在一項推翻了數十年傳統觀念的突破中，兩位數學家已經證明了兩種不同的無窮大實際上是相同的大小。這項進展觸及了數學中最著名且最棘手的問題之一：在自然數的無窮大大小和實數的更大的無窮大大小之間是否存在無窮大。
這個問題是一個多世紀前首次提出的。當時，數學家們知道“實數比自然數大，但不知道大多少。是下一個最大的大小，還是中間存在大小？”芝加哥大學的瑪麗安特·馬利亞里斯（Maryanthe Malliaris）說，她是這項新工作的共同作者，另一位作者是耶路撒冷希伯來大學和羅格斯大學的薩哈隆·謝拉（Saharon Shelah）。
支援科學新聞
如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞報道 訂閱。透過購買訂閱，您正在幫助確保有關塑造我們當今世界的發現和想法的具有影響力的故事的未來。
在他們的新工作中，馬利亞里斯和謝拉解決了有關一個無窮大（稱之為 p）是否小於另一個無窮大（稱之為 t）的 70 年前的相關問題。他們證明這兩個實際上是相等的，這讓數學家們大為驚訝。
“我當然認為，而且普遍認為，p 應該小於 t，”謝拉說。
馬利亞里斯和謝拉去年在《美國數學會雜誌》上發表了他們的證明，並且在今年 7 月獲得了集合論領域的最高獎項之一。但是他們的工作的影響遠遠超出了這兩個無窮大之間關係的具體問題。它開啟了無限集合的大小與對映數學理論複雜性的並行工作之間意想不到的聯絡。
許多無窮大
無窮大的概念令人難以置信。但是，存在不同大小的無窮大的想法呢？這也許是有史以來最違反直覺的數學發現。然而，它源於一個即使是孩子們也能理解的匹配遊戲。
假設你有兩組物件，或者像數學家稱呼的那樣，兩個“集合”：一組汽車和一組司機。如果每輛車都有一位司機，沒有空車，也沒有留下司機，那麼你就知道汽車的數量等於司機的數量（即使你不知道這個數量是多少）。
在 19 世紀後期，德國數學家喬治·康托爾（Georg Cantor）用數學的形式語言捕捉到了這種匹配策略的精神。他證明，當兩個集合可以彼此一一對應時，它們具有相同的大小或“基數”，即每輛車都有一位司機。或許更令人驚訝的是，他表明這種方法也適用於無限大的集合。
考慮自然數：1、2、3 等等。自然數的集合是無限的。但是，僅僅是偶數集，或者僅僅是素數集呢？起初，這些集合中的每一個似乎都是自然數的一個較小的子集。事實上，在數軸上的任何有限範圍內，偶數的數量大約是自然數的一半，而素數的數量更少。
然而，無限集合的表現不同。康托爾證明，這些無限集合的每個元素之間存在一一對應的關係。
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | …… | （自然數） |
2 | 4 | 6 | 8 | 10 | …… | （偶數） |
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | …… | （素數） |
因此，康托爾得出結論，這三個集合的大小相同。數學家稱這種大小的集合為“可數”的，因為你可以為每個集合中的每個元素分配一個計數數字。
在確定可以透過將無限集合彼此一一對應來比較它們的大小時，康托爾做出了更大的飛躍：他證明了一些無限集合甚至比自然數的集合更大。
考慮實數，即數軸上的所有點。實數有時被稱為“連續統”，反映了它們的連續性質：一個實數和下一個實數之間沒有空間。康托爾能夠證明實數不能與自然數一一對應：即使在你建立了一個將自然數與實數配對的無限列表之後，總有可能想出另一個不在你的列表中的實數。因此，他得出結論，實數的集合大於自然數的集合。因此，第二種無窮大誕生了：不可數無限大。
康托爾無法弄清楚的是，是否存在中間大小的無窮大——介於可數自然數和不可數實數之間的大小。他猜測沒有，這個猜想現在被稱為連續統假設。
1900 年，德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）列出了數學中 23 個最重要的問題。他把連續統假設放在首位。“這似乎是一個顯而易見、亟待回答的問題，”馬利亞里斯說。
在過去的一個世紀裡，這個問題幾乎被證明是數學家們最好的努力所無法解決的。是否存在中間無窮大？我們可能永遠不會知道。
被迫退出
在 20 世紀上半葉，數學家試圖透過研究出現在數學許多領域的各種無限集合來解決連續統假設。他們希望透過比較這些無窮大，他們可以開始瞭解自然數大小和實數大小之間可能非空的空白空間。
