1978年6月，在法國國家科學研究中心的一次會議上，數學家們帶著極大的懷疑態度參加了羅傑·阿佩裡的講座。演講的題目是“關於 ζ(3) 的無理性”，這在專家中引起了不小的轟動。
zeta 函式 ζ(3) 的值已經是一個懸而未決的問題 200 多年了。才華橫溢的瑞士數學家萊昂哈德·尤拉曾試圖解決這個問題，但未能成功。現在，一位相對默默無聞且當時已年過六旬的法國數學家阿佩裡聲稱已經解開了這個世紀難題。許多聽眾對此表示懷疑。
阿佩裡的講座並沒有改善他們的看法。他用法語演講，偶爾開玩笑，並省略了與證明相關的關鍵解釋。例如，一開始，他就寫下了一個房間裡沒有人知道的方程，但這個方程構成了他證明的核心。當被問及這個方程從何而來時，據說阿佩裡回答說，“它們在我的花園裡生長”，據說這導致許多聽眾站起來離開了房間。
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但一位與會者擁有一臺電子計算器——在當時是一種罕見的裝置——並且透過一個簡短的程式，檢查了阿佩裡的方程，發現它是正確的。這樣一來，阿佩裡再次引起了房間裡的注意。“阿佩裡令人難以置信的證明似乎是奇蹟和神秘的混合體，”出席講座的數學家阿爾弗雷德·範德波頓寫道。
專家們花了幾個星期的時間才理解和檢查證明的細節。阿佩裡並沒有真正讓他們的任務變得更容易：例如，在一次會議上，他開始談論法語的狀況，而不是專注於數學。但在大約兩個月後，情況變得明朗起來，阿佩裡成功地完成了尤拉 200 年前未能完成的事情。他能夠證明 ζ(3) 是一個無理數。
與素數的聯絡
zeta 函式的歷史可以追溯到很久以前。1644 年，義大利數學家皮耶特羅·門戈利想知道，如果將所有平方數的倒數加起來會發生什麼：1 + 1⁄4 + 1⁄9 + ... 然而，他無法計算出結果。其他專家也未能完成這項任務，包括瑞士巴塞爾著名的伯努利科學家家族。事實上，又過了 90 年，另一位來自該市的居民，當時 27 歲的尤拉，才找到了所謂的 巴塞爾問題 的解決方案：尤拉計算出無限和為 π2⁄6。
但尤拉決定專注於手頭更普遍的問題。他對一整類問題感興趣，包括尋找立方數、四次方數等等的倒數之和。為此，尤拉引入了所謂的 zeta 函式 ζ(s)，其中包含一個無限求和
巴塞爾問題只是眾多 zeta 函式之一，對應於值 ζ(2)。尤拉想為 zeta 函式的所有值找到一個解。事實上，他成功地計算出了偶數值 s = 2k 的結果。在這種情況下，
其中 p 和 q 是整數，因此答案始終是無理數。
然而，尤拉無法闡明當 s 是奇數時結果如何變化。他能夠計算出結果的前幾位小數，但無法計算出精確的數值。他無法確定奇數的 zeta 函式是否也取無理數值，或者結果是否可以表示為分數。
在隨後的幾年和幾十年裡，zeta 函式受到了極大的關注——並與當今 數學中最大的謎團 之一交織在一起。在 19 世紀，德國數學家伯恩哈德·黎曼不僅評估了自然數 s 的 zeta 函式，還評估了複數的 zeta 函式：可以包含負數平方根的實數值。1859 年，這種改變使他能夠表達後來被稱為著名的黎曼猜想的內容。有了它，原則上可以確定素數沿數軸的分佈。由於理解素數不僅對數論至關重要，而且還應用於密碼學等領域，密碼學依賴於生成素數以進行安全加密，因此圍繞這個謎團的風險很高。任何能夠解決黎曼猜想的人都有望贏得一百萬美元的獎金。
儘管 zeta 函式受到了如此多的關注，但沒有人成功確定 ζ(3) 的確切值——更不用說找到一個普遍有效的公式來表示 zeta 函式的所有奇數值，就像尤拉成功地表示偶數值一樣。當 ζ(3) 在 20 世紀物理學中出現時，事情變得特別有趣。
物理學中的黎曼 Zeta 函式
在 20 世紀初，物理學家發現了量子力學：一種顛覆了先前對自然理解的激進理論。在這裡，粒子和波之間的界限變得模糊；某些值，例如能量，僅以位元和片段（量子化）的形式出現，並且自然規律的公式包含不基於測量誤差而是來自數學本身的不確定性。
在 20 世紀 40 年代，研究人員成功地提出了電磁學的量子理論。除其他外，它規定真空永遠不是真正空虛的。相反，它可以包含短暫的粒子-反粒子對的真正焰火表演，物質似乎是從虛空中創造出來的，但立即再次湮滅。
如果您想描述電動力學過程，例如兩個電子的散射，則必須考慮粒子不斷爆發的影響。這是因為瞬態粒子-反粒子對可以使電子偏離其軌跡。事實證明，如果您想描述這種效應，就會出現一個立方倒數的無限和，ζ(3)。
對於物理計算，知道 ζ(3) 的數值到小數點後幾位就足夠了。但數學家想更多地瞭解這個數字。
阿佩裡的證明
阿佩裡能夠確定 ζ(3) 是無理數，很像偶數值的 zeta 函式。他的證明基於先前未知的 ζ(3) 的級數表示——他據稱聲稱在自己的花園中找到的奇怪方程
透過這個表示式，他能夠使用德國數學家古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷在 19 世紀推匯出的無理性條件。它指出，如果存在無限多個具有不同部分的整數 p 和 q，則數字 χ 是無理數，因此滿足以下不等式
這裡 c 和 δ 表示常數值。雖然公式看起來很複雜，但它基本上意味著 χ 可以很容易地用分數近似，但沒有與 χ 對應的分數。阿佩裡成功地推匯出了 ζ(3) 的這個不等式。從那時起，情況就很清楚了：ζ(3) 是無理數。
為了紀念這位法國數學家的工作，ζ(3) 的值現在以他的名字命名，被稱為阿佩裡常數。然而，這並沒有回答與之相關的所有問題。專家們仍然希望獲得 ζ(3) 的明確數值，該數值可以使用已知常數來表示，例如 ζ(2) = π2/6 的情況。但我們今天離這個夢想還很遙遠。
本文最初發表於《Spektrum der Wissenschaft》，經許可轉載。