幾年前，我為父母寫了一個名為“家長角”的謎題專欄。其想法是讓父母透過謎題來教孩子們一些數學和邏輯。其中一個謎題，叫做“波蘭手算魔法”，是波蘭小學生使用的一種方法，他們只知道如何乘以1到4之間的數字對以及如何加法，就可以計算5到10之間的數字對的乘積。
它是這樣進行的：假設您要計算6乘以8。伸出左手的一根手指來代表6（5 + 1 = 6），然後在右手伸出三根手指來代表8（5 + 3 = 8）。因此，我們將用(|....)表示6，用(|||..)表示8。
我們將按如下方式計算：將伸出的手指加起來（在本例中為1 + 3 = 4），然後將該數字乘以10，得到40。接下來，將彎曲的手指相乘（在本例中為4 * 2 = 8），然後將兩個計算出的數字相加：40 + 8 = 48。因此，6乘以8的乘積為48。
嘗試其他任意一對5到10（包括5和10）之間的數字。例如，6 * 7，手指的設定是(|....)和(||...)。伸出的手指計數為1 + 2 = 3 (得出30)，彎曲的手指計數為4 * 3 = 12 (得出12)，總計為42。
熱身練習
證明這個系統總是有效。
熱身練習的解答
假設您要計算x乘以y。您在左手伸出x - 5根手指，在右手伸出y - 5根手指。這使得左手有10 - x根手指彎曲，右手有10 - y根手指彎曲。計算方法是將伸出的手指乘以10，得出10((x - 5) + (y - 5))，並將彎曲的手指相乘，得出(10 - x)(10 - y)。總和為
10((x - 5) + (y - 5)) + (10 - x)(10 - y)
= 10(x + y - 10) + (10 - x)(10 - y)
= 10x + 10y - 100 + 100 - 10x - 10y + xy
= xy
因此，所有這些操作正好得出我們想要的結果。
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熱身練習解答結束。
現在的問題是如何將此方法擴充套件到10以上的數字。 我有三個挑戰給您
1. 仍然只使用雙手（每隻手代表一個數字），並且只知道如何加減以及如何乘以5以內的數字對，您能設計一種方法來計算10到15之間任意兩個數字的乘積嗎？
提示：請記住，每個這樣的乘積將等於或超過100。
2. 您能否在相同的約束條件下，擴充套件上述方法來計算5到15之間任意兩個數字的乘積？
3. 使用四隻手（每對手代表一個數字），並且只知道如何加減以及如何乘以10以內的數字對，您能設計一種方法來計算0到20之間任意兩個數字的乘積嗎？
數學純粹主義者的請求：在孩子們還小的時候向他們展示這些技巧，但讓他們在學習了一些代數之後再進行證明。