目前，世界各地數千臺計算機正在數字線上進行尋寶遊戲，尋找稀有的數學瑰寶。愛好者們為了尋找越來越大的素數（只能被 1 和自身整除的數），調動了大量的計算能力和演算法智慧，希望能將自己的名字刻在數學史的卷軸上。
去年秋天，來自加利福尼亞州聖何塞的研究員盧克·杜蘭特取得了一項新成果。杜蘭特的發現取代了此前保持最大素數記錄的保持者，該記錄已保持了近六年之久，這在現代尋找此類數字的探索中是前所未有的長期統治。這種差距是有道理的：素數越大，它們之間的間隔就越遠，使得每次新的發現都比上一次更加困難。
這個新素數包含令人難以置信的 41,024,320 位數字。為了讓您對此有所概念，可觀測宇宙中估計的原子數量約為 80 位數字。每增加一位數字，數字就增大 10 倍，因此新素數的大小遠遠超出了人類的理解能力。素數在純數學中扮演著重要角色，它們是被稱為數論領域中的主角，並且在實踐中也發揮作用，例如，它們是廣泛使用的加密演算法的基礎。一個擁有 4100 萬位數字的素數不會立即加入有用數字的行列，但就目前而言，它為渴望理解龐然大物的社群增添了一份榮譽。
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杜蘭特的成功部分歸功於網際網路梅森素數大搜索的新穎巧妙的軟體，部分歸功於他個人為追求目標而調動的大型硬體和計算能力。透過組建一個跨越 17 個國家的“雲超級計算機”，他結束了個人電腦發現素數的悠久傳統。
即使是揮舞著強大計算機的矽賞金獵人，也很難在數字線的遙遠區域發現素數。
素數通常被稱為數學的基石，因為每個大於 1 的整數要麼是素數，要麼是素數唯一集合的乘積。例如，15 是素數 5 和 3 的乘積，而 13 不能以這種方式細分，因為 13 是素數。對這些數字的研究至少可以追溯到古希臘時期。公元前 300 年，歐幾里得在他的教科書《幾何原本》中證明了存在無限多個素數，從此以後，專業和業餘數學家都熱衷於尋找它們。
第一串素數——2、3、5、7、11 等等——很容易找到，但隨著數字變得更大，任務變得更具挑戰性。幾千年來，人們都是手工尋找素數——直到 1951 年，計算機接管了這項搜尋工作。但即使是矽賞金獵人也很難在數字線的遙遠區域發現素數，因為測試一個巨大數字的素性並非易事。為了應對，研究人員部署了他們所能做到的一切最佳化技巧，以加快測試速度或縮小搜尋範圍，從而提高找到新素數的機率。
考慮數字 99,400,891。您將如何確定它是否為素數？您可以簡單地將它逐個除以每個較小的數字，以查詢任何除數（除了 1 和它本身）。但這對於一個相對微不足道的八位數數字來說，需要檢查近 1 億種情況。透過意識到您不需要檢查直到目標數字的每個數字，只需要檢查素數，您將節省大量工作。為什麼？因為您只需要找到一個除數（一個可以整除 99,400,891 而沒有餘數的數字）。
我們知道，任何非素數除數都可以進一步分解為其素數因子——如果您的目標可以被 15 整除，那麼它也可以被素數 5 和 3 整除，因此您只需要檢查後者即可確定素性。更多的節省將來自這樣的見解：您也不需要檢查每個較小的素數——只需要檢查直到 99,400,891 的平方根（當自身相乘時，得到這個八位數結果的數字）的素數。如果這些較小的素數中沒有一個能整除它，那麼您就可以停止查詢，因為任何兩個大於 99,400,891 的平方根的數字的乘積都會超過它。這些效率技巧將我們的搜尋範圍從大約 1 億個數字大幅縮減到僅 1,228 個（小於 99,400,891 的平方根的素數數量）。對於那些好奇的人來說，99,400,891 = 9,967 × 9,973，所以它不是素數。
這些捷徑對於一個八位數數字來說效果顯著，但杜蘭特是如何達到 41,024,320 位數字的呢？為了將搜尋從僅僅是龐大升級到真正意義上的巨大，他和許多其他探索者專注於特定型別的素數。梅森素數，以 17 世紀研究它們的法國神學家馬蘭·梅森的名字命名，具有特殊的形式。您可以透過將 2 自乘若干次，然後減去 1 來得到它們，如方程 2n – 1 所述。梅森注意到，當您為 n 插入不同的值時，有時會得到一個素數。具體來說，只有當 n 是素數時，2n – 1 才能產生素數，即使這樣也不能保證。
