當我在為一個孩子的生日尋找禮物時，一本數學書落入我的手中。當作者為孩子們撰寫關於抽象科學主題的文章時，我總是感到著迷，無論是關於阿爾伯特·愛因斯坦的理論、瑪麗·居里的生平、技術還是太空旅行。但這本書很特別。它完全是關於素數——特別是孿生素數。丹麥作家揚·埃格斯堡一直致力於向孩子們介紹數論中最棘手的未解問題之一，即使是最聰明的人也一次又一次地未能解決這個問題，時間超過 100 多年：孿生素數猜想。
正如數學中經常出現的情況一樣，這個猜想屬於那些容易理解但又異常難以證明的範疇。孿生素數是數軸上距離為 2 的兩個素數；也就是說，如果你忽略偶數，它們是直接連續的。例如 3 和 5、5 和 7 以及 17 和 19。你可以在小數字中找到很多孿生素數，但是你沿著數軸向上走得越遠，它們就變得越稀有。
鑑於素數在大數中越來越稀有，這並不奇怪。然而，自古代以來，人們就知道存在無限多個素數，而孿生素數猜想也指出存在無限多個孿生素數。這意味著無論考慮的值有多大，在奇數中總會有直接連續的素數。
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誠然，為孩子們翻譯這些概念並非易事（這就是為什麼我如此尊敬埃格斯堡和他的兒童讀物）。素數（2、3、5、7、11、13...）就像自然數的基石。它們只能被 1 和自身整除。所有其他自然數都可以分解為它們的素數因數，這使得素數成為數學世界的基本構建塊。
來自古代的證明
數學擁有無限數量的素數構建塊。歐幾里得在 2000 多年前用一個簡單的思想實驗證明了這一點。假設只有有限數量的素數，其中最大的是 p。在這種情況下，可以將最多到 p 的所有素數相乘。
在這種情況下，你可以將最多到 p 的所有素數彼此相乘，然後加 1：2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x p + 1。結果不能被任何現有的素數整除。這意味著數字 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x p + 1 要麼是素數，要麼有一個不出現在原始 2、3,..., p 素數中的素數因子。因此，任何有限的素數列表永遠不可能完整；總是可以構建額外的素數。由此可見，素數有無限多個。
然而，並非所有關於素數的謎團都已解開。特別是它們在數軸上的分佈仍然是一個謎。儘管我們知道素數在大數中出現得越來越少，但無法確切地指定它們的分佈方式。
原則上，一個素數和下一個素數之間的平均距離是值 ln(p)。對於小數字 p = 19，這對應於 ln(19) ≈ 3。對於大素數 2,147,483,647，距離約為 22。對於巨大的值 531,137,992,816,767,098,689,588,206,552,468,627,329,593,117,727,031,923,199,444,138,200,403,559,860,852,242,739,162,502,265,229,285,668,889,329,486,246,501,015,346,579,337,652,707,239,409,519,978,766,587,351,943,831,270,835,393,219,031,728,127（也是一個素數），距離約為 420。
正如這些例子所示，素數之間的平均距離隨著 p 的大小而增加。而這一事實使得孿生素數（它們之間具有最小可能的距離，除了 2 和 3 之外）對數論學家來說如此有趣。隨著素數之間的平均距離增加，可能在某個點之後就不再有孿生素數了。然而，大多數專家認為不然。他們推斷，為什麼在數軸上應該存在一個特定的點，從該點開始突然不再出現孿生素數？是什麼讓這個點如此特別？數論學家假設，即使這些孿生素數變得越來越稀有，你最終總會遇到另一對。
