1847年，加布裡埃爾·拉梅證明了費馬最後定理。或者他是這麼認為的。拉梅是一位法國數學家，他做出了許多重要的發現。在那年三月，他感覺到自己可能取得了最大的成就：一個優雅的證明，解決了困擾最聰明頭腦 200 多年的問題。
他的方法一直隱藏在顯眼之處。費馬最後定理指出，如果 n 大於 2，則方程 an+ bn= cn 沒有正整數解，這已被證明是棘手的。拉梅意識到，如果他只是擴充套件他的數制以包含一些奇異的值，他就可以證明這個定理。
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向舊數字新增（或“附加”）新值並不難做到——有一個直接的數學方法可以將 5 的平方根作為 2 和 3 之間的正常數字合併，例如，之後您可以像往常一樣繼續進行算術運算。您所要做的就是將新數制中的每個值寫成 a + b√5，其中 a 和 b 是整數。這似乎是一種笨拙的數字書寫方式，但它可以作為建立與舊數制功能相同的新數制的連貫基礎。數學家將這個新系統稱為數“環”；他們可以根據他們選擇合併的新值建立無限多種數環。
當然，在不產生意外後果的情況下，很難修改像數制這樣複雜的東西。當拉梅開始附加這些有趣的數字時，起初一切看起來都很棒。但後來其他數學家指出，這種新獲得的靈活性是以高昂的代價為代價的：新的數制缺乏唯一的素因數分解，即一個數（例如 12）可以唯一地表示為素數的乘積：2 x 2 x 3。這違反了傳統算術的一個基石原則。
唯一素因數分解確保數制中的每個數都可以完全以一種方式從素數構建出來。在包含 √-5 的數環中（在實踐中，數學家經常使用使用負數平方根的數制），重複性悄然出現：6 既是 2 x 3 又是 (1 + √-5) x (1 – √-5)。所有這四個因子在新數環中都是素數，這使得 6 具有雙重存在，當您試圖在數學上確定事物時，這是行不通的。
“在代數課上，當我們第一次教授唯一素因數分解有時不成立時，學生們會倒吸一口涼氣，他們會說，‘哦，我的天哪，發生了什麼事？’ 我們總是理所當然地認為一切都可以唯一地分解為素數，”曼朱爾·巴爾加瓦說，他是普林斯頓大學教授，也是數學界的最高榮譽菲爾茲獎的獲得者。
唯一素因數分解是從基本構建塊構建數制的一種方法。沒有它，證明可能會漏洞百出。將根與常規數字混合使用作為對費馬最後定理的攻擊失敗了，但正如數學中經常發生的那樣，它失敗的方式具有啟發性。它開啟了一個稱為代數數論的獨立研究領域。
今天，數學家們積極致力於研究數制的“類數”。在它們最粗略的形式中，它們是對數制在唯一素因數分解測試中失敗程度的評級，具體取決於混合了哪些根：類數為“1”的數制具有唯一素因數分解；類數為“2”的系統稍微錯過了唯一素因數分解；類數為“7”的系統則錯過了更多。
從表面上看，您會期望類數是隨機分佈的——類數 5 的出現頻率與類數 6 相同，或者一半的類數是偶數。但事實並非如此，目前對該主題的研究旨在瞭解原因。今天，數學家們正在圍繞類數的基礎結構進行研究，並逐漸接近於確定長期猜想值的真相。這是一項努力，它產生了關於數字行為方式的見解，遠遠超出了對任何一個問題的證明。
理想對稱性
在拉梅給出他失敗的證明的同時，德國數學家恩斯特·庫默爾開發了一種用他稱之為“理想數”的方法來修復素因數分解損失的方法。它們在任何傳統意義上都不是數字。相反，它們是集合論中龐大的結構，執行類似數字的功能。
例如，最簡單的理想是給定整數的所有倍數的無限集合——5、10、15、20 等等。理想可以新增到已經擴充套件的數環中，以恢復唯一因數分解。它們允許數學家將相互競爭的素因數分解協調為一組素因子。
