1984年一個星期六的早晨，當時肯·小野還在讀高中，他在巴爾的摩打開了家裡的郵箱，發現一個薄如宣紙的信封，上面貼滿了色彩鮮豔的郵票。信封是寄給他父親的，他是一位性格內向的日本數學家。當小野把郵件遞給他時，小野的父親從他一直在上面亂寫方程的黃色法律用紙上抬起頭，放下了他的圓珠筆。他小心翼翼地撬開封口，展開了裡面的信。
“尊敬的先生，”信的開頭寫道。“據我所知……您為紀念我已故丈夫的雕塑做出了貢獻……我為這件事感到高興。” 信末署名“S. 賈納基·安瑪爾”，紅墨水印的信頭表明她是“（已故）斯里尼瓦薩·拉馬努金（數學天才）”的遺孀。
那是年輕的小野第一次聽說傳奇人物拉馬努金。這位來自印度的自學成才的數學天才，大約在一個世紀前提出了“似乎難以置信”的神秘主張，他的英國合作者戈弗雷·哈羅德（“G. H.”）·哈代曾寫道。然而，他的工作啟發了全新的數學領域，並暗示了一些理論，這些理論在幾個案例中為他們的發明者贏得了菲爾茲獎——數學界的諾貝爾獎。
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當小野學習成為一名數學家時——他現在是埃默裡大學數論教授——他從來沒有理由過多關注拉馬努金。據他所知，“數學天才”並沒有為小野在數論、模形式——因其非凡的對稱性而備受推崇的抽象二維物件——方面的專長留下新的見解。
1998年，當小野29歲時，拉馬努金以重要的方式重新出現在他的生活中。在編纂這位天才著作的選集時，伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校的數學家布魯斯·C·伯恩特發現了一份基本上被忽視的手稿。由於該論文涉及模形式，伯恩特給小野發了一份數字掃描件，認為他或許能夠解讀一些奇怪的主張。
在文字的三分之二處，小野停了下來。拉馬努金用整潔的小學生字型寫下了六個大膽的數學陳述，即使它們觸及了他的專業領域，在小野看來也完全是匪夷所思的。
小野驚呆了。他確信這些陳述是錯誤的。“我看了看它們，然後說，‘不可能。這簡直是胡說八道。’”
他的第一反應是試圖證明拉馬努金是錯的。
不可或缺的一部分
拉馬努金是如何想到他寫下的許多數學的，這仍然是一個謎。他用一本過時的英語輔導書自學，並在20多歲時，當他擔任政府職員時，開始在給英國數學家的信中傳播他的想法。他收到了一封回信。這封信來自哈代，當時是一位嶄露頭角的教授，他邀請拉馬努金來劍橋與他一起工作。在國外僅僅三年後，拉馬努金在第一次世界大戰的食物短缺期間病倒了。他骨瘦如柴，發著高燒，返回印度，並於1920年去世。享年32歲。
除了37篇已發表的論文外，拉馬努金還留下了一個小型圖書館，裡面有信件、部分完成的手稿和三個皮革裝訂的筆記本。哈代和其他人檢查了這些資料，發現他重新發現了經典定理——關於數字如何運作的規則——這些定理最初是由各自領域的頂尖數學家記錄下來的。拉馬努金還注意到更多其他人沒有看到的模式。一位受過訓練的數學家會知道用證明來支援每一項發現，這是一系列邏輯論證，可以使她的同事或他的同事信服其真實性。但拉馬努金並沒有費心。他一頁又一頁地寫滿了定理和計算的冗長列表，這些定理和計算是他自己在腦海中或在黑板上算出來的，很少停下來解釋他是如何得出這些結論的。僅這三個筆記本就包含了3000多個關於數字本質的結論，自拉馬努金去世以來，數學家們一直在努力證明或證偽這些結論。
伯恩特在20世紀70年代開始挖掘拉馬努金的檔案。二十多年後，他仍然在做這件事，當時他看到了那份手稿，其中有六個引人注目的陳述——小野決心證明這些陳述是錯誤的。它們在模形式和所謂的分割數之間建立了聯絡，分割數是一系列整數（即整數），代表了將較小的整數加起來得到你開始的整數的所有方法。分割數來自分割函式，分割函式像任何函式一樣，描述了兩個事物之間的關係：它接受給定的輸入 x 並輸出相應的輸出 f(x)。分割函式 p(n) 計算正整數的組合，這些組合的和為給定的整數 n。例如，p(4) 是 5：1 + 1 + 1 + 1、1 + 1 + 2、2 + 2、1 + 3 和 4。
