在過去的幾年裡，我搬了好幾次家。一次又一次，我不得不測量房間或傢俱，然後檢查我是否能像計劃的那樣安排好一切。當我們使用捲尺、摺疊尺或直尺時，我們不會質疑我們測量的物體是否可測量。只要某物不是無限延伸的，我們就應該能夠為其指定長度、面積或體積。這正是數學家們所假設的——直到 19 世紀末，一切都發生了變化。
長期以來，如果你想測量幾何物體，你會像我搬家時那樣做：拿出捲尺就開始測量。誠然，如果你想確定複雜曲線下的面積，任務就變得更加困難。隨著 17 世紀微積分的發展，數學家艾薩克·牛頓和戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨以積分和導數的形式提供了新的測量工具，可以用來精確地確定幾何圖形的大小。但在 200 多年的時間裡，沒有人真正問過自己應該如何測量物體。
19 世紀末，當專家們試圖將數學建立在穩定的基礎上時，集合論成為了基石。該理論提出，一切事物——包括幾何形狀和複雜的微分方程——都可以追溯到基本集合。但是，如果幾何形狀只不過是集合，那麼我們必須找到如何測量抽象集合的方法。
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讓我們以數軸上 0 到 1 之間的區間為例，記為 [0, 1]。它包含無限多個實數，但是，為了我們的目的，我們假設它的長度對應於一釐米。數學家喜歡在沒有單位的情況下進行計算，因此定義區間 [0, 1] 的長度為 1。類似地，區間 [0, 2] 的長度為 2，依此類推。
當然，專家們並沒有簡單地決定這一點，而是根據某些規則推匯出來的。為了建立這些規則，他們試圖總結長度、面積或體積等度量應具有的所有直觀屬性。即，空集的度量應為零；移動物體時，物體的度量不會改變；不重疊物體的度量等於各個物體度量的總和。從這三個簡單的結論出發，可以定義各種維度，包括上述的長度維度，這符合我們的直覺。
要計算不重疊集合的度量，您可以將各個集合的度量相加。
Stephan Kulla/Wikimedia Commons（CC BY-SA 3.0）
這個過程可能看起來相當繁瑣：畢竟，您憑直覺就知道結果。然而，這種方法使得更廣泛地測量量成為可能，即使是那些沒有幾何概念的量。
抽象量的度量
當數學家最初對度量感興趣時，他們最初研究的是函式（即，定義兩個變數x和y之間關係的表示式或規則）。您可能還記得中學時，可以透過積分來確定函式下方的面積。例如，您可以使用黎曼積分，其中您形成上限和下限和來確定曲線下的面積。例如，請參見下圖中的藍色條，它們表示如何將 x 軸劃分為可以加在一起以計算總面積的小區間。
但是，如果函式極其複雜，會發生什麼情況呢？例如，如果你看一下不連續的狄利克雷函式，那麼用通常的積分概念就走不了多遠。如果 x 是有理數，則狄利克雷函式 χ(x) 的值為 1。否則，該函式的值始終為零。繪製此函式的圖形，您將看到 χ(x) 由沿直線 y = 1 和 y = 0 的無數個點組成。由於函式的圖形僅由單獨的、不相連的點組成，因此不可能使用黎曼積分。
黎曼積分和勒貝格積分都透過分解來定義積分。黎曼積分垂直分解（藍色），而勒貝格積分水平分解（紅色）。
Svebert/Wikimedia Commons（CC0 1.0）
相反，您需要轉向數學家亨利·勒貝格於 1902 年提出的勒貝格積分。在這種情況下，y 軸被劃分為小區間——如上圖中的紅色條所示。要計算面積，您必須確定 x 軸上相應區間的寬度。
對於所有不像狄利克雷函式那樣不連續的普通函式，勒貝格積分和黎曼積分提供完全相同的結果。勒貝格積分的優點在於它還可以為更復雜的情況指定面積。
因此，回到狄利克雷函式，在區間 [0, 1] 中，讓我們使用勒貝格積分並將 y 軸劃分為小段。函式的點僅位於 y = 0（對於無理數 x 值）或 y = 1（對於有理數 x 值），因此結果是 0 乘以範圍 [0, 1] 中所有無理數的長度，加上 1 乘以 [0, 1] 中所有有理數的長度。此時，我們需要度量理論來為抽象集合指定長度：[0, 1] 之間的無理數和 [0, 1] 之間的有理數。由於只有可數個有理數（有關該陳述的證明，請參見下圖和說明），因此它們的度量為零。[0, 1] 之間剩餘無理數的度量因此必須為 1（因為 [0, 1] 中的所有實數加起來的度量為 1）。因此，狄利克雷函式在零和一之間的下方面積為 1 x 0 + 0 x 1 = 0。
