編者按：本文最初發表於我們1992年1月的期刊。我們釋出此文是因為最近關於混沌和量子力學之間聯絡的討論。
1917年，阿爾伯特·愛因斯坦寫了一篇論文，但被完全忽略了40年。在論文中，他提出了一個物理學家最近才開始自問的問題：在我們世界中無處不在的經典混沌，會對描述原子和亞原子世界的量子力學理論產生什麼影響？當然，人們早已觀察到經典混沌的影響——開普勒知道月球繞地球的運動，牛頓則對這種現象深感不滿。19世紀末，美國天文學家威廉·希爾證明了這種不規則性完全是太陽引力造成的。因此，偉大的法國數學家、天文學家、物理學家亨利·龐加萊推測，月球的運動只是影響幾乎一切事物的先天性疾病的一個輕微案例。龐加萊最終意識到，大多數動力系統都表現出難以察覺的規律性或重複模式。即使是一個簡單系統的行為也可能對其初始條件非常敏感，以至於最終結果是不確定的。
在龐加萊關於經典混沌的開創性工作的同時，馬克斯·普朗克開始了另一場革命，這場革命將導致現代量子力學理論的誕生。牛頓研究過的簡單系統再次被研究，但這次是在原子尺度上。謙卑的單擺的量子類比是雷射；原子世界中飛行的炮彈由質子或電子束組成，而旋轉的輪子是自旋電子（磁帶的基礎）。甚至太陽系本身也反映在元素週期表中發現的每個原子中。
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量子世界最突出的特徵也許是其平滑的波動性質。這一特徵引出了一個問題，即當從經典世界過渡到量子世界時，混沌如何發揮作用。經典混沌的極其不規則的特性，如何與原子尺度上現象的平滑波動性質相協調？量子世界中是否存在混沌？初步工作似乎表明它的確存在。在某些原子系統的能級分佈中發現了混沌；它甚至似乎偷偷潛入了與這些能級相關的波形模式中。當電子從小分子散射時，也發現了混沌。但我必須強調的是，“量子混沌”這個術語更多的是用來描述一個難題，而不是定義一個明確的問題。
考慮以下對大局的解讀可能有助於理解量子混沌。我們所有關於力學的理論討論可以被有些人為地劃分為三個部分[見圖示]，儘管自然界並不承認這些劃分。
基本經典力學屬於第一部分。這個框包含所有表現出簡單和規則行為的乾淨系統，因此我將其稱為 R，表示規則（regular）。 R 中還包含一個稱為微擾理論的精細數學工具，該工具用於計算小的相互作用和外部干擾的影響，例如太陽對月球繞地球運動的影響。藉助微擾理論，現在大部分物理學都被理解為對規則系統的相對溫和的修改。然而，現實要複雜得多；混沌系統位於微擾理論的範圍之外，它們構成了第二部分。
由於第二部分的系統最初的詳細分析是由龐加萊完成的，因此我將這個框命名為 P，以紀念他。它充滿了構成科學基礎的混沌動力系統。這些系統包括所有基本力學問題，從三個而不是僅有兩個物體相互作用開始，例如地球、月球和太陽，或者水分子中的三個原子，或者質子中的三個夸克。
量子力學，作為已經實踐了大約 90 年的學科，屬於第三部分，稱為 Q。在普朗克、愛因斯坦和尼爾斯·玻爾的開創性工作之後，量子力學從 1924 年開始，在短短四年內被賦予了明確的形式。路易斯·德布羅意、維爾納·海森堡、埃爾溫·薛定諤、馬克斯·玻恩、沃爾夫岡·泡利和保羅·狄拉克的開創性工作經受住了實驗室的考驗，沒有絲毫失誤。奇蹟般地，它為物理學提供了一個數學框架，根據狄拉克的說法，該框架對“大多數物理學和所有化學”產生了深刻的理解。然而，儘管大多數物理學家和化學家都學會了如何解決量子力學中的特殊問題，但他們尚未理解該領域令人難以置信的微妙之處。這些微妙之處與有關量子力學解釋的困難的概念性問題截然不同。
三個框 R（經典簡單系統）、P（經典混沌系統）和 Q（量子系統）通過幾個連線相連。R 和 Q 之間的連線被稱為玻爾的對應原理。對應原理相當合理地聲稱，當物體變得比原子大得多時，經典力學必須包含在量子力學中。R 和 P 之間的主要聯絡是 Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) 定理。KAM 定理提供了一個強大的工具，用於計算當引入小擾動時，規則系統的多少結構得以保留，因此該定理可以識別導致規則系統發生混沌行為的擾動。
