素數之間存在深刻聯絡的證明被聲稱

來自Nature 雜誌

通常平靜的數學界因一項聲稱數論中最重要的問題之一已被解決的訊息而沸騰。

日本京都大學的數學家望月新一發布了一份500頁的abc猜想證明，該猜想提出了整數之間的關係——一個“丟番圖”問題。

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abc猜想由David Masser和Joseph Oesterle於1985年獨立提出，可能不如費馬最後定理那樣為更廣泛的世界所熟知，但在某些方面它更重要。“如果abc猜想被證明為真，它將一舉解決許多著名的丟番圖問題，包括費馬最後定理，”紐約哥倫比亞大學的數學家多里安·戈德菲爾德說。“如果望月新一的證明是正確的，那將是二十一世紀數學最令人震驚的成就之一。”

與費馬定理類似，abc猜想指的是a+b=c形式的方程。它涉及無平方數概念：即不能被任何數的平方整除的數。15和17是無平方數，但16和18——分別能被4²和3²整除——不是。

數字n的“無平方”部分，sqp(n)，是可以由n的質因數相乘形成的最大無平方數。例如，sqp(18)=2×3=6。

如果您理解了這一點，那麼您應該就理解abc猜想了。它關係到三個整數 axbxc 或 abc 的乘積的一個性質——更具體地說，是這個乘積的無平方部分，它涉及到它們不同的質因數。它指出，對於整數 a+b=c，對於任何大於 1 的 r 值，sqp(abc)^r/c 的比率總是具有某個大於零的最小值。例如，如果 a=3 且 b=125，因此 c=128，那麼 sqp(abc)=30 且 sqp(abc)²/c = 900/128。在這種情況下，當 r=2 時，sqp(abc)^r/c 幾乎總是大於 1，並且總是大於零。

深刻聯絡
事實證明，這個猜想概括了許多其他丟番圖問題，包括費馬最後定理（該定理指出，如果 n>2，則 aⁿ+bⁿ=cⁿ 沒有整數解）。像許多丟番圖問題一樣，這都與素數之間的關係有關。加利福尼亞州斯坦福大學的布賴恩·康拉德表示，“它編碼了 a、b 和 a+b 的質因數之間的深刻聯絡”。

許多數學家花費了大量精力試圖證明這個猜想。2007年，法國數學家呂西安·斯皮羅，他1978年的工作首先促成了abc猜想的提出，聲稱已經證明了它，但很快就被發現是有缺陷的。

與斯皮羅一樣，也像1994年證明費馬最後定理的英國數學家安德魯·懷爾斯一樣，望月新一使用橢圓曲線理論——由y²=x³+ax+b這類代數關係生成的平滑曲線——來解決這個問題。

然而，望月新一的工作與先前努力的關係就到此為止了。他開發了極少數其他數學家完全理解的技術，並呼叫了新的數學“物件”——類似於更熟悉的例子（如幾何物件、集合、排列、拓撲和矩陣）的抽象實體。“在這一點上，他可能是唯一一個知道所有內容的人，”戈德菲爾德說。

康拉德說，這項工作“使用了大量的見解，這些見解需要很長時間才能被學術界消化”。該證明分佈在四篇長論文^1–4中，每篇論文都基於早期的長論文。“理解一個冗長而複雜的證明可能需要大量的時間投入，因此其他人這樣做的意願不僅取決於公告的重要性，還取決於作者的過往記錄，”康拉德解釋說。

望月新一的過往記錄無疑使這項努力值得付出。“他過去已經證明了極其深刻的定理，並且他的寫作非常透徹，這提供了很大的信心，”康拉德說。他補充說，回報將不僅僅是驗證這一說法。“令人興奮的方面不僅在於猜想現在可能已被解決，而且他必須引入的技術和見解應該是非常強大的工具，可以用來解決未來數論中的問題。”

本文經《自然》雜誌許可轉載。這篇文章最初發表於2012年9月10日。