讓我們假設大多數數學讀者會認為理所當然的事情：存在數學物件，例如數字和函式，並且存在關於這些物件的客觀事實，例如 3 < 5 和素數集是無限的。在這種觀點下，真理是平庸的。“3 < 5”為真，因為物件 3 和 5 處於小於關係中，正如“鮑勃比愛麗絲矮”為真，因為鮑勃和愛麗絲處於矮於關係中一樣。
為什麼要費心假設這一點？存在合理的替代方案。我們說：“主教斜著走”是真的，我們說：“夏洛克·福爾摩斯住在貝克街 221B 號”是真的。然而，使它們成真的原因，在一個案例中是約定俗成的規則，在另一個案例中是文學虛構。在我理所當然地接受的觀點中，數學中的真理與通常在物理學中理解的真理沒有什麼不同。當一個命題正確地告訴我們事物客觀上是什麼樣子時，它就是真的。我希望大多數讀者仍然與我同在，儘管到目前為止數學形而上學很平庸。有趣的點在後面。
我們為什麼相信 3 < 5 並且存在無限多個素數？大多數人會說這是一個簡單的問題，答案顯而易見：證明。這裡有一個更難的問題：證明是數學中唯一合法的證據嗎？許多人會說——事實上，他們會大喊——是的，證明且唯有證明是數學證據的來源。證明既是必要的也是充分的。他們可能會補充說，當我們有證明時，我們就知道一個定理是真的，或者當我們缺乏證明時，我們就不知道它是真的——要麼全有要麼全無。
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片刻的反思表明這是完全錯誤的。證明必須從某個地方開始。存在公理、公設或第一原則，它們本身無法在不乞求論題的情況下得到證明。那麼，在算術的情況下，起點，例如皮亞諾公理 (PA)，從何而來？無處。通常它們只是被陳述，然後定理證明才由此而來。如果我們從標準集合論開始，我們確實可以推匯出 PA。但這隻會將我們的問題推後——集合論的公理從何而來？與其追逐無限倒退，不如專注於 PA。對於我們的問題：PA 公理從何而來？有三種相互競爭的答案。
PA 的公理是自明的。柏拉圖主義者喜歡這種假設。
PA 的公理是具有正確結果的猜想。它們暗示了我們獨立相信的事物，並且它們系統化了大量的成果。這與對自然科學的普遍態度相似。我們相信量子力學的原理，因為它們組織經驗並做出各種各樣的可檢驗的預測，而這些預測已被證明是正確的。
PA 的公理是任意的，就像國際象棋的規則一樣。我們透過經驗瞭解到哪些規則玩起來最有趣。沒有一個是客觀真實的。
由於第三個提出的答案忽略了真理的觀念，我們將忽略它。對該問題的第一個和第二個回答各有優點。但也有擔憂。對於自明的觀點，經驗主義哲學家聲稱我們可以用正常的眼睛看到，但不能用“心靈之眼”看到，甚至不能用比喻的方式看到。他們堅持認為，數學知識不能透過直覺或任何其他非經驗方法獲得，因此他們將“自明”丟擲窗外。相比之下，柏拉圖主義者欣然接受這一點，並斷言我們有認知能力來掌握關於（某些）抽象實體的事實。自明性源於這種直覺。
PA 從何而來？對這個問題的第二個回答要求 PA 公理的一些結果是顯而易見的，這使我們回到第一個答案，即我們必須透過直覺知道其中一些結果。第一個和第二個答案都可能是正確的，正如哥德爾所相信的那樣（哥德爾 1947/1964）。然而，這兩個相互競爭的觀點中哪一個正確並不重要；結果是並非所有事物都可以被證明。必須有一個未經證實的起點。順便說一句，我們不必對我們的起點確定無疑。我們僅僅是在談論合理的信念，就像我們在其他領域，比如物理學中一樣。我們在生活的其他任何地方都無法期望確定性，那麼為什麼要在數學中要求確定性呢？
在這一點上，我們可以承認我們的大量無知，並退回到一個較弱的主張：我們不知道任何定理 T 本身是真的，但我們知道 PA → T，而對此的證據確實是一個證明。我想這可以挽救所有數學證據僅僅是證明的觀點，但這要以近乎荒謬為代價。有人真的對 2 + 3 = 5 持不可知論態度，並且只願意同意 PA → 2 + 3 = 5 嗎？