量子混沌關注的是建立框 P（混沌系統）和 Q（量子系統）之間的關係。在建立這種關係時，引入一個稱為相空間的概念很有用。令人驚訝的是，這個概念現在被動力系統領域的專家廣泛利用，它可以追溯到牛頓。
相空間的概念可以在牛頓於 1687 年出版的《自然哲學的數學原理》中找到。在第一章“定義”的第二個定義中，牛頓（如 1729 年從原始拉丁文翻譯而來）指出：“運動的量是對同一事物的度量，它來自速度和物質的量結合在一起。”在現代英語中，這意味著對於每個物體，都有一個稱為動量的量，它是物體的質量和速度的乘積。
牛頓在第二章“公理，或運動定律”中給出了他的運動定律。第二定律說，運動的變化與所施加的動力成正比。牛頓將力與動量的變化聯絡起來（而不是像大多數教科書那樣與加速度聯絡起來）。
動量實際上是兩個量中的一個，這兩個量加在一起，可以給出任何時刻動力系統的完整資訊。另一個量只是位置，它決定了力的強度和方向。牛頓對動量和位置的雙重性質的深刻見解，在 130 年後被兩位數學家威廉·羅文·漢密爾頓和卡爾·古斯塔夫-雅各布·雅可比放在了更堅實的基礎上。動量和位置的配對不再被視為在良好的舊歐幾里得空間或三維空間中；相反，它被視為在相空間中，相空間有六維，三個維度用於位置，三個維度用於動量。
從數學的角度來看，引入相空間是一個強大的步驟，但從人類直覺的角度來看，這是一個嚴重的挫折。誰能想象出六維空間？幸運的是，在某些情況下，相空間可以簡化為三維，甚至更好的是二維。這種簡化在檢查強磁場中氫原子的行為時是可能的。長期以來，氫原子因其簡單性而成為人們非常需要的系統。一個孤立的電子繞一個孤立的質子運動。然而，當開啟磁場時，電子的經典運動變得混亂。如果我們無法解釋這個基本問題，我們如何聲稱理解物理學呢？
在正常條件下，氫原子的電子緊密地束縛在質子上。原子的行為受量子力學支配。原子不能自由地採取任何任意的能量，它只能採取離散的或量子化的能量。在低能量下，允許的值分佈得相對較遠。隨著原子能量的增加，原子變大，因為電子離質子更遠，並且允許的能量變得更接近。在足夠高的能量下（但不要太高，否則原子會被剝奪電子！），允許的能量非常接近，形成了一個有效的連續體，現在可以公平地應用經典力學的規則。
這種高度激發的原子稱為裡德堡原子。裡德堡原子佔據了量子世界和經典世界之間的中間地帶，因此它們是探索連線框 Q（量子現象）和 R（經典現象）的玻爾對應原理的理想候選者。如果能使裡德堡原子在經典意義上表現出混沌行為，它可能會為量子混沌的本質提供線索，從而闡明框 Q 和 P（混沌現象）之間的中間地帶。
裡德堡原子在強磁場中表現出混沌行為，但要看到這種行為，我們必須降低相空間的維度。“第一步是注意，所施加的磁場定義了一個穿過原子的對稱軸。電子的運動實際上發生在一個二維平面中，並且圍繞軸的運動可以分離出來；只有沿軸和離軸的距離才重要。運動的對稱性將相空間的維度從六個減少到四個。”
另外一個幫助來自於這樣一個事實：沒有外力對電子做功。因此，總能量不隨時間變化。透過關注能量的特定值，可以從四維相空間中取出一個三維切片，稱為能量殼。能量殼允許人們觀察電子的曲折運動，實際上可以看到類似纏繞的金屬絲雕塑。龐加萊提出了一個簡單的想法，使得結果圖景可以進一步簡化。他建議在能量殼中取一個固定的二維平面（稱為龐加萊截面或截面），並觀察軌跡與該平面相交的點。龐加萊截面將纏繞的金屬絲雕塑簡化為普通平面中的一系列點。
對面所示的是強磁場中高度激發氫原子的龐加萊截面。圖中點分佈非常分散的區域表示混沌行為。這種分散是經典混沌的明顯症狀，它允許人們將系統劃分為P箱或R箱。
裡德堡原子揭示了什麼關於P箱和Q箱之間的關係？我提到過，量子力學系統的一個標誌是其量子化的能級。實際上，能級是尋找量子混沌的首要位置。然而，混沌並不會在任何特定的能級上顯現出來；相反，它的存在體現在能級的譜或分佈中。也許有些自相矛盾的是，在非混沌量子系統中，能級的分佈是隨機的，並且沒有關聯，而混沌量子系統的能級則表現出很強的相關性[見圖]。規則系統的能級通常彼此接近，因為規則系統由完全解耦的較小子系統組成。然而，混沌系統的能級似乎彼此意識到了，並試圖保持安全距離。混沌系統無法分解；沿一個座標軸的運動始終與其他軸的運動耦合在一起。
