1611年，德國數學家約翰內斯·開普勒對堆疊橙子或其他球體以最小化它們之間空間的最密集方式提出了猜想。 似乎沒有什麼能比得上標準水果攤的擺放方式，但他無法確鑿地證明這一點。四百年後，匹茲堡大學數學家托馬斯·黑爾斯最終證明了雜貨商一直都是對的。但是，如何最緊密地堆積球體的問題並不侷限於我們微不足道的三維空間——數學家們還可以想象任意維數的假想空間中的這個問題。
今年三月，烏克蘭數學家瑪麗娜·維亞佐夫斯卡婭，柏林數學學院和柏林洪堡大學的博士後研究員，解決了八維空間中的球體堆積問題。接下來的一週，她和幾位合作者將她的技術擴充套件到二十四維空間。在看似任意的八維和二十四維空間中解決這個問題，突顯了球體堆積的基本怪異之處，這個問題現在只在一維、二維、三維、八維和二十四維空間中得到解決。這一突破讓研究人員看到了希望，即基於她的技術可能是解決更高維度球體堆積問題的可行方法。“這才是理解球體堆積的開始，而不是結束，”微軟研究院的數學家亨利·科恩說，他是維亞佐夫斯卡婭二十四維案例的合作者之一。
儘管幾乎不可能視覺化八維空間，但數學家們可以透過類比低維空間來輕鬆處理八維、二十四維或數千維空間。在三維空間中，點使用三個座標標記——長度、寬度和高度，或 x、y、z——因此在八維空間中，點使用八個座標標記。
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在三維空間中，球體是三維空間中所有點到中心點等距的點的集合。在八維空間中，它是八維空間中所有點到中心點等距的點的集合。在任何維度中，球體堆積問題是如何排列大小相等的球體，使它們之間的空隙儘可能小。
儘管數學家們似乎應該按順序解決更高維度的問題——在解決三維問題之後，研究人員可以基於他們的工作來解決四維問題，然後再解決五維問題——但維亞佐夫斯卡婭跳過四維到七維並解決了八維球體堆積問題，以及 24 維是緊隨其後的維度，這絕非偶然。“我喜歡球體堆積問題的一部分原因是每個維度都有其自身的特性，”科恩說，他研究球體堆積多年。“有些維度比其他維度表現得更好。”
在二維空間中，球體——或者在這種情況下是圓形——堆積很容易，因為相同大小的圓形可以緊密地組合在一起。每個圓形都可以被正好六個其他圓形包圍，並且沒有迴旋餘地。在三維空間中，沒有這種超緊密的堆積。事實上，直到八維空間才出現另一種配置，稱為 E8 晶格堆積，其中一切都鎖定到位。在 24 維空間中，一種稱為李奇晶格的堆積模式具有類似的特性。正是這些模式使這些維度如此易於攻克。
科恩和哈佛大學數學家諾姆·埃爾基斯在 2003 年發表的一篇論文中描述了一種新技術，用於查詢許多不同維度中堆積密度的界限。他們的方法不是直接考慮堆積，而是考慮輔助函式——具有特殊屬性的公式。他們認為，如果他們能找到合適的函式，他們的方法可以擴充套件到完全解決八維和二十四維的球體堆積問題，但這些函式讓研究人員苦苦尋覓了十多年。維亞佐夫斯卡婭說，她幾乎放棄了希望，但後來找到了一個最初看起來不相關但與科恩和埃爾基斯的工作完美契合的函式。“對我來說，這是所有事情都發生改變的時刻，我明白這個問題真的可以解決，”維亞佐夫斯卡婭說。
“許多其他人花了很長時間尋找使這種方法奏效所需的函式，但沒有人對如何找到它有任何可靠的線索，”黑爾斯說，他對此深有體會。除了解決三維空間中的球體堆積問題外，他還研究過其他維度的問題，並花時間自己尋找該函式。“我認為當瑪麗娜·維亞佐夫斯卡婭宣佈這一發現時，我們都非常震驚。”
科恩說，對於像球體堆積這樣的問題，解決方案可能會引起兩種反應：尷尬，因為答案事後看來似乎如此明顯；或者敬畏，因為這項工作確實是新穎的。維亞佐夫斯卡婭的解決方案屬於後者。“她的定義乍一看有點特別。你為什麼要這樣做？但這可以透過她巧妙的轉換來證明是合理的，”他說。“能夠看到它並感到欽佩而不是遺憾，這真是太好了。”
如何將球體最緊密地堆積到更高維空間的問題，可能看起來像是隻有數學家才會喜歡的那種問題。然而，事實證明，它遠非不切實際。高維球體堆積構成了糾錯碼的基礎，這些糾錯碼幫助我們在蜂窩網路、光纖電纜和其他資訊在傳輸過程中可能丟失或更改的地方傳輸資料。這些應用將資料片段視為高維空間中的點。
儘管維亞佐夫斯卡婭的方法不太可能解決其他維度的球體堆積問題，至少在沒有另一個重大突破的情況下不太可能，但它們可能有助於研究人員改進他們對球體在高維空間中可以堆積多緊密的估計。這些進步不如完全解決問題那麼引人注目，但可能代表了資料傳輸風險很高的高維空間中的重大改進。