現在證明本身呢？即使我們在任何證明中都沒有犯過錯誤，我們仍然可能大錯特錯。怎麼會這樣？不要在意計算錯誤，這些錯誤幾乎不值得一提，因為它們是完全無趣的錯誤。也許我們錯了，因為我們改變了一個重要的概念。在數字之後，數學中第二個最重要的概念可能是函式。考慮它的歷史。兩個世紀前，人們對函式的普遍理解導致了所有函式都是連續的定理。這個定理的證明沒有任何問題。當然，今天我們會拒絕這個定理，因為我們現在認為函式是兩個集合之間的任意關聯。這允許像狄利克雷函式f(x)這樣完全不連續的實體，它等於 0 或 1，具體取決於 x 是有理數還是無理數。無論證明在邏輯上多麼無可挑剔，都無法使定理免於概念上的改變。當定義被調整時，最嚴格構建的建築也會坍塌，而定義被調整是因為人們有了更好的想法。不用說，我們永遠無法確定地說我們最終得到了概念的正確定義。數學的未來雖然非常穩定，但將永遠是岌岌可危的。
數學理性不僅僅基於證明，無論我們認為證明是什麼。數學家們想知道要研究哪些問題，或者給他們的學生布置哪些問題，以及哪些技術最有可能成功。他們坐在撥款委員會中，評估各種提案的合理性，並資助他們認為有足夠希望的提案。作為一個成就的整體，數學可能完全依賴於證明（正如已經論證的那樣，這非常值得懷疑），但作為一項活動，數學在很大程度上依賴於直覺、合理性和猜想。大多數數學家認為黎曼猜想為真，而 P ≠ NP 為假。他們對自己的信念有充分的理由，但他們沒有證明。重要的是他們有充分的理由，因為這就是指導如此多研究並決定資源去向的原因。另一種選擇是憑一時興起做出選擇。
現在我們有三個不同的理由認為證明（正如通常理解的那樣）只是數學發展故事的一部分。首先，證明需要一個未經證實的起點。其次，我們可能正在證明關於錯誤概念的事物。第三，一個所謂定理的某些證據指導了可能導致證明的研究，但該證據本身並不是該定理的證明。我們應該如何理解這一點？
蒂莫西·高爾斯在不同的地方對數學哲學進行了有趣而廣泛的寫作。他對證據的看法被概括為一個適合保險槓貼紙的口號：證明 = 解釋 + 保證。
高爾斯本人和那些討論過他工作的人都專注於“解釋”，這在數學和哲學中是一個非常有趣和重要的概念。證明提供了定理為真的證據，但一些證明也產生了對正在發生的事情的洞察力。當高爾斯討論解釋時，他試圖理解這種現象。然而，我將採取不同的方法：我將專注於“保證”，高爾斯和其他人認為這是表明定理肯定為真的證據。關於存在無限多個素數的正確證明是對這一事實的保證。正如通常設想的證明一樣，我們不能要求比這種保證更好的東西了。這是黃金標準。自然科學沒有希望與之匹敵。
然而，還有另一種“保證”的含義在普遍使用。一個新的烤麵包機帶有保證。這並不是承諾它會完美執行。相反，這僅僅是承諾它會工作或者會被修理或者被更換或者我們的錢將被退還。這種替代意義上的保證可能有助於理解數學活動。考慮到這一點，讓我跳到主要論點：證明 = 解釋 + 保證（在烤麵包機的意義上）。
為了使這一點合理，我們需要一個重要的假設：數學是自我糾正的。我們不假設自然科學是不會犯錯的，但我們假設當我們犯錯時，我們最終會發現並糾正我們過去的錯誤，並在這樣做時，我們繼續取得進步。簡而言之，進步不是單調的。我不想掩蓋這個假設的重要性。國際象棋規則會不時更改，但在任何意義上它都沒有朝著真理的方向進步，儘管它可能在更有趣、更具挑戰性等方面取得進步。我假設當前的集合概念比導致悖論的概念更好，並且當前的函式概念比早期版本更好，而不僅僅是品味或時尚的變化。