混沌量子系統的譜最早是由量子力學的另一位早期大師尤金·P·維格納提出的。維格納和其他許多人一樣觀察到，核物理學不具備原子和分子物理學的安全基礎：核力的起源仍然不清楚。因此，他提出了這樣一個問題：是否可以從問題中許多引數具有確定但未知的值的假設中推匯出核譜的統計特性。這個相當模糊的起點使他找到了分佈最可能的公式。法國奧賽核物理研究所的奧里奧爾·博希加斯和瑪麗-喬亞·詹諾尼首先指出，維格納的分佈恰好是混沌動力系統譜的發現。
然而，混沌似乎並不侷限於量子能級的分佈，它甚至滲透到量子世界的波動性質中。氫原子中電子的位置由波模式描述。電子無法在空間中精確定位；它是一個懸浮在質子附近的雲狀塗抹。與每個允許的能級相關的是一個穩態，它是不隨時間變化的波模式。穩態與拉伸在剛性框架上的膜的振動模式非常相似，例如鼓。
華盛頓大學的埃裡克·海勒在 20 世紀 80 年代早期證明，混沌系統的穩態具有令人驚訝的有趣結構。他和他的學生計算了體育場形狀的二維腔的一系列穩態。眾所周知，經典力學中相應的問題是混沌的，因為典型的軌跡會很快相當均勻地覆蓋大部分可用區域。這種行為表明，穩態也可能看起來是隨機的，就好像它們的設計沒有任何韻律或理由。相反，海勒發現大多數穩態都集中在體育場內形成簡單形狀的狹窄通道周圍，他將這些通道稱為“疤痕”[見圖]。在強磁場中的氫原子的穩態中也可以找到類似的結構[見圖]。量子波形的光滑度在點與點之間得以保持，但是當人們退後一步觀察整體影像時，混沌的指紋就會顯現出來。
可以將能量譜的混沌特徵與普通的經典力學聯絡起來。愛因斯坦 1917 年的論文中提供了一個線索，他研究了 R 箱中規則系統的相空間，並將其幾何地描述為充滿了甜甜圈形狀的表面；系統的運動對應於點在特定甜甜圈表面上的軌跡。軌跡以規則的方式繞著甜甜圈表面蜿蜒，但它不一定會閉合自身。
在愛因斯坦的圖中，應用玻爾的對應原理來找到類似量子力學系統的能級很簡單。自然界中唯一可能出現的軌跡是甜甜圈的橫截面積等於普朗克常數 h（角動量基本量子的 2π 倍，其單位是動量乘以長度）的整數倍的軌跡。結果證明，整數倍恰好是指定量子系統中相應能級的數字。
不幸的是，正如愛因斯坦清楚地看到的那樣，如果系統是混沌的，他的方法就無法應用，因為軌跡不在甜甜圈上，也沒有自然的區域來包圍普朗克常數的整數倍。必須尋找一種新的方法來解釋經典力學混沌軌道中量子力學能級的分佈。
經典力學軌跡的哪些特徵可以幫助我們理解量子混沌？希爾關於月球由於太陽的存在而導致的不規則軌道的討論提供了一個線索。他的工作代表了首次在一個困難的力學問題中找到特定的週期軌道。（週期軌道就像一個閉合的軌道，系統在該軌道上執行：它們有很多，儘管它們是孤立的且不穩定的。）靈感也可能來自龐加萊，他強調週期軌道的一般重要性。在他於 1892 年出版的三卷本著作《天體力學新方法》的開頭，他表示相信週期軌道“提供了我們可能滲透進這座被認為堅不可摧的堡壘的唯一入口”。混沌系統的相空間可以組織起來，至少部分圍繞週期軌道組織，即使它們有時很難找到。
1970 年，我發現了一種非常通用的方法來提取關於量子力學譜的資訊，該方法來自經典週期軌道的完整列舉。該方法的數學原理太複雜，無法在此深入探討，但該方法的主要結果是一個相對簡單的表示式，稱為跡公式。包括布里斯托大學的邁克爾·V·貝里在內的許多研究人員現在都使用了該方法，他利用該公式推匯出了光譜的統計特性。
我應用跡公式計算了半導體晶格中電子在其中一個受控雜質附近的最低二十幾個能級。（當然，半導體是現代生活所依賴的奇妙裝置的基礎；由於其雜質，該材料的導電性介於絕緣體（例如塑膠）和導體（例如銅）之間。）電子的軌跡可以用一串符號來唯一地表徵，該符號具有直接的解釋。該字串是透過在半導體中定義一條軸並簡單地記錄軌跡何時穿過該軸而產生的。穿過軸的“正”側得到符號 +，穿過“負”側得到符號 -。