理想可以分為不同的類。您需要新增到數環中以恢復唯一因數分解的理想類的數量就是該環的“類數”。
致謝： 露西·瑞丁-伊坎達 量子雜誌
類數的研究至少可以追溯到 19 世紀早期的卡爾·弗里德里希·高斯。作為該領域進展艱難的標誌，他的許多成果仍然是最先進的。在他的貢獻中，高斯推測有無限多個正平方根可以附加到整數上而不會失去唯一因數分解——對此的證明仍然是類數中最令人垂涎的結果（並且據傳這足以讓庫爾特·哥德爾感到沮喪，以至於他放棄了數論而轉向邏輯）。高斯還推測，只有九個負平方根可以保留素因數分解。√-163 是最後一個。
今天，對類數的研究仍然受到高斯的啟發，但其中大部分發生在 1970 年代後期由數學家 亨利·科恩（波爾多大學數學榮譽教授）和 亨德里克·倫斯特拉（他最近從荷蘭萊頓大學退休）建立的背景下。他們共同制定了科恩-倫斯特拉啟發式方法，這是一系列關於特定型別的類數應該出現頻率的預測。例如，啟發式方法預測，在附加負數平方根的情況下，43% 的類數可被 3 整除。
“這很有趣，因為它告訴您類數的行為方式出乎意料。如果您去檢視電話號碼列表或其他內容，那麼一般來說，其中三分之一應該可以被 3 整除，”阿克謝·文卡特什說，他是斯坦福大學的數學家。
高斯不得不手動計算類數。到科恩和倫斯特拉做出他們的預測時，計算機使得快速計算數十億個不同數環的類數成為可能。因此，有充分的實驗證據支援科恩-倫斯特拉啟發式方法。然而，有信心地知道某事與證明它完全不同。
“可能在其他科學領域，您已經完成了。然而，在數學中，這僅僅是開始。現在我們想確定，”梅蘭妮·伍德說，她是威斯康星大學麥迪遜分校的數學家。
類數不是隨機分佈的事實表明表面之下正在發生一些有趣的事情。記住，類數告訴我們關於給定數環的一些資訊：恢復唯一因數分解所需的理想類的數量。這些理想類形成了該數環的“類群”。群具有各種有趣的結構屬性，這些屬性僅從知道它們包含的元素數量來看並不明顯，就像知道家庭中的人數並不能告訴您關於這些人之間關係的資訊一樣。
為了理解類數為何如此分佈，數學家需要研究產生類數的類群的結構。特別是，他們對一個群與另一個群中的對稱量感興趣，他們理解對稱性較多的群的出現頻率將成比例地低於對稱性較少的群。
為了瞭解某物的對稱量與其出現頻率之間的關係，請考慮一個幾何示例。從排列成三角形的三個點開始。（這些點類似於群的元素，但它們在任何真正的數學意義上都不是群。）現在考慮連線這些點的所有可能方式，這些點是數學關係的替代。有八種可能的配置
一個有三條線，構成一個三角形。
三個有兩條線，構成一個“張開的下巴”形狀。
三個有一條線，連線兩個點。
一個沒有線。
三角形有六個對稱性，出現一次。張開的下巴形狀有兩個對稱性，出現三次。或者，換句話說，三角形的對稱性是張開的下巴的三倍，出現頻率是張開的下巴的三分之一。這種關係——某物的對稱性越多，它出現的頻率就越低——在整個數學中都成立。這是真的，因為某物的對稱性越少，它出現的可能性就越大。考慮一下，有無限多個沒有對稱性的二維形狀，但只有一個具有無限對稱線的形狀——圓形。
“這不僅僅是一個粗略的 [相關性]，它是精確和準確的：如果一個東西的對稱性是另一個東西的三倍，那麼它出現的頻率就是另一個東西的三分之一，”伍德說。
對於群的構造方式，某物的對稱性與其出現頻率之間的關係也是如此。在上面的示例中，關係由點之間繪製的線定義。在一個群中，關係是透過群的元素可以相加的方式建立的。
