數學家們已經等待了 32 年，以找出第九個戴德金數的值，它是 19 世紀首次發現的數字序列的一部分。今年春天，兩個 獨立的團隊在彼此相隔數週釋出的預印本論文中計算出了這個數字。“兩個不同的團隊在 30 多年後同時做到這一點，真是太巧合了，”德國德累斯頓工業大學 (TU Dresden) 的 Christian Jäkel 說，他在 4 月 3 日，比另一個團隊提前三天，在預印本伺服器 arXiv.org 上釋出了他的計算結果。
戴德金序列中的每一項都是一組函式的計數，這些函式可以分析一組變數，例如 x 和 y 的集合，或 {x, y}，並給出真或假的答案。例如，一個檢查集合是否包含 x 的函式對於 {x} 和 {x, y} 會回答真，但對於 {y} 會回答假。第 n 個戴德金數，寫為 D(n)，計算處理最多 n 個變數集合的函式。因此，第二個戴德金數僅計算可以處理 {x, y} 子集的函式，第三個戴德金數計算 {x, y, z} 子集上的函式，依此類推。
為了滿足戴德金條件並計入函式總數，真假函式必須遵循某些規則。例如，如果一個函式對於 {x, y} 為真，則它對於 {x, y, z} 和 {x, y, z, w} 也必須為真。換句話說，如果您向真集新增一個元素，它必須保持為真。Lennart Van Hirtum 是 4 月 6 日釋出的解決方案的合著者，現在是德國帕德博恩大學的博士生，他建議用一個僅在一個角上不穩固地放置的立方體來想象這個要求。它的角都被塗成白色或紅色，第 n 個戴德金數計算的是沒有白色點被紅色點覆蓋的著色數。“任何白色角都不能在其上方有紅色角。這是唯一的規則，”他說。
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這種特殊的要求使得戴德金數難以計算。否則，您可以簡單地計算將真假值分配給集合的所有可能方法，對於 n 個變數的子集，這個數字約為 22^n。這是一個巨大的數字——當 n = 5 時約為 4.3 萬億——但這是一個可以直接計算的數字。相比之下，沒有簡單的公式來描述戴德金數。
由於涉及龐大的數字，因此戴德金數的計算在歷史上一直與技術進步緊密相連。“這是對最先進的計算機技術”以及數學的考驗，4 月 6 日釋出的計算的作者之一、比利時魯汶天主教大學 (KU Leuven) 的計算機科學家 Patrick De Causmaecker 說。1897 年，德國數學家理查德·戴德金介紹了戴德金數並計算了前四個，從 D(0) 開始：2、3、6、20。在整個 20 世紀，新的戴德金數斷斷續續地出現，通常間隔數十年。序列中的第九個數，稱為第八個戴德金數 D(8)，由已故數學家 Doug Wiedemann 於 1991 年釋出。它是 56,130,437,228,687,557,907,788，或大約 5.6 x 1022。
波蘭格但斯克大學的計算機科學家 Bartłomiej Pawelski 說：“從歷史上看，每 20 到 30 年就會發現一個新的戴德金數。” 這“是一項計算挑戰，發現它很有趣。”
De Causmaecker 於 2021 年開始與當時在 KU Leuven 攻讀碩士學位的 Van Hirtum 合作研究 D(9)，作為後者論文專案的一部分。“在最早的一次會議上，我問 Patrick 他是否認為我們會做到，”Van Hirtum 說。“他說，‘可能不會。’” 正如預測的那樣，Van Hirtum 的論文沒有包含 D(9) 的計算。他和 De Causmaecker 想出的公式計算量太大了。
然而，Van Hirtum 有想法。“他真的被戴德金數問題迷住了，他無法擺脫它，”De Causmaecker 說。Van Hirtum 想嘗試使用一種稱為現場可程式設計門陣列 (FPGA) 的計算機晶片，研究人員可以自定義該晶片以使他們的程式執行得更有效率。他和 De Causmaecker 在帕德博恩大學找到了一個超級計算中心，可以幫助他們開發和執行定製硬體，Van Hirtum 在接下來的一年半時間裡無償地從事該專案——完全是出於對他的想法是否會奏效的好奇心。
2022 年底，研究人員終於準備好執行他們的程式。五個月後，在 3 月 8 日，他們得到了一個數字：286,386,577,668,298,411,128,469,151,667,598,498,812,366，或大約 2.86 x 1041。但他們不能確定它是正確的。宇宙射線——來自太空的輻射粒子——會干擾 FPGA 晶片並改變計算結果。“我們計算出有 25% 到 30% 的可能性發生了這種情況，”Van Hirtum 說。為了確保他們的計算是正確的，他們讓他們的程式再運行了一次。如果他們再次得到相同的數字，他們幾乎可以肯定它是正確的。他們預計至少還要再等五個月才能獲得保證。
但在 4 月 3 日，Jäkel 在網上釋出了他的論文，分享了他的 D(9) 值——並在過程中證實了他們的值，這給了他們一生中最驚喜的時刻。Pawelski 說，兩個團隊“都找到了大規模並行化計算的方法”。“這是一個很棒的想法。”
Jäkel 是德累斯頓工業大學的一名研究生，白天的工作是軟體開發人員，自 2017 年以來，他一直在晚上和週末研究這個問題。他的方法與 Van Hirtum 和 De Causmaecker 的方法截然不同。他為 D(9) 設計了一個使用矩陣的公式——矩陣是可以相乘和相加的數字陣列。“這種矩陣乘法是非常非常成熟的技術，”Jäkel 說。“這是計算機科學中研究得最好的問題。” 因為他的公式針對傳統計算機硬體進行了最佳化，所以他不需要超級計算機。他的程式於 2022 年 3 月開始執行，大約花了一個月的時間才得出 D(9) 的值。
Jäkel 在第一次計算出他的值時，也不確定它的正確性。他不需要擔心宇宙射線，但他無法證明他的程式沒有某種錯誤。“我盡我所能做了我所能做的一切，”他說。“我非常仔細地觀察了這次計算。” 但是，除非想出不同的方法，否則不可能消除所有疑慮。直到 Van Hirtum、De Causmaecker 及其合著者發表了他們的論文。
“我很震驚，或者說是驚訝——也很高興。因為我已經有了這個數字，而且我以為重新計算它需要十年左右的時間，”Jäkel 說。“三天後，我得到了確認。”
第十個戴德金數很可能還需要等待很長時間，它肯定比 D(9) 大很多倍。“我認為可以肯定地說，第十個戴德金數不會很快被計算出來，我說的很快是指未來幾百年，”Van Hirtum 說。然而，De Causmaecker 更樂觀。“我希望我能活到第十個戴德金數被計算出來的那一天，”他說。