著一個事件視界，這是一個單向屏障，任何東西都無法從中逃脫。對於留在外部的觀察者來說，事件視界看起來像是宇宙的邊緣：任何穿過視界的物體都會完全與我們隔離。根據霍金的計算，正方形應該看到它以取決於其質量和自旋的溫度發光。
這個結果提出了一個難題。平面國引力缺乏引力波或引力子，也應該缺乏可以解釋黑洞溫度的引力自由度。然而，它們還是偷偷溜進來了。原因是事件視界本身提供了一些額外的結構，而空二維空間缺乏這種結構。視界存在於某個位置，這在數學上用一些額外的量來增強了原始理論。擺動視界的振動提供了自由度。值得注意的是，我們發現它們完全再現了霍金的結果。
由於自由度是視界的特徵，因此在某種意義上，它們位於平面世界本身的邊緣。因此，它們是對量子引力的一個引人入勝的提議——全息原理的具體實現。該原理表明維度可能是一個可替代的概念。正如全息圖在扁平的二維膠片上捕獲三維影像一樣，許多物理學家推測，d 維世界的物理學可以被 d-1 維度中更簡單的理論完全捕獲。在弦理論——統一廣義相對論和量子力學的主要努力——中，這個想法在 1990 年代後期導致了一種建立量子引力理論的新方法[參見胡安·馬爾達西那的“引力的幻覺”；大眾科學，2005 年 11 月]。
平面國引力提供了一個簡化的場景來測試這種方法。僅僅四年多前，威滕和亞歷山大·馬洛尼（現在在麥吉爾大學）再次震驚了物理學界，他們提出全息預測似乎在最簡單的二維引力形式中失敗了。他們發現，該理論似乎預測了黑洞不可能的熱力學性質。這個意想不到的結果表明，引力是一種比我們懷疑的更微妙的現象，而回應是平面國研究的新高潮。也許引力本身根本就沒有意義，而必須與其他型別的力和粒子合作才能發揮作用。也許愛因斯坦的理論需要修改。也許我們需要找到一種方法來放回一些區域性自由度。也許全息原理並非總是成立。也許空間，就像時間一樣，不是宇宙的基本成分。無論答案是什麼，平面國引力都將我們指向了一個我們可能沒有采取的方向。
儘管我們無法制造真正的二維黑洞，但我們或許能夠在實驗上檢驗平面國模型的一些預測。世界各地的幾個實驗室正在研究黑洞的二維類似物。例如，流速快於聲速的流體產生聲速事件視界，聲波無法從中逃脫。實驗人員還使用限制在表面上的電磁波構建了二維黑洞[參見上面的方框]。這樣的類似物也應該表現出與黑洞非常相似的量子輝光[參見約翰·馬特森的“霍金可能是對的”；大眾科學，2010 年 12 月]。
平面世界的量子引力最初是物理學家的遊樂場，一個探索關於現實世界量子引力的想法的簡單環境。它已經教會了我們關於時間、可觀測物和拓撲結構的寶貴經驗，這些經驗正在被應用到真正的三維引力中。該模型以其豐富性讓我們感到驚訝：拓撲結構出乎意料地重要作用、其非凡的黑洞、其奇怪的全息特性。也許很快我們就會完全理解成為生活在平面世界中的正方形是什麼感覺。