分割函式和它生成的數字似乎很簡單，但幾個世紀以來，理論家們一直在努力尋找這些數字之間的模式，以便他們能夠預測它們、計算它們或將它們與其他函式和定理聯絡起來。拉馬努金做出了最早的真正突破之一。他和哈代一起設計了一種快速逼近分割數的方法。為了檢驗他們近似值的準確性，他們邀請了一位退休的英國炮兵和計算奇才珀西·亞歷山大·麥克馬洪（又名麥克馬洪少校）手工計算出前200個分割數。事實證明，拉馬努金和哈代的近似值非常精確。更重要的是，研究麥克馬洪的列表使拉馬努金得出了他最著名的觀察結果之一。麥克馬洪將 p(n) 的值從 n = 0 開始，排列成五列。拉馬努金注意到，最後一列中的每個條目——也就是說，從 p(4) 開始的每第五個分割數——都可以被 5 整除，並且他證明了這種模式會永遠持續下去。這是一個令人震驚的啟示。請記住，分割是關於加數字。沒有人想到它們可能具有涉及除法的性質。
拉馬努金看到還有更多像這樣的模式。例如，他證明了從 p(5) 開始的每第七個分割數都可以被 7 整除。同樣，從 p(6) 開始的每第 11 個分割數都可以被 11 整除。神秘的是，“拉馬努金同餘”就此止步。“對於涉及除這些質數以外的任何模數，似乎都沒有同樣簡單的性質，”拉馬努金在 1919 年的一篇論文中寫道，他指的是質數 5、7 和 11。
在他去世後，數學家們想知道分割是否可能有一些不太簡單的性質，他們試圖找到這些性質。然而，到20世紀90年代末，他們還沒有挖掘出超過少數幾個涉及看似隨機的質數和質數冪的額外同餘，包括 29、17
3 和 236。他們開始懷疑這樣的模式是不可預測的——而且非常非常罕見。
然而，在研究了拉馬努金手稿中那些早已過時的六個陳述後，小野震驚地意識到，這些懷疑可能非常非常錯誤。數學家們長期以來一直認為分割數只與模形式的一小部分子集有關。令小野困惑的是，拉馬努金的六個陳述以一種無人預料到的深刻方式將這兩個領域聯絡起來。
由於拉馬努金沒有記錄證明，小野無法直接識別這位天才思想過程中的錯誤。因此，他決定將一些數字代入拉馬努金在陳述中包含的公式，希望這些例子可能會揭示一些缺陷。然而，這些公式每次都有效。“天哪！”小野對自己說。他意識到拉馬努金一定是正確的，“因為除非你知道那個公式為什麼總是正確的，否則你不可能有足夠的創造力來編造出這樣的東西，並且讓它100次都是真的。” 然後他閉上眼睛，認真思考拉馬努金理解了什麼，而其他人沒有理解。
小野知道模形式“到處都是同餘”——拉馬努金在分割數中發現了一些例項的那些相同的可除性模式。當小野思考這六個陳述時，他突然想到，如果他將分割函式視為偽裝的模形式，他就可以證明它們是正確的。
另一個想法緊隨其後：他意識到，他大聲笑了起來，他開發的關於模形式的理論可以成為強大的工具，不僅可以驗證拉馬努金的天才，還可以挖掘關於分割函式的更深層次的秘密，只需做一些調整。“這有點像得到了一架精美的新望遠鏡，”小野回憶道。“一旦你有了它，如果你開始掃描太空——在這個太空裡，星星是分割數——你會看到那裡有很多很多的星系。”
透過這種方式，小野能夠證明分割同餘根本不罕見。數學家們一直認為，除了 5、7 和 11 之外，幾乎沒有其他同餘。但事實上，正如小野發現的那樣，有無限多個。
小野的同行們稱讚這一發現具有突破性。然而，他並不滿意。即使他可以證明分割同餘無處不在，他也無法告訴你去哪裡找到它們。如果你按順序排列分割數，你可能想知道同餘出現的頻率。如果你看到了一個，你能預測什麼時候會看到下一個嗎？小野一無所知。
當一個問題難倒小野時，他拒絕痴迷地在腦海中咀嚼它，直到它像舊口香糖一樣沒有彈性。相反，他把它和其他未解決的問題一起存檔在腦海中，直到它重新浮出水面。關於如何預測分割同餘的問題沉寂了五年，直到博士後研究員扎卡里·A·肯特在2010年春天來到埃默裡大學。這個問題只是在一天談話中突然出現，很快他們就一直在談論它——在他們的辦公室裡，在咖啡館裡，以及在亞特蘭大北部樹林中的一次長途跋涉中。
他們一點一點地在腦海中構建了一個迷宮般的上層建築，可以將分割數整齊地排列在其中。他們使用一種理論裝置發現了這種組織，數學家稱之為運算元。他們選擇的特定運算元取任意質數（比如 13），選擇該質數的冪（13
2, 133 等等），並將它們除以分割數。令人難以置信的是，它吐出的數字遵循分形結構——它們在不同的尺度上以幾乎相同的模式重複，就像雪花的枝杈一樣。這個結果表明，分割數不僅僅是一個隨機的數字序列，其中偶然散佈著對稱性。相反，小野說，這些數字具有“美麗的內在結構”，這使得它們可預測，並且更令人著迷。