從素數獵人的角度來看，梅森素數的特殊之處在於，我們知道一種快速方法來檢查 2n – 1 形式的數字是否為素數。該測試稱為 Lucas-Lehmer 素性測試（以首先發現它的法國數學家愛德華·盧卡斯和證明並完善它的美國數學家德里克·亨利·萊默命名）。它比任何已知的針對沒有這種特殊形式的數字的通用方法都要快得多。
Lucas-Lehmer 測試推動了網際網路梅森素數大搜索專案，該專案於 1996 年啟動，使任何志願者都可以下載免費程式碼，他們可以在自己的計算機上執行該程式碼來搜尋梅森素數。事實證明，眾包方法和對梅森素數的關注是成功的。已知的七個最大素數都是梅森素數，並且都是由該專案的參與者發現的。請注意，肯定存在較小的未知素數，但由於我們不知道檢查它們的有效方法，因此它們暫時將留在陰影中。
總而言之，專案志願者已經發現了 18 個新的梅森素數，其中 17 個的發現歸功於業餘愛好者的個人電腦。杜蘭特，一位 36 歲的前英偉達工程師，打破了這一連勝紀錄。英偉達最近短暫超越蘋果成為全球最有價值的公司，該公司設計了一種稱為圖形處理單元 (GPU) 的專用計算機晶片。顧名思義，GPU 最初是為加速圖形渲染而發明的，但它們也很擅長其他涉及高度並行化計算的任務，在這些任務中，許多處理器同時執行以解決問題。這些問題包括訓練諸如 GPT-4 之類的神經網路、挖掘加密貨幣，以及事實證明，搜尋素數。杜蘭特透過從各種雲 GPU 提供商處購買處理時間，組建了一個全球超級計算機。在其高峰期，他的專案處理的數字數量大約是參與梅森素數搜尋的所有其他計算機的總和的 12 倍。
除了大型硬體之外，用於梅森素數搜尋的軟體自上次發現以來也獲得了顯著升級。用於驗證梅森素數的超快 Lucas-Lehmer 測試在程式設計中被替換為超超快的機率素數測試。給定一個要檢查的數字，後一個測試要麼確認它不是素數，要麼說它可能是素數。機率素數極有可能最終被證明是非素數。只有當計算機找到一個機率素數時，梅森素數搜尋中的志願者才會執行完整的 Lucas-Lehmer 測試以消除任何疑慮。
杜蘭特的新素數於 10 月 11 日通過了機率素數測試。然後，在 10 月 19 日，在他開始搜尋一年後，梅森素數搜尋的獨立測試證實，他確實在茫茫大海中撈到了一根針：2136,279,841 – 1 是已知的最大素數。
它比之前的記錄保持者多出 1600 多萬位數字。如果這還不足以讓杜蘭特獲得足夠的榮耀，他還發現了已知的最大“完全數”。完全數等於其除數（不包括自身）之和；6 是完全數，因為它可被 1、2 和 3 整除，並且等於 1 + 2 + 3 的總和。第二個完全數是 28。18 世紀瑞士數學家萊昂哈德·尤拉證明，每個偶完全數都可以從梅森素數生成，因此發現一個梅森素數有望在數學發現中獲得一舉兩得的效果。
然而，這口井可能隨時枯竭。我們不知道是否存在無限多個梅森素數（以及因此存在的偶完全數）。奇怪的是，我們不知道是否存在任何奇完全數，這個問題被一些人稱為最古老的未解數學難題。
當在 YouTube 上的 Numberphile 訪談中被問及他的專案花費了多少錢時，杜蘭特說：“我相信在 200 萬美元以下。”與素數搜尋專案的 3,000 美元獎金相比，這是一筆鉅額投資，他計劃將這筆獎金捐贈給他所就讀的高中，阿拉巴馬州數學與科學學院。此時，您可能會想知道為什麼這麼多人花費時間和金錢來尋找沒有明顯現實世界應用的素數。部分原因在於，他們的努力慶祝了人類的好奇心，併成為我們在數學計算方面取得進展的基準。但我認為網際網路梅森素數大搜索的創始人喬治·沃爾特曼在 Numberphile 影片中被問到這個問題時說得最好：“這很有趣。”