著名且總是衣著光鮮的遊戲節目主持人 Jeff Nicholas 找到了 Jordan 和他的五位對數學有興趣的朋友——Ariana、Bob、Caroline、David 和 Ellen——提出了一個競賽提議。Jordan 和這五位朋友是全能啟發式俱樂部的領軍人物，這是一個由傑出謎題解決者組成的團體。
“我們的競賽是現場直播的，”Jeff 解釋說。“我會蒙上你們五位朋友的眼睛，然後在他們每個人頭上戴一頂帽子，帽子上寫著 1 到 10 之間的數字（可能不止一個人戴著相同的數字），然後帶他們進入一個電視遊戲室。一旦他們到達，我會隨意安排他們圍成一個圈，然後用非常暗但不反光的太陽鏡替換掉他們的眼罩，以消除眼神交流的可能性。
“你和觀眾將透過電視監視器看到他們在遊戲室裡的情況以及他們頭上的數字，但他們看不到你。你將獲得一張藍色票和一張紅色票。你可以要求我將一張票交給五人中的一人。這就是你所能做的全部。不允許敲窗戶，否則你的團隊將被取消資格。”
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“數學家們不得交談或互相示意，否則整個團隊將被取消資格。（顯然，除了送票之外，我不會以任何方式幫助他們）。但是，他們將看到票被送給了誰以及票的顏色，以及其他人帽子上的數字。他們無法看到自己帽子上的數字。”
“當收到我的訊號時，每個人都會伸出一定數量的手指。如果手指的數量與該人帽子上的數字相符，那麼他或她將獲得那麼多千美元。如果他們全部獲勝，那麼你 Jordan 將獲得 5,000 美元。如果有人輸了，那麼你必須給我買一套新的 Armani 西裝。”
“就這些？”Jordan 回答道。“他們從外界獲得的唯一資訊是誰得到了票以及票的顏色？”
“沒錯，”Nicholas 說。“還要記住，每個人都能看到其他人帽子上的數字。雖然沒那麼容易，但我確實想要那套西裝。”
問題
Jordan 是否有可能設計一個協議，使他的每位數學家朋友都能肯定地伸出正確數量的手指？如果可以，請解釋一下。否則，Jordan 和他的朋友們能否以高機率獲勝？
熱身
這裡有一個更簡單的問題，可以讓你瞭解 Jordan 可能設計的協議型別。假設 Jeff Nicholas 被要求在五頂帽子上放上連續的數字（例如 4、5、6、7、8）。那麼 Jordan 可以做什麼？
熱身題解答
Jordan 可以與數學家們約定以下協議。在遊戲開始之前，小組同意 Ariana 代表 1，Bob 代表 2，Caroline 代表 3，David 代表 4，Ellen 代表 5 和 6。（這些預先安排的數字與 Jeff 稍後給他們戴的帽子上的數字無關，你將會看到。）還約定，如果 Jordan 將票送給 Ariana，那麼五頂帽子上的連續數字從 1 開始。如果他將票送給 Bob，則從 2 開始。如果送給 Caroline，則從 3 開始。如果送給 David，則從 4 開始。如果 Jordan 將藍色票送給 Ellen，則從 5 開始，但如果他送紅色票，則從 6 開始。（由於有五個連續的數字，並且最高的可能數字是 10，因此序列不能從高於 6 的任何數字開始。）因此，當 Jordan 送入一張票時，每位數學家都會知道序列中的第一個數字。透過觀察他或她的隊友帽子上的數字，那位數學家可以透過排除法推斷出自己帽子上的數字。
然而，在 Jeff Nicholas 的挑戰中，數字不一定是連續的，甚至不一定都不同。你認為這能做到嗎？提示： 仔細思考所有數學家共享的資訊。