莫比烏斯帶是奇特的數學物件。要構建這些單面表面之一，取一條紙帶，扭轉一次，然後將兩端粘在一起。製作這些精美的東西非常簡單，即使是幼兒也能做到，但這些形狀的特性卻足夠複雜，能夠引起數學家們持久的興趣。
1858 年，莫比烏斯帶的發現歸功於兩位德國數學家——奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯和約翰·貝內迪克特·李斯廷——儘管證據表明，數學巨匠卡爾·弗里德里希·高斯當時也意識到了這些形狀，石溪大學的數學家莫伊拉·查斯說。無論誰先想到它們，直到最近，研究人員仍然被一個看似簡單的問題所困擾：製作莫比烏斯帶所需的最短紙條是什麼？具體來說，對於“嵌入”而不是“浸入”的平滑莫比烏斯帶，這個問題尚未解決，這意味著它們“不會相互滲透”或自相交，布朗大學的數學家理查德·埃文·施瓦茨說。施瓦茨說，想象一下，“莫比烏斯帶實際上是一個全息圖，一種幽靈般的圖形投影到三維空間中”。對於浸入式莫比烏斯帶，“事物的幾層可能會相互重疊，有點像幽靈穿牆而過”，但對於嵌入式帶，“沒有這樣的重疊”。
1977 年，數學家查爾斯·西德尼·韋弗和本傑明·裡格勒·哈爾彭提出了關於最小尺寸的問題，並指出“如果你允許你製作的莫比烏斯帶有自相交，他們的問題就變得容易了”，加州大學戴維斯分校的數學家德米特里·福克斯說。他補充說，剩下的問題是“非正式地說，確定你需要多少空間來避免自相交”。哈爾彭和韋弗提出了一個最小尺寸，但他們無法證明這個被稱為哈爾彭-韋弗猜想的想法。
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施瓦茨大約在四年前首次瞭解到這個問題，當時賓夕法尼亞州立大學的數學家謝爾蓋·塔巴奇尼科夫向他提到了這個問題，施瓦茨閱讀了塔巴奇尼科夫和福克斯合著的一本書中關於該主題的一章。“我讀了那一章，我就被迷住了，”他說。現在，他的興趣終於得到了回報，找到了這個問題的解決方案。在 8 月 24 日釋出在 arXiv.org 上的預印本論文中，施瓦茨證明了哈爾彭-韋弗猜想。他表明，由紙製成的嵌入式莫比烏斯帶只能以大於 √3（約為 1.73）的縱橫比構建。例如，如果紙條寬一釐米，則必須長於 √3 釐米。
解決這個難題需要數學創造力。福克斯說，當人們使用解決此類問題的標準方法時，“總是很難透過公式來區分自相交和非自相交表面”。“為了克服這個困難，你需要有[施瓦茨]的幾何眼光。但這太罕見了！”
德國哥廷根大學的數學家馬克斯·瓦德茨基說，在施瓦茨的證明中，“裡奇設法將問題分解成易於管理的部分，每個部分基本上只需要基本的幾何知識就可以解決”。“這種證明方法體現了最純粹的優雅和美感之一。”
然而，在找到成功的策略之前，施瓦茨在幾年裡斷斷續續地嘗試了其他策略。他最近決定重新審視這個問題，因為他一直隱隱覺得他在 2021 年的論文中使用的方法應該有效。
從某種程度上說，他的直覺是正確的。當他重新開始研究這個問題時，他注意到他之前的論文中關於“T 形圖案”的一個“引理”（一箇中間結果）中存在一個錯誤。透過糾正這個錯誤，施瓦茨迅速而輕鬆地證明了哈爾彭-韋弗猜想。施瓦茨說，如果不是這個錯誤，“我三年前就解決這個問題了！”
在施瓦茨對哈爾彭-韋弗猜想的解決方案中，T 形圖案引理是一個關鍵組成部分。該引理從一個基本思想開始：“莫比烏斯帶，它們上面有這些直線。它們是所謂的‘直紋曲面’，”他說。（其他紙質物體也具有此屬性。“無論何時你在空間中有紙，即使它處於某種複雜的位置，但在每個點上，都有一條直線穿過它，”施瓦茨指出。）你可以想象畫出這些直線，使它們橫穿莫比烏斯帶並擊中兩端的邊界。
在他早期的工作中，施瓦茨識別出兩條相互垂直且在同一平面上的直線，在每個莫比烏斯帶上形成一個 T 形圖案。“這些東西的存在根本不明顯，”施瓦茨說。然而，證明它們的存在是證明引理的第一部分。
下一步是建立和解決一個最佳化問題，該問題需要在沿著橫跨帶子寬度的線段以一定角度（而不是垂直於邊界）切開莫比烏斯帶，並考慮由此產生的形狀。對於這一步，在施瓦茨 2021 年的論文中，他錯誤地得出結論，認為這種形狀是平行四邊形。它實際上是一個梯形。
今年夏天，施瓦茨決定嘗試另一種策略。他開始嘗試將紙質莫比烏斯帶壓平。他想，“也許如果我能證明你可以將它們壓平到平面上，我可以將其簡化為一個更簡單的問題，你只需考慮平面物體。”
在這些實驗中，施瓦茨切開了一個莫比烏斯帶，意識到，“哦，我的天哪，這不是平行四邊形。它是一個梯形。” 發現自己的錯誤後，施瓦茨起初很惱火（“我討厭犯錯誤，”他說），但隨後又受到驅動，使用新資訊重新執行其他計算。“修正後的計算給了我猜想中的數字，”他說。“我驚呆了……我花了接下來的三天，幾乎沒睡覺，只是在寫這個東西。”
最終，這個 50 年曆史的問題得到了解答。“嘗試解決一個長期懸而未決的問題需要勇氣，”塔巴奇尼科夫說。“這是理查德·施瓦茨的數學方法的特點：他喜歡攻擊那些相對容易陳述但已知很難的問題。而且他通常會看到以前的研究人員沒有注意到的這些問題的新方面。”
“我將數學視為人類的共同工作，”查斯說。“我希望我們可以告訴莫比烏斯、李斯廷和高斯，‘你們開始了，現在看看這個……’也許在某個數學的天空中，他們在那裡看著我們，想著，‘哦，天哪！’”
至於相關問題，數學家們已經知道，嵌入式莫比烏斯帶的長度沒有限制（儘管在某些時候物理構造它們會變得很麻煩）。然而，施瓦茨指出，沒有人知道如果用一條紙條製作一個有三個扭曲而不是一個扭曲的莫比烏斯帶，這條紙條可以有多短。塔巴奇尼科夫說，更一般地，“人們可以詢問製作奇數個扭曲的莫比烏斯帶的最佳尺寸”。“我期望有人在不久的將來解決這個更普遍的問題。”
編者注（9/14/23）：本文在釋出後進行了編輯，以更正當莫比烏斯頻寬度大於 √3 釐米時其長度的描述，以及理查德·埃文·施瓦茨識別出的兩條線如何在每個帶子上形成 T 形圖案的描述。