迄今為止的計算機計算似乎支援這種觀點。迄今為止發現的最大一對孿生素數是：2,996,863,034,895 x 21,290,000 + 1 和 2,996,863,034,895 x 21,290,000 – 1，這兩個數字都有 388,342 位數字。然而，計算機輔助搜尋永遠無法證明存在無限多個孿生素數。需要更強大的策略。
一個意想不到的驚喜
一位鮮為人知的數學家在 2013 年交付了這一成果。張益唐此前在極少數專家中是家喻戶曉的名字——但隨後他發表了一篇論文，在數論界引起了轟動。他未能證明孿生素數猜想，但證明了一些接近它的東西，這比自 19 世紀提出孿生素數猜想以來任何人取得的進展都更大。
張益唐證明，存在無限多對 (p, p + N) 型別的素數對，它們之間的距離 N 小於 7000 萬。如果他能夠證明他的結果適用於 N = 2，孿生素數猜想就會得到證明。相反，張益唐證明，在所有距離小於 7000 萬的素數對中，至少存在一種配對 (p, p + N) 會無限頻繁地出現。
這個證明是一個巨大的進步，因為數學家不僅對孿生素數感興趣，而且對其他型別的素數對也感興趣，例如距離為 4 的素數對（例如 3 和 7 或 19 和 23），即所謂的表親素數，或距離為 6 的素數對（例如 5 和 11 或 11 和 17），即所謂的性感素數。總的來說，尚不清楚這些配對中的任何一種是否存在無限多個。
張益唐使用數學家稱之為素數篩法的方法取得了這一驚人的成果。這些結構可以想象成一個真正的篩子：你把所有的自然數都倒進去，然後過濾掉所有不是素數的值。這個想法以古希臘學者和數學家埃拉託斯特尼的名字命名，儘管關於它的第一個已知的書面記錄來自他生活之後的幾個世紀。它涉及一個自然數列表，其中刪除每個偶數值（除了 2），然後刪除所有 3 的倍數、5 的倍數等等，這樣最後只剩下素數。
透過逐個遍歷所有自然數並消除它們的倍數（數字本身除外），最終只會剩下素數。
Amanda Montañez
儘管埃拉託斯特尼篩法是精確的，但從數學的角度來看，它很難應用於具體問題。在大多數情況下，使用這種方法來證明關於素數的一般陳述似乎是無望的。因此，張益唐轉向了另一種篩法，這種篩法只篩選出具有大素數因子的數字。儘管這種篩法不如其他篩法有效，但它允許足夠的靈活性來進行廣泛的證明。張益唐多年來一直單槍匹馬地研究孿生素數猜想——數論實際上並不是他的研究領域的一部分。
這種堅持得到了回報：張益唐證明，至少存在一種距離小於 7000 萬的素數對，它會無限頻繁地出現。而下一個突破也很快到來。
來自世界各地的數論學家蜂擁而至張益唐的成果，並試圖改進它。建立了一個聯合專案，許多專家加入進來。透過最佳化張益唐的方法，他們能夠減小素數對之間最大距離 N，以儘可能接近 2。在幾個月內，他們證明，至少存在一種最大距離為 4,680 的素數對，它會無限頻繁地出現。大約在同一時間，兩位菲爾茲獎章獲得者，陶哲軒和詹姆斯·梅納德，獨立開發了一種改進的篩法，使他們能夠將結果縮小到 246，這是迄今為止的未被打破的記錄。
具體而言，這意味著如果你檢視所有距離介於 N = 2 和 N = 246 之間的素數對 (p, p + N)，那麼至少存在這樣一對會無限頻繁地出現。然而，篩法無法推廣到將結果推低至 N = 2。
儘管如此，這些結果標誌著在一個讓許多專家感到困惑的領域取得了意想不到的進展。梅納德在 Numberphile YouTube 影片中明確地指出：“這是關於素數有趣且令人沮喪的事情之一：通常很清楚正確的答案應該是什麼……。遊戲始終試圖排除素數之間存在某種非常奇怪的陰謀，這將意味著它們的行為方式與我們認為它們應該表現的方式截然不同。”
當然，埃格斯堡不可能在他的關於這個主題的兒童讀物中包含所有這些細節。儘管如此，他還是設法寫了一本書，以一種有趣的方式傳達了一些數學概念。
我買了這本書，並在孩子的生日那天送給了他——而且。他的父母后來告訴我，他非常喜歡這本書。然而，正如我後來發現的那樣，這與其說是數學內容的結果，不如說是一隻青蛙在第一頁放了個響屁的事實。
本文最初發表於《Spektrum der Wissenschaft》，並經許可轉載。