小野、肯特和他們的合作者、耶魯大學的阿曼達·福爾瑟姆花了幾個月的時間才解決了他們新理論中的所有缺陷。但最終，他們能夠證明分割同餘以可計算的方式出現。它們存在於每個質數和每個質數冪。然而，超過 11 之後，模式變得更加複雜，這可能就是拉馬努金從未研究出它們的原因。
小野和他的合作者在2011年在埃默裡大學專門召開的研討會上展示了他們的發現。之後，祝賀資訊湧入了小野的收件箱。“這是一個戲劇性和令人驚訝的發現，”賓夕法尼亞州立大學的分割專家喬治·E·安德魯斯說。“我認為即使是拉馬努金也無法夢想得到它。”
美麗的答案
調查拉馬努金的見解使小野獲得了其他啟示，這些啟示有一天可能會在數學以外的領域發揮作用。透過將拉馬努金的先見之明與現代數學相結合，小野和他的同事們設計了強大的計算工具。除了促進純數學的理解之外，這些工具還可以為更好地加密計算機資料和研究黑洞鋪平道路。
小野與德國達姆施塔特工業大學的揚·布魯尼耶合作，構建了一個用於快速準確計算大分割數的公式——拉馬努金從未獲得的聖盃。小野稱這個計算器為“預言機”。他說，除了計算分割數之外，它還可以用於研究某些型別的橢圓曲線——看起來有點像甜甜圈表面的幾何物件。
密碼學家使用橢圓曲線來建立用於加密計算機資料的演算法。這些方案的成功取決於它們生成及時解決不了的數學難題的能力。例如，一種名為 RSA 的通用演算法依賴於分解兩個非常大的質數的乘積的難度。較新的方法使用橢圓曲線上的點，這些點的關係更難辨別。如果預言機或相關發現能夠揭示其他更難以捉摸的聯絡，密碼學家可能會利用這些知識來設計更強大的加密系統。
小野的工作還揭示了拉馬努金數學遺產中最偉大的謎團之一。在去世前三個月，拉馬努金因發燒和疼痛臥床不起，匆匆給英國的哈代寫了最後一封信。“我非常抱歉，至今沒有給您寫過一封信，”他寫道。“我最近發現了一些非常有趣的函式，我稱之為‘偽’西塔函式……它們像普通的西塔函式一樣優美地進入數學領域。”
西塔函式本質上是模形式。拉馬努金推測，有可能描述新的函式——偽西塔函式——它們看起來一點也不像模形式，但在稱為奇點的特殊輸入處表現相似。接近這些點時，函式的輸出會膨脹到無窮大。例如，考慮函式 f(x) = 1/x，它在 x = 0 處有一個奇點。當輸入 x 越來越接近 0 時，輸出 f(x) 會無限增大。模形式有無數個這樣的奇點。拉馬努金直覺地認為，對於每個這樣的函式，都存在一個偽西塔函式，它不僅具有相同的奇點，而且在這些點產生的輸出也以幾乎完全相同的速率趨於無窮大。
直到 2002 年，一位荷蘭數學家桑德·茨韋格斯才正式定義了偽西塔函式，他使用了拉馬努金去世幾十年後形成的觀點。然而，數學家們仍然無法解釋拉馬努金關於這些函式在其奇點處模仿模形式的斷言。
小野和布魯尼耶的預言機背後的機制最終解決了這個難題。小野與福爾瑟姆和斯坦福大學的羅伯特·羅茲一起，使用它推匯出了用於計算偽西塔函式在接近奇點時的輸出的公式。事實上，他們發現拉馬努金的猜想是正確的：這些輸出非常像模形式中相應奇點附近的輸出。例如，在一種情況下，數學家們發現它們之間的差異非常接近於 4，在這個無限數字的宇宙中，這是一個令人驚訝的整潔且幾乎可以忽略不計的差異。
物理學家最近開始使用偽西塔函式來研究黑洞的一種叫做熵的性質——熵是衡量系統接近能量平衡完美狀態的程度的指標。一些科學家認為，類似於小野公式的公式可能使他們能夠更精確地探測這種現象。
小野告誡我們，不應該對他的工作的潛在應用抱有太大的期望。像許多理論家一樣，他認為，實際用途並不是使這些發現偉大的原因。他認為，偉大的發現之所以偉大，就像一幅畫或一首奏鳴曲之所以偉大一樣。安德魯斯同意道：“肯的定理不會為我們提供無限量的綠色能源，也不會治癒癌症或任何類似的東西。” 數學發現通常在幾十年後才在科學技術中發揮重要作用。預測這些作用是什麼，即使不是不可能的，也是很困難的。
小野仍然可以回憶起第一次看到拉馬努金的同餘被寫出來時的那種欣喜，他父親穩健的手在黃色的法律用紙上書寫著陌生的符號。“為什麼只有三個？”他記得問。“沒人知道，”他父親告訴他。
當他講述這個故事時，小野正坐在佐治亞州的家庭餐廳裡。他身後的牆上掛著一張拉馬努金青銅半身像的裝裱照片，這張半身像是用小野的父親和世界各地數百名其他數學家和科學家的25美元捐款為他的遺孀委託製作的。“我做夢也沒想到有一天我會說，‘你知道嗎，爸爸？那些同餘不是唯一的——遠遠不止這些。’”