考慮集合 M = {m1, m2, m3, ..., mi, ...}。由於 M 包含可數個元素，因此可以用整數索引 i 對它們進行編號。要確定維度 μ(M)，可以進行估計。為此，在每個 mi 周圍形成一個小區間 Ii，其寬度 ε/(2i) 逐漸減小且任意小：Ii = [mi − ε⁄(2i+1), mi + ε⁄(2i+1)]，並從中形成一個新集合 C = {I1, I2, I3,..., Ii, ...}。因此，C 類似於原始集合，只是它不包含單個點 m，而是包含小區間。總的來說，C 的度量必須至少與 M 的度量一樣大：μ(M) ≤ μ(C)。現在可以透過假設 ε 選擇得足夠小以至於區間 Ii 永不重疊來計算 C 的度量。然後，該度量對應於區間的加法長度：μ(C) = ∑i∞ε/(2i) = ε。這意味著 M 的度量必須小於或等於 ε：μ(M) ≤ ε。由於 ε 可以選擇為任意小，因此 M 的度量必須為零。這證明對於每個可數集，μ(M) = 0 成立。
馬農·比肖夫/光譜科學
測量問題出現
勒貝格積分在 1902 年引發了所謂的測量問題。專家們想知道是否有可能為每個量指定一個度量。僅僅三年後，數學家朱塞佩·維塔利給出了一個令人沮喪的答案：不，有些集合非常不規則，無法測量。
當維塔利構造了一個具體的集合，任何型別的度量都失敗時，他意識到了這一點：維塔利集，以他的名字命名。他從簡單的開始，考慮了 0 到 1 之間的所有數字的集合。然後，他將這個集合劃分為不同的區域：如果 a – b 的結果是有理數，則兩個數字 a 和 b 最終會落在同一範圍內。例如，所有自然數和所有有理數都在同一區域。在另一個區域中，有 0.2 + √0.2 和 0.3 + √0.2，依此類推。因此，維塔利將區間 [0, 1] 劃分為（不可數）無限多個小部分。
為了構造維塔利集，將區間 [0, 1] 分解為各個區域。如果兩個數字（粉紅色和紫色圓圈）的差是有理數，則它們在同一範圍內。
馬農·比肖夫/光譜科學
下一步，他從每個範圍中精確選擇一個代表 r，並將所有這些代表插入到一個新集合 V 中。因此，集合 V 包含不可數個元素，因為區間 [0, 1] 有不可數個無限個細分。然後，維塔利轉向了一個技巧：他研究瞭如果集合 V 被有理數 p 移動會發生什麼，p 的值介於 [–1, 1] 之間：Vp = V + p。結果，有理數 p 被新增到 V 中的每個元素 r 中。透過這種方式，維塔利生成了可數無限個集合 Vp，這些集合包含 [–1, 2] 之間的數字。原因是 V 包含 [0, 1] 之間的數字，而 p 添加了來自區間 [–1, 1] 的值。
這一切都非常技術性，但別擔心；我們快到了！維塔利集 V* 包含所有 Vp，正如我們將看到的，它超出了度量理論的概念。我們知道 V* 的度量至少與區間 [0, 1] 的度量一樣大（因為 V* 至少與 V 一樣大，V 的範圍為 0 到 1）。另一方面，維塔利集小於或等於區間 [–1, 2]。這意味著 μ ([0, 1]) = 1 ≤ μ(V*) ≤ μ([–1, 2]) = 3。因此，維塔利集的度量必須介於 1 和 3 之間。
集合 V 的範圍從 0 到 1，而值 p 的範圍從 –1 到 1。因此，維塔利集 V* 的範圍從 –1 到 2。
馬農·比肖夫/光譜科學
現在您也可以直接計算維塔利集的度量：μ(V*) = ∑pμ(Vp)，因為只有可數個 p。集合 Vp 包含 [p, 1 + p] 之間不可數個元素，因此 μ(Vp) 是一個大於零的有限數。事實上，所有 Vp 的大小都相同——p 的不同值僅表示平移，這與集合的大小無關。這意味著 μ(Vp) = μ(V)。因此，維塔利集的度量為 μ(V*) = ∑pμ(V)，即一個常數 μ(V) 被無限次求和。這種計算的結果始終是無窮大——無論常數 μ(V) 有多小。這意味著：μ(V*) = ∞，這與上述不等式 1 ≤ μ(V*) ≤ 3 相矛盾。
總會存在不可測量的量
令人驚訝的結果並不意味著我們的數學運算有誤。相反，維塔利集非常複雜，無法為其指定度量。因此，維塔利證明並非所有量都是可測量的；也存在“不可測量”的量。
這個結果本身就令人震驚。畢竟，維塔利集是有限的，並且僅包含實數值。如果將此結果轉移到二維集合，您會得到更奇怪的結果：例如，您可以透過將球體分解為不可測量的集合來使球體的表面積翻倍。
幸運的是，不可測量的量極其罕見。例如，在物理學中，它們不會出現——畢竟，物體的分解受到原子大小的限制。您必須構造不可測量的量才能遇到它們。然而，它們又無處不在：即使在簡單的數值區間中，也潛伏著不可測量的部分。事實證明，擺脫此類量並非易事。人們將不得不改變數學的公理——以及基礎——以防止不可測量量的出現。
本文最初發表於《光譜科學》，經許可轉載。