那麼，軌跡看起來完全像拋硬幣的記錄。即使過去的一切細節都已知道，即使所有交叉點都已被記錄下來，未來仍然是完全開放的。可以任意選擇交叉點的序列。現在，週期軌道由一個重複自身的二進位制序列組成；最簡單的這種序列是 (+ -)，下一個是 (+ -)，依此類推（連續兩次具有相同符號的交叉點表示電子暫時被捕獲。）由此列舉所有周期軌道，並且有可能在跡公式的幫助下計算出適當的頻譜。換句話說，量子力學能級是在僅依賴經典力學量的近似中獲得的。
經典週期軌道和量子力學譜透過稱為傅立葉分析的數學過程緊密結合在一起。一組中的隱藏規律以及它們出現的頻率，恰好由另一組給出。威廉瑪麗學院的約翰·B·德洛斯和海德堡馬克斯·普朗克核物理研究所的迪特·溫特根利用這個想法來解釋強磁場中氫原子的光譜。
比勒費爾德大學的卡爾·H·韋爾格和他的同事們對這種光譜進行了實驗工作，他們將氫原子激發到接近電離的程度，此時電子會脫離質子。原子吸收輻射的能量似乎是完全隨機的[見圖]，但是傅立葉分析將混亂的峰轉化為一組分離良好的峰。這裡的重要特徵是，每個分離良好的峰都恰好對應於幾個標準的經典週期軌道之一。龐加萊對週期軌道重要性的堅持現在有了新的意義。不僅相空間的經典組織結構關鍵依賴於經典週期軌道，而且對混沌量子譜的理解也如此。
到目前為止，我只討論了S電子被捕獲或在空間上受限的量子系統。當電子從分子中的原子散射時，在電子可以自由漫遊的原子系統中也存在混沌效應。在這裡，能量不再是量化的，電子可以取任何值，但是散射的有效性取決於能量。
混沌在量子散射中表現為電子在散射過程中暫時被捕獲在分子內部的時間長短的變化。為了簡化問題，可以在二維空間中進行研究。對於電子來說，由四個原子組成的分子就像一個小的迷宮。當電子接近其中一個原子時，它有兩個選擇：它可以向左轉或向右轉。電子穿過分子的每條可能軌跡都可以記錄為一系列圍繞原子的左右轉彎，直到粒子最終出現。所有軌跡都是不穩定的：即使能量或初始接近方向發生微小變化，也會導致電子最終離開分子的方向發生巨大變化。
散射過程中的混沌源於軌跡數量隨路徑長度快速增加的事實。只有從量子力學的角度進行解釋才能得出合理的結果；純粹的經典計算會產生無意義的結果。在量子力學中，每條經典軌跡都被用來定義一個小波，該小波會在分子中找到自己的路徑。量子力學的結果是透過簡單地將所有這些小波相加而得出的。
最近，我做了一個特殊情況的散射過程計算，其中小波的總和是精確的。一個具有已知動量的電子撞擊分子，並以相同的動量出現。電子到達固定監測站的時間隨動量的變化而變化，這種變化的方式是這個問題最引人入勝的地方。到達時間隨著動量的微小變化而波動，但在較大的變化範圍內，會出現一種混沌的印記，這種印記永遠不會穩定到任何簡單的模式。
混沌散射過程的一個特別誘人的方面是它可能將量子混沌的奧秘與數論的奧秘聯絡起來。計算時間延遲直接引出了數學中可能最神秘的物件，黎曼zeta函式。實際上，萊昂哈德·尤拉在 18 世紀中葉首次使用它來證明存在無限多個素數（除了 1 以外不能被任何更小的整數整除的整數）。大約一個世紀後，現代數學的創始人之一伯恩哈德·黎曼利用該函式深入研究了素數的分佈。在他唯一一篇關於該主題的論文中，他用希臘字母zeta稱呼該函式。
zeta函式是複平面中存在的兩個變數 x 和 y 的函式。為了理解素數的分佈，黎曼需要知道zeta函式何時為零。在沒有給出有效論證的情況下，他指出僅當 x 設定為 1/2 時，該函式才為零。大量的計算表明，對於前十億個零點，他的說法是正確的，但沒有數學家能接近提供證明。如果黎曼猜想正確，就可以證明素數的各種有趣的性質。
zeta函式為零的 y 值形成一組數字，這組數字很像原子的能量譜。正如可以研究光譜中能級的分佈一樣，也可以研究zeta函式的零點的分佈。這裡，素數的作用與磁場中氫原子的經典閉合軌道相同：素數表明zeta函式零點之間的一些隱藏相關性。
在散射問題中，zeta函式的零點給出了時間延遲發生強烈變化的動量值。黎曼zeta函式的混沌在最近才被證明的一個定理中特別明顯：zeta函式在區域性適合任何光滑函式。該定理表明，該函式可能描述量子系統可以表現出的所有混沌行為。如果量子力學的數學能夠被更熟練地處理，可能會發現許多區域性平滑但全域性混沌的現象的例子。