要成為一個群，這些加法關係必須滿足某些公理。類群的元素必須遵守加法的結合律和交換律，並且必須包含一個零元素，使得零加上任何其他元素都不會改變該元素。整數在某種意義上是原始群，因為它們滿足所有這些公理。但某些有限集（如類群）也滿足這些公理，從而在本質上建立了微型數制。
知道一個群有，比如說，四個元素，並不能告訴您關於這四個元素如何相互關聯的所有資訊。考慮兩個群——稱它們為群 1 和群 2——每個群都有四個元素。這兩個群的不同之處在於這些元素之間的加法關係。下表顯示了在每個群中將一個元素新增到另一個元素時會發生什麼。
在這種情況下，群的“對稱性”發生在任何可能以保留群的加法結構的方式重新排列群的元素的地方。對於群 2，存在兩個這樣的對稱性：“恆等”對稱性（其中您不更改任何元素的位置）和交換 x 和 z 的對稱性。（因為 x + x = y 且 z + z = y，x 和 z 是可互換的。）
群 1 具有更多的對稱性。元素 a、b 和 c 都是可互換的，因為 a + a = 0、b + b = 0 和 c + c = 0。鑑於此，重新排列這三個元素的每種方式都是群的對稱性（或“自同構”）。如果您完成所有組合，您會看到總共有六個對稱性。綜上所述，群 1 的對稱性是群 2 的三倍。因此，您會期望找到群 2 的頻率是群 1 的三倍，這與排列的出現頻率與其對稱性數量成反比的規則一致。這個定律對於具有四個簡單元素（如群 1 和群 2）的群以及其他更復雜的理想群都是成立的。
當數學家面對類數時，他們想知道它所代表的底層群的結構。如果他們可以建立底層群的結構，並確定給定結構的群出現的頻率，他們就可以將該資訊帶回表面，並用它來了解給定類數應該多久出現一次。
如果您開始檢查群結構及其對稱性，那麼“突然它會告訴您類數的分佈應該是什麼樣的，”巴爾加瓦說。
測試結構的新方法
上面的兩個群（相對）容易解析。理想群更難確定；繪製它們的加法表並不容易。相反，數學家有探測群、測試其結構的方法，即使他們不能完全看到整個群。特別是，他們測試群中每個元素與零的距離。
回想一下，每個群都有一個零元素，當新增到任何其他數字時，該數字保持不變。為了研究類群的結構，數學家試圖感受給定類群中有多少元素具有他們所謂的“n-扭轉”，這意味著當您新增 n 個元素的副本時，您最終會得到群的零。例如，如果 x + x = 0，則元素是 2-扭轉，如果 x + x + x = 0，則元素是 3-扭轉，如果 x + x + x + x = 0，則元素是 4-扭轉，依此類推。
致謝： 露西·瑞丁-伊坎達 量子雜誌
使上面兩個群之間的差異清晰化的一種方法是考慮它們有多少元素是 2-扭轉的。在群 1 中，所有四個元素都是 2-扭轉的，這從對角線上的零行可以明顯看出：0 + 0 = 0、a + a = 0、b + b = 0、c + c = 0。在群 2 中，只有 0 和 y 是 2-扭轉的。群中不同型別的扭轉量是對群的整體結構的精確反映。
“如果兩個群中 n-扭轉元素的數量對於所有 n 都相同，那麼它們就是同一個群。調查有多少 n-扭轉元素是一個簡單的策略，它可以探測群，並且如果您瞭解關於扭轉的所有資訊，就足以恢復群，”巴爾加瓦說。
今天，關於科恩-倫斯特拉啟發式方法的許多工作都與確定類群中有多少元素具有不同型別的扭轉有關。關於扭轉的科恩-倫斯特拉預測非常容易陳述。例如，如果您附加負數的平方根，那麼它們的類群中應該有多少理想具有 3-扭轉？科恩-倫斯特拉預測每個數環平均應該有兩個 3-扭轉元素。應該有多少具有 5-扭轉？7-扭轉？11-扭轉？對於每個素數，答案再次是二。
