兩位數學家在質數中發現了一種奇怪的模式——表明這些數字的分佈並不像理論家經常假設的那樣隨機。
“我們告訴過的每個人最終都會編寫自己的計算機程式來親自驗證這一點，”加州斯坦福大學的數學家坎南·桑達拉拉揚說，他與同事羅伯特·萊姆克·奧利弗在一篇提交給 arXiv 預印本伺服器的論文中報告了這一發現，論文於 3 月 11 日提交。“這真是一個驚喜，”他說。
數學家們說，彼此靠近的質數傾向於避免重複它們的最後一位數字：也就是說，以 1 結尾的質數比人們從隨機序列中預期的更不可能緊隨其後的是另一個以 1 結尾的質數。“當我看到這些數字時，我就能看出這是真的，”英國牛津大學的數學家詹姆斯·梅納德說。“這是一個非常好的結果。”
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儘管質數在許多應用中使用，例如密碼學，但就桑達拉拉揚和萊姆克·奧利弗所知，這種“反同性”偏差沒有實際用途，甚至對數論也沒有更廣泛的意義。但是，對於數學家來說，這既奇怪又令人著迷。
並非如此隨機
一個明確的規則決定了什麼構成質數：它是一個不能被 1 和自身以外的任何數整除的整數。但是質數的出現沒有可辨別的模式。除了顯而易見的——在數字 2 和 5 之後，質數不能是偶數或以 5 結尾——似乎幾乎沒有結構可以幫助預測下一個質數將在哪裡出現。
因此，數論家發現將質數視為“偽隨機”序列很有用，就好像它是由隨機數生成器建立的一樣。
但是，如果序列是真正隨機的，那麼最後一位數字為 1 的質數之後，應該有四分之一的時間是另一個以 1 結尾的質數。這是因為在數字 5 之後，質數的最後一位數字只有四種可能性——1、3、7 和 9。根據 19 世紀末左右證明的一個定理，這些數字在所有質數中平均分佈，這是我們理解質數分佈的大部分基礎的結果之一。（另一個是質數定理，它量化了隨著數字變大，質數變得多麼稀有。）
相反，萊姆克·奧利弗和桑達拉拉揚發現，在前十億個質數中，以 1 結尾的質數之後約有 18% 的時間是另一個以 1 結尾的質數，約 30% 的時間是 3 或 7，22% 的時間是 9。當他們從以 3、7 或 9 結尾的質數開始時，他們發現了類似的結果：變化，但重複的最後一位數字最不常見。偏差持續存在，但隨著數字變大而緩慢減小。
k 元組猜想
數學家們能夠證明，如果一個被廣泛接受但未經驗證的陳述（稱為哈代-李特爾伍德 k-元組猜想）是正確的，那麼他們看到的模式對所有質數都成立。這比質數均勻分佈的基本假設更精確地描述了質數對、三元組和更大的質數簇的分佈。
其背後的想法是，存在一些不可能出現的質數配置，這使得其他簇更有可能出現。例如，連續的數字不能同時為質數——其中一個總是偶數。因此，如果數字 n 是質數，那麼 n + 2 為質數的可能性比隨機機會表明的略高。 k-元組猜想在一個適用於所有型別質數簇的通用陳述中量化了這一觀察結果。透過研究這個猜想，研究人員展示了它如何暗示重複的最後一位數字比隨機機會表明的更罕見。
乍一看，這似乎是因為 10 的倍數（20、30、100 等）質數之間的間隙不受歡迎。但這一發現變得更加普遍——甚至更加奇怪。質數的最後一位數字是它除以 10 時的餘數。但數學家們發現，反同性偏差適用於任何除數。以 6 為例。所有質數除以 6 時，餘數都為 1 或 5（否則，它們可以被 2 或 3 整除），並且這兩個餘數在所有質數中平均分佈。但研究人員發現，當除以 6 時餘數為 1 的質數更可能緊隨其後的是餘數為 5 的質數，而不是另一個餘數為 1 的質數。因此，從以 6 為中心的角度來看，6 的倍數的間隙似乎不受歡迎。
矛盾的是，檢查每個可能的除數都會讓人覺得幾乎所有的間隙都不受歡迎，這表明必須有一種比簡單地計算受歡迎和不受歡迎的間隙更微妙的解釋在起作用。“這完全是一件奇怪的事情，”桑達拉拉揚說。
神秘現象
研究人員已經檢查了高達數萬億的質數，但他們認為他們必須呼叫 k-元組猜想來證明該模式持續存在。“我不知道如何在不假設它的情況下可能提出正確的猜想，”萊姆克·奧利弗說。
如果不假設諸如 k-元組猜想和備受研究的黎曼猜想等未經證實的陳述，數學家對質數分佈的理解就會枯竭。“我們知道的非常少，令人尷尬，”萊姆克·奧利弗說。例如，在不假設 k-元組猜想的情況下，數學家已經證明最後一位數字對 1-1、3-3、7-7 和 9-9 無限頻繁地出現，但他們無法證明其他對也出現。“具有諷刺意味的是，根據我們的工作，其他對應該更常見，”萊姆克·奧利弗說。
他和桑達拉拉揚覺得他們要深入理解這種現象還有很長的路要走。每個人都有一個心愛的理論，但沒有一個真正令人滿意。“它仍然讓我們感到困惑，”桑達拉拉揚說。
本文經許可轉載，並於 2016年3月14日首次發表。