許多比較被證明很難得出。在 20 世紀 60 年代，數學家保羅·科恩（Paul Cohen）解釋了原因。科恩開發了一種稱為“力迫”的方法，證明了連續統假設獨立於數學公理——也就是說，它無法在集合論的框架內證明。（科恩的工作補充了庫爾特·哥德爾（Kurt Gödel）在 1940 年的工作，該工作表明連續統假設無法在通常的數學公理中被證偽。）
科恩在 1966 年贏得了菲爾茲獎（數學界的最高榮譽之一）。數學家隨後使用力迫來解決過去半個世紀中提出的許多無窮大之間的比較，表明這些也無法在集合論的框架內得到解答。（具體而言，是策梅洛-弗蘭克爾集合論加上選擇公理。）
不過，仍然存在一些問題，包括 20 世紀 40 年代關於 p 是否等於 t 的問題。p 和 t 都是無窮大的階數，它們以精確（且看似獨特）的方式量化自然數子集集合的最小大小。
這兩個大小的細節並不重要。更重要的是，數學家很快就弄清楚了關於 p 和 t 大小的兩件事。首先，這兩個集合都大於自然數。其次，p 總是小於或等於 t。因此，如果 p 小於 t，那麼 p 將是一箇中間無窮大——介於自然數的大小和實數的大小之間。連續統假設將是錯誤的。
數學家傾向於認為 p 和 t 之間的關係無法在集合論的框架內證明，但他們也無法確定該問題的獨立性。p 和 t 之間的關係在這種不確定的狀態下持續了幾十年。當馬利亞里斯和謝拉找到解決這個問題的方法時，僅僅是因為他們在尋找其他東西。
複雜性順序
大約在保羅·科恩將連續統假設推到數學範圍之外的同時，模型論領域中正在進行著非常不同的工作。
對於模型理論家來說，“理論”是定義數學領域的公理或規則的集合。你可以將模型理論視為一種對數學理論進行分類的方法——對數學原始碼的探索。“我認為人們對對理論進行分類感興趣的原因是，他們想了解是什麼真正導致了數學不同領域中某些事情的發生，”威斯康星大學麥迪遜分校的榮譽數學教授 H. 傑羅姆·凱斯勒（H. Jerome Keisler）說。
1967 年，凱斯勒引入了現在所謂的凱斯勒順序，它試圖根據數學理論的複雜性對其進行分類。他提出了一種測量複雜性的技術，並設法證明了數學理論可以分為至少兩個類別：那些複雜性最小的理論和那些複雜性最大的理論。“這是一個小的起點，但我在那個時候的感覺是，會有無限多的類別，”凱斯勒說。
對於一個理論來說，複雜意味著什麼並不總是顯而易見的。該領域的大部分工作部分地受到了理解這個問題的願望的驅動。凱斯勒將複雜性描述為一個理論中可能發生的事情的範圍——並且可以發生更多事情的理論比可以發生更少事情的理論更復雜。
在凱斯勒引入他的順序十多年後，謝拉出版了一本有影響力的著作，其中包括一個重要的章節，展示了複雜性中自然發生的跳躍——區分更復雜的理論和不太複雜的理論的界限。在那之後，凱斯勒的順序在 30 年裡幾乎沒有取得任何進展。
隨後，在2009年她的博士論文和其他早期論文中，馬利亞里斯重新研究了凱斯勒的序，併為它作為一種分類程式的強大性提供了新的證據。2011年，她和謝拉開始合作，以更好地理解該序的結構。他們的目標之一是根據凱斯勒的標準，確定更多使理論達到最大複雜性的屬性。
馬利亞里斯和謝拉特別關注了兩個屬性。他們已經知道第一個屬性會導致最大複雜性。他們想知道第二個屬性是否也會如此。隨著他們工作的進展，他們意識到這個問題與p和t是否相等的問題是平行的。2016年，馬利亞里斯和謝拉發表了一篇60頁的論文，解決了這兩個問題：他們證明了這兩個屬性的複雜性相同（它們都會導致最大複雜性），並且他們證明了p等於t。
“不知何故，一切都對齊了，”馬利亞里斯說。“這是一系列被解決的問題的集合。”
今年7月，馬利亞里斯和謝拉被授予豪斯多夫獎章，這是集合論領域的最高獎項之一。這項榮譽反映了他們證明的令人驚訝和出奇的強大性質。大多數數學家原本認為p小於t，並且在集合論框架內不可能證明這種不等式。馬利亞里斯和謝拉證明了這兩個無窮大相等。他們的工作還揭示了p和t之間的關係比數學家們意識到的要深刻得多。
“我認為人們認為，如果偶然發現這兩個基數是可證明相等的，那麼這個證明也許會令人驚訝，但這會是一些簡短而巧妙的論證，不需要建立任何真正的機制，”康奈爾大學的數學家賈斯汀·摩爾說，他發表了對馬利亞里斯和謝拉證明的簡要概述。
相反，馬利亞里斯和謝拉透過在模型論和集合論之間開闢一條道路來證明p和t相等，這條道路已經在兩個領域開闢了新的研究前沿。他們的工作最終也解決了數學家們希望幫助解決連續統假設的問題。然而，專家們普遍認為這個看似無法解決的命題是錯誤的：雖然無窮大在許多方面都很奇怪，但如果我們發現的無窮大尺寸不多於我們已經發現的，那就太奇怪了。
經Quanta Magazine許可轉載，該雜誌是西蒙斯基金會在編輯上獨立的出版物
其使命是透過報道數學、物理和生命科學領域的研究進展和趨勢，來增進公眾對科學的理解。