在我們以這種方式看待證明之後，我們可以開始更友善地看待數學內部的其他形式的證據。這是我的替代方案：證明（證據）是烤麵包機意義上的保證，而不是高爾斯意義上的保證。證明是一個好的賭注，但它並沒有給我們確定性。如果它失敗了，我們可以（最終）修復它、更換它或撤回它。最後一種相當於退還您的錢並承認產品完全有缺陷。
證明（證據、保證）可以來自多種來源。
當然，推導，這是每個人都認可的
圖表、圖片、思想實驗
計算機證明
統計分析
物理類比
證明可能會失去其“保證”狀態，或者至少使其保證減弱。這可能發生在各種情況下。
發現反例。定理將被撤回（您將獲得退款）。
發現連貫的替代方案（例如，非歐幾里得幾何）破壞了先前接受的自明公理的地位。
概念上的改變（更改函式的定義，您就會破壞所有函式都是連續的定理。）
物理學的新發現破壞了先前接受的類比。
在計算機證明中使用的軟體中發現錯誤。
一些例子將說明並可能有助於說明情況。
這是一個眾所周知的結果的圖片證明。
定理：1 + 2 + 3 + … + n = n2/2 + n/2。
證明是下圖
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我將其留給讀者來弄清楚它是如何工作的。請注意，即使圖表是特殊情況 n = 5，在我們掌握證明後，我們也會看到它適用於所有 n。我發現這個圖片證明與數學歸納法的證明一樣具有說服力。
我不會費心進行計算機證明。它們是眾所周知的，從四色定理的證明開始。即使那些不喜歡計算機證明的整個想法的人也會承認計算機生成的有價值的資料。例如，我們現在知道哥德巴赫猜想成立，直到 4 x 1018。
孿生素數猜想說：存在無限多個數 p，使得 p 和 p + 2 都是素數。對此沒有標準證明，但有一個簡單且相當令人信服的論證來證明其正確性。素數的分佈似乎是隨機的，並且有無限多個素數。因此我們應該期望它們一次又一次地出現，間隔任意距離，包括間隔兩個數字。因此，存在無限多個孿生素數。當然，這個證明只是烤麵包機意義上的保證。
物理類比有很多種。鴿巢原理說，如果 n + 1 只鴿子分佈在 n 個鴿巢中，那麼一個巢中至少有兩隻鴿子。它可以從集合論中推匯出來，但沒有人會說在看到這樣的證明後他們的信心增加了。物理類比完全令人信服。還有更復雜的例子，例如映象對稱性。物理學家發現了物理上等價的弦理論，可以用彼此映象的卡拉比-丘流形來建模。數學家最初持懷疑態度，但已被說服接受這種映象對稱性的存在。
這些問題並不新鮮。當四色定理在 1970 年代被證明時，數學家、哲學家和計算機科學家之間進行了大量的激烈討論。幾年前，數學家和理論物理學家之間就合法方法進行了另一次激烈的討論。（參見 Jaffe 和 Quinn 1993，Atiyah 等人 1994 和 Thurston 1994。）這些交流將數學的某些部分視為理所當然，然後討論如何從那裡繼續下去。計算機證明或物理類比是數學證據的合法形式嗎？這些都是有趣的問題，遠未解決。他們忽略甚至認為是理所當然的是起點本身，即未經證實的公理和第一原則，它們是標準證明（即推導）的出發點。一旦我們意識到第一原則或公理不能以完全確定的意義得到保證，那麼我們必須承認它們只能以烤麵包機意義上的保證得到保證。當我們意識到這一點時，我們必須進一步承認，想要高爾斯式的保證、適用於易錯公理的萬無一失的證明技術是沒有道理的。簡而言之，一切都像烤麵包機一樣。
我想以一個坦白來結束。我對我所到達的地方感到有些不安。我計劃得少了，但在我們承認初始公理或其他第一原則的易錯性，並且我們也承認中心定義可以有不斷演變的歷史之後，就很難踩剎車了。所有其餘的都自然而然地隨之而來，我承認，這可能會令人不安。但它也可能是解放性的。
經《數學情報員》許可轉載。