這種恆定性令人驚訝，因為從幼稚的角度來看，您會期望具有給定扭轉的元素的數量隨著類群大小的增長而增長。然而，即使類群的大小各不相同，科恩-倫斯特拉啟發式方法也預測，比如說，具有 3-扭轉的元素的數量平均而言將保持不變。
“有趣的是，這個預測與素數無關，”巴爾加瓦說。“這是一個了不起的預測。”
這是一個了不起的預測，已經在無數次計算機執行中得到了統計證實，但仍然難以證明。
降低界限
科恩-倫斯特拉啟發式方法，以及科恩和雅克·馬丁內特在 1987 年的進一步擴充套件，已經存在了 40 多年。然而，您可以用一張便利貼總結關於它們的進展。僅證明了兩種情況：一種是哈羅德·達文波特和漢斯·海爾布朗在 1971 年證明的，另一種是巴爾加瓦在 2005 年證明的。否則，“幾乎沒有證明任何東西，”巴爾加瓦說。
由於啟發式方法的證明很難獲得，數學家們採取了更適度的目標。他們希望證明給定素數的 n-扭轉元素的平均數量是預期的，但在此之前，他們至少會滿足於對該數量設定上限。這稱為建立上限，數學家在這方面取得了逐步進展。
當您將負數的平方根附加到您的數制時，類數與平方根的大小成比例增長。如果您附加 –13 的平方根，您可以預期類群的大小最多約為 13 的平方根個元素。編寫任何數字 n 的平方根的另一種方法是 n0.5，並且該數字——指數中的 0.5——是數學家在嘗試確定上限時開始的地方。如果整個類群包含 n0.5 個元素，那麼您從一開始就知道，3-扭轉的元素不能超過 n0.5 個，因為那將是每個元素。因此，n0.5 被認為是類群中 n-扭轉的平凡界限。
數學家通常使用幾種通用方法之一來降低這些界限。一種方法稱為“篩法”，您可以將其比作“淘洗” n-扭轉元素，就像探礦者淘洗黃金一樣。另外兩種方法涉及複雜的變換，透過這些變換，具有 n-扭轉的元素可以被計數為區域或曲線上的格點。
莉蓮·皮爾斯是杜克大學的數學家，她是第一個打破平凡界限的人，當時她在 2006 年證明，特定數環中 3-扭轉元素的數量最多為 n0.49。與平凡界限相比，這是一個小的改進，但它開啟了一條其他數學家追隨的道路。大約在同一時間，文卡特什和哥廷根大學的哈拉爾德·赫爾夫戈特獨立地將界限降低到 n0.44，第二年，文卡特什和威斯康星大學麥迪遜分校的喬丹·艾倫伯格將界限進一步降低，降至 n0.33。這些預計不是最佳界限，但它們確實推動了該領域的發展。“從我的角度來看，首先證明任何東西都更重要，”文卡特什說。
該領域最新的最新結果來自巴爾加瓦和五位合著者：阿魯爾·尚卡爾、高志谷、弗蘭克·索恩、雅各布·齊默曼和趙永強。今年一月，他們在科學預印本網站 arxiv.org 上釋出了一篇論文，將三次和四次數字環中 2-扭轉的界限降低到 n0.28。在同一篇論文中，他們還證明了他們可以打破任何次數的數環的 2-扭轉的平凡界限。
“這只是一點點節省，但它首次在無限多種情況下削弱了平凡界限，”皮爾斯說。
即使是這一點點節省也已經帶來了數學紅利。巴爾加瓦及其合作者使用的方法已被證明可用於限制特定類別的多項式方程（稱為橢圓曲線）的解的數量，這與類數似乎位於許多不同數學領域的交叉點的方式一致。而且，雖然距離這種情況發生還有很長的路要走，但類數方面的進展最終可能會贖回它們所描述的數環的最初目的。
“僅僅透過研究這些類數，永遠無法獲得費馬最後定理的證明，”巴爾加瓦說。“如果我們完全理解類群的總體行為方式，那麼似乎可以想象這種證明可以適用於 FLT 和許多其他方程。這很難說，因為我們還有